导数的总结分离变量变更主元根分布判别式法.docx
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导数的总结分离变量变更主元根分布判别式法
导数题型总结(解析版)
体型一:
关于二次函数的不等式恒成立的主要解法:
1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法
5、二次函数区间最值求法:
(1)对称轴(重视单调区间)
与定义域的关系
(2)端点处和顶点是最值所在
其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。
注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型:
函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:
令f'(x)=0得到两个根;
第二步:
画两图或列表;
第三步:
由图表可知;
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,
2、常见处理方法有三种:
第一种:
分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)
第二种:
变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);
例1:
设函数y二f(x)在区间D上的导数为f(x),f(x)在区间D上的导数为g(x),若在区间D
上,g(x):
:
:
0恒成立,则称函数y=f(x)在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数,
(1)若y二f(x)在区间1.0,31上为“凸函数”,求m的取值范围;
32
’xmx
得f(x)3x
32
(2)若对满足m兰2的任何一个实数m,函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”,求b-a的最大
2
g(x)=x-mx-3
(1):
y二f(x)在区间10,3]上为“凸函数”,
2
则.g(x)=x-mx-3:
:
:
0在区间[0,3]上恒成立
解法一:
从二次函数的区间最值入手:
等价于gmax(x):
:
:
0
解法二:
分离变量法:
•••当x=0时,.g(x)=x2—mx-3=-3:
:
0恒成立,
2
当0:
:
:
x乞3时,g(x)二x—mx—3:
:
:
0恒成立
x-33
等价于mx的最大值(0:
:
:
x^3)恒成立,
xx
3
而h(x)二X(0:
:
:
x乞3)是增函数,贝yhmax(x)二h(3)=2x
m2
(2)v当m兰2时f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”
则等价于当m|兰2时g(x)=x2—mx—3v0恒成立
变更主元法
再等价于F(m)二mx-X2•30在m岂2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)
F(-2)0-2x-x230
:
1:
:
x:
:
:
1
F
(2)02x-x230
b-a=2
例2:
设函数f(x)=-1x3-2ax2-3a2xb(0:
:
:
a:
:
1,b二R)
3
(I)求函数f(x)的单调区间和极值;
(n)若对任意的[a1,a2],不等式f,(x)_a恒成立,求a的取值范围
(二次函数区间最值的例子)
22
解:
(I)f(X)=-X4ax-3a=-x-3ax-a
令f(x).0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a)
令f(x):
:
:
0,得f(x)的单调递减区间为(一:
:
,玄)和(3a,+■-)
3
•••当x=a时,f(x)a3+b;当x=3a时,f(x)极大值=b.
4
(n)由|f(x)a,得:
对任意的x•[a1,a2],-a-x2-4ax■3a2_a恒成立①
-gmax(x)Ea22
则等价于g(x)这个二次函数g(x)=x2-4ax•3a2的对称轴x=2a
卫min(X)la
To:
:
:
a:
:
:
1,a1a^2a(放缩法)
g(x)二x-4ax-3a在[a1,a2]上是增函数
g(x)min二g(aya4.
于是,对任意[a1,a2],不等式①恒成立,等价于
g(a2)「4a心,解得电"汨
g(a1)--2a1--a5
4
又0:
:
:
a:
:
:
1,—a:
:
:
1.
5
点评:
重视二次函数区间最值求法:
对称轴(重视单调区间)与定义域的关系
第三种:
构造函数求最值
题型特征:
f(x)•g(x)恒成立二h(x)二f(x)—g(x).0恒成立;从而转化为第一、二种题型
例3;已知函数f(x^x3ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为-3,
3t—62
g(x)=xx-(t1)x3(t0)
2
(i)求a,b的值;
(n)当x:
=[-1,4]时,求f(x)的值域;
(川)当[1,4]时,不等式f(x)乞g(x)恒成立,求实数t的取值范围。
/23「a=-3
解:
(i)『(x)=3x2•2ax•••,解得
|b=1+alb=-2
")由(i)知,f(x)在[-1,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减,在[2,4]上单调递减
又f(一1)--4,f(0)=0,f
(2)--4,f(4)=16
•f(x)的值域是[-4,16]
t2
(川)令h(x)=f(x)-g(x)x2(t1)x-3x[1,4]
2
思路1:
要使f(x)岂g(x)恒成立,只需h(x)乞0,即t(x2-2x)一2x-6分离变量
思路2:
二次函数区间最值
二、参数问题
题型一:
已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1:
转化为f'(x)-0或f'(x)空0在给定区间上恒成立,回归基础题型
解法2:
利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间
的子集;
做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:
前者是后者的子集
13a+12
例4:
已知a三R,函数f(x)xx(4a-1)x
122
(I)如果函数g(x)二f(x)是偶函数,求f(x)的极大值和极小值;
(n)如果函数f(x)是(一:
:
,:
:
)上的单调函数,求a的取值范围.
12解:
f(x)x(a1)x(4a1).
4
1312
(I):
f(x)是偶函数,•••a=-1.此时f(x)x3-3x,f(x)x-3,
124
令f(x)=0,解得:
x=2.3.
列表如下:
x
(-a,-2V3)
-2亦
(-275,2V5)
2仁
(2J3,+a)
f(X)
+
0
—
0
+
f(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
可知:
f(x)的极大值为f(-2・.3)=43,f(x)的极小值为f(2\3)=-43.
(n):
函数f(x)是(-:
:
,•:
:
)上的单调函数,
12
•-f(x)x(a1)x(4a•1)_0,在给定区间R上恒成立判别式法
4
212
则:
=(a1)-4(4a1)=a-2a乞0,解得:
0=a=2.
4
综上,a的取值范围是{a0乞a空2}.
单调增区间:
(-:
:
,-1),(a-1,:
:
)
单调增区间:
(-1,a-1)
(II)当;f(x)在[0,1]上单调递增,则〔0,11是上述增区间的子
1、a=0时,f(x)在(-:
:
■:
:
)单调递增符合题意
2、0,1二ia-1,:
:
,.a-1_0.a_1
综上,a的取值范围是[0,1]。
三、题型二:
根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步:
画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后
减再增”还是“先减后增再减”;
第二步:
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;
第三步:
解不等式(组)即可;
1(k+1)1
例6、已知函数f(x)x-x2,g(x)kx,且f(x)在区间(2「:
)上为增函数.
323
(1)求实数k的取值范围;
(2)若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围.
解:
(1)由题意f(x)=x2-(k1)x•/f(x)在区间(2,•:
:
)上为增函数,
二f(x)=x2-(k1)x0在区间(2/:
:
)上恒成立(分离变量法)
即kT:
:
:
x恒成立,又x2,二kT_2,故k_1ak的取值范围为k_1
3
(2)设h(x)=f(x)-g(x)=△(k»x2kx-l,
323
h(x)=x2-(k1)xk=(x-k)(x-1)
令h(x)=0得x=k或x=1由
(1)知k-1,
①当k二1时,h(x)=(x-1)2-0,h(x)在R上递增,显然不合题意…
②当k:
:
:
1时,h(x),h(x)随x的变化情况如下表:
x
(严k)
k
(k,1)
1
(1,址)
h(x)
+
0
一
0
+
h(x)
/
极大值
i3|2”kk1
623
极小值
k—1
2
/
由于匸:
:
:
0,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程h(x)=0有三个不同的实根,故
2
综上,所求k的取值范围为kd-3
根的个数知道,部分根可求或已知。
1
例7、已知函数f(x)=ax3x2-2x•c
2
(1)若x=「1是f(x)的极值点且f(x)的图像过原点,求f(x)的极值;
…12
(2)若g(x)bx-xd,在
(1)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)的图像与函数f(x)的
2
图像恒有含x=-1的三个不同交点?
若存在,求出实数b的取值范围;否则说明理由。
高1考1资1源2
网
解:
(1):
f(x)的图像过原点,贝Uf(0)=0=c=0f(x)=3ax2•x-2,
(2)设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含x--1的三个不同交点,
1
等价于f(x)=g(x)有含x--1的三个根,即:
f(T)=g(T)=d(bT)
2
312121
.xx-2xbx-x(b-1)整理得:
222
3121
即:
x--(b-1)x-x•—(b-1)=0恒有含x=-1的三个不等实根
22
3121
(计算难点来了:
)h(x)=x(b-1)x2「x(b「1)=0有含x--1的根,
22
则h(x)必可分解为(x1)(二次式)=0,故用添项配凑法因式分解,
322121
xx-x(b-1)x—x—(b-1)=0
22
x2(x1)一g(b1)x2x冷(b一1)=0
-(b-1)=0
21厂2
x(x1)(b1)x-2x
十字相乘法分解:
x2(x1)一£l(b1)x—(b-1)1x1]=0
(x1)x2—」(b1)x丄(b-1)=0
IL22
3121,
.x--(b-1)x-xg(b-1)=0恒有含x=-1的三个不等实根
11
等价于x2(b1)x(b-1)=0有两个不等于-1的不等实根。
22
a=—1
由①②③联立得:
«b=6,二f(x)=—x3+6x2—9x
c=—9
(2)设切点Q(t,f(t)),y一f(t)=fYt)(x—t)
y=(-3t212t—9)(x—t)(_t36t2—9t)
=(—3t212t—9)xt(3t2-12t9)—t(t2—6t9)
=(—3t212t-9)xt(2t2-6t)过(-1,m)
m=(-3t212t-9)(-1)2t3-6t2
g(t)=2t3-2t2-12t9-m=0
令g'(t)=6t2—6t-12=6(t2—t-2)=0,
求得:
t--1,t=2,方程g(t)=0有三个根。
+fg(-1)>0「-2-3+12+9-m>0「m 需: == 9 (2)<0[16—12—24+9—mc0尼―11 故: -11: : : m<16;因此所求实数m的范围为: (-11,16) 题3: 已知f(x)在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法: 根分布或判别式法例8、 已知函数/(£)=yx3—+3)xa+(m+6)x,xelt(m为常数)* (I)当戰=4时咸函数只巧的单调区间; 解: 函数的定义域为 R(I)当m=4时,f(x)=fx3—资+10x, f(x)=x2—7x+10,令f(x)0,解得x5,或x: : 2. 令f(x): : : 0,解得2: : : x<5 可知函数f(x)的单调递增区间为(-: : 2)和(5,+^),单调递减区间为2,5. 卜2 (n)f(x)=x—(m+3)x+m+6, 要使函数y=f(x)在(1,+^)有两个极值点,二.f(x)=x2—(m+3)x +m+6=0的根在(1,+^) 根分布问题: 2 △=(m+3)—4(m+6)>0; 则{f (1)=1—(m+3)+m+6>0;,解得m>3 m+3>1. 、一2 a11 例9、已知函数f(x)x3x2,(a: =R,a=0) (1)求f(x)的单调区间; (2)令g(x)=x4+f(x) 324 (x€R)有且仅有3个极值点,求a的取值范围. 解: (1)f(x)=ax2x=x(ax1) 1'1 当a0时,令f(x)•0解得x或x•0,令f(x): : : 0解得x: : : 0, aa —11 所以f(x)的递增区间为(一: : ,一)(0,;),递减区间为(-一,0). aa 11 当a<0时,同理可得f(x)的递增区间为(0,-),递减区间为(-: : ,0)(,=)• aa 1a1 (2)g(x)x4x3x2有且仅有3个极值点 432 =■g(x)=xaxx=x(xax1)=0有3个根,则x=0或xax1=0,a-2 方程x2ax0有两个非零实根,所以厶-a2-40, .a: : : -2或a-2 而当a: : : -2或a2时可证函数y=g(x)有且仅有3个极值点 其它例题: 1、(最值问题与主元变更法的例子)•已知定义在R上的函数f(x)=ax‘_2ax2•b(a.0)在区间丨一2,1] 上的最大值是5,最小值是—11. (I)求函数f(x)的解析式; (n)若t[-1,1]时,f(x)•tx乞0恒成立,求实数x的取值范围 解: (I);f(x)二ax'-2ax2b,f'(x)=3ax2-4ax二ax(3x-4) 令f'(x)=0,得x^0,x^-1-2,11 3 因为a0,所以可得下表: x 1-2,0) 0 (0,1] f'(x) + 0 - f(x) / 极大 因此f(0)必为最大值,•••f(C)=5因此b=5,: f(-2)—1$5,f (1)»a5,f (1)f(-2), 即f(-2)=-16a5=-11,•a=1,•f(x)x3-2x25. 22 (n)vf(x)=3x-4x,.••f(x)tx^0等价于3x-4xtx^0, 2 令g(t^xt3x-4x,则问题就是g(t)乞0在t[-1,1]上恒成立时,求实数x的取值范围, 为此只需 g(—1)兰0即』3x2—5x" (1)兰0'ix2—x兰0 解得0空x乞1,所以所求实数x的取值范围是[0,1]. 2、(根分布与线性规划例子) 2 (1)已知函数f(x)x3ax2bxc 3 (I)若函数f(x)在x=1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x・y=0平行,求 f(x)的解析式; (n)当f(x)在x・(0,1)取得极大值且在(1,2)取得极小值时,设点M(b-2,a1)所在平面 区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1: 3的两部分,求直线L的方程. 解: (I).由f(x)=2x2•2ax•b,函数f(x)在x=1时有极值 2ab2=0 f(0)=1c=1 又•••f(x)在(0,1)处的切线与直线3x・y=0平行, 1 •••f(0)=b=—3故a二丄 2 f(X)=2X3丄X2-3x1.7分 32 2 (n)解法一: 由f(x)=2x2•2ax•b及f(x)在(0,1)取得极大值且在(1,2)取得极小值 x20 ^2y+x+2v0故点M所在平面区域S为如图△ABC, 4y+x+6: >0 所求一条直线L的方程为: x=0 1 解得: k或 2 综上,所求直线方程为: k「5 8 X=0或y (舍去)故这时直线方程为 1 X 2 1 : 7 .12分 •S四边形DEGF=S0GE一S.OFD =1即 2 (n)解法二: 由f(x)=2x2axb及f(x)在x・=(0,1)取得极大值且在x・=(1,2)取得极小值 •所求直线方程为: 32 3、(根的个数问题)已知函数f(x)二axbx■(c-3a-2b)x■d(a0)的图象如图所示。 (I)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3),且「1=0 得心匚 3a2bc-3a-2b=0 12a4b-3a-2b=-3 1解得a=1,b=-6 8a4b-6a-4b3=5 所以f(x)=x3-6x2+9x+3 (川)依题意f(x)=ax3+bx2-(3a+2b)x+3(a>0) 2. fx=3ax+2bx-3a-2b由f5=0-b=-9a① 若方程f(x)=8a有三个不同的根,当且仅当满足f(5)v8avf (1)② 1 由①②得-25a+3v8av7a+3: —vav3 11 1 所以当vav3时,方程f(x)=8a有三个不同的根。 12分 11 4、(根的个数问题)已知函数f(x)r^x3-ax2-xT(a•R) 3 (1)若函数f(x)在x1,=x2处取得极值,且%-x2=2,求a的值及f(x)的单调区间; 1125 (2)若a,讨论曲线f(x)与g(x)x-(2a1)x(-2_x_1)的交点个数. 226 解: (1)f(x)=x2-2ax-1 %x2=2a,xx2=-1 Xr_X2=J(x<|+x2)2_4XrX2=J4a2+4=2 a=02分 22 f(x)=x-2ax-1=x-1 令f(x)0得x: : -1,或x1 令f(x): : 0得-1: : x<1 •••f(x)的单调递增区间为(-二,-1),(1,,单调递减区间为(-1,1)5分 132125 326 13121 即一x-(a)x2ax0326 111 令: (x)x3-(a)x22ax(-2_x_1)6分 326 : (x)二x2-(2a1)x2a=(x-2a)(x-1) 令’(x)=0得x=2a或x=17分 (2)由题f(x)二g(x)得x-ax-x1x-(2a■1)x 当2a空-2即a乞-1时 x -2 (-2,1) 1 ®(x) 一 ®(x) o9—8a—— 2 、 a 9 此时,-8a0,a: : : 0,有一个交点;9分 2 1 当2a】: : 「2即_1: : : a时, 2 x -2 (£,2a) 2a (2a,1) 1 A(x) + 0 一 申(x) 2 / 21 ;a2(3-2a)+; 36 、 a ;”2a)*0, 99 •••当-8a0即-1■■a时,有一个交点; 216 99 当-8a0,且a咗0即a玄0时,有两个交点; 216 19 当0: : : a时,-8a0,有一个交点.13分 22 91 综上可知,当a或0: : : a时,有一个交点; 162 9 当a岂0时,有两个交点.14分 16 432 xmx3x 解: 由函数f(x)= 1262
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- 导数 总结 分离 变量 变更 主元根 分布 判别式