一维热传导方程数值解法及matlab实现分离变量法和有限差分法Word下载.docx
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y=0:
0.04:
1;
[x,t]=meshgrid(x,y);
s=0;
m=length(j);
%matlab可计算的最大数相当于无穷
fori=1:
m
s=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t));
end;
surf(x,t,s);
xlabel('
x'
),ylabel('
t'
),zlabel('
T'
);
title('
分离变量法(无穷)'
axis([0pi010100]);
所得到的三维热传导图形为:
有限差分法:
u=zeros(10,25);
%t=1x=pi构造一个1025列的矩阵(初始化为0)用于存放时间t和变量x横坐标为x纵坐标为t
s=(1/25)/(pi/10)^2;
fprintf('
稳定性系数S为:
\n'
disp(s);
fori=2:
9
u(i,1)=100;
forj=1:
25
u(1,j)=0;
u(10,j)=0;
24
fori=2:
u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j);
end
end
disp(u);
[x,t]=meshgrid(1:
25,1:
10);
surf(x,t,u);
有限差分法解'
所得到的热传导图形为:
(2)
i分离变量法(取前100项和)
100
分离变量法'
Ii有限差分法
根据
(1)我们有如下图
结论:
比较可得这两幅图基本相同,有限差分法和分离变量法对本题都适应
(3)
第一种情况(取无穷项):
在原来程序代码的基础上加上disp(s(:
6));
可得出第六列(即x=pi/2)处温度随时间的变化情况
%matlab可计算的最大数,相当于无穷
disp(s(:
我们得到如下一组数据:
当温度低于50度是时间为t=23.5*0.04=0.94
第二种情况(取前100项和)
r=0.04/(0.1*pi)^2;
稳定性系数S为:
'
)
disp(r);
第三种情况(有限差分法)
在原来程序代码的基础上加上disp(u(5,:
));
可得出第五行(即x=pi/2)处温度随时间的变化情况
%t=1x=pi10行25列横坐标为x纵坐标为t
disp(u(5,:
得到如下结果
我们知19列为50.350520列是数据为47.8902所以时间t为20*0.04=0.78
比较一二三种情况,我们得到不同的时间,这是由于:
1、加和不同一种为100,一种为无穷;
2、采用的方法不同:
一种为分离变量法,一种为有限差分法
造成的。
第一题完
解:
根据课本知识:
我们知道稳定性系数S是衡量由差分格式所得的数据是否稳定的因数,如果S>
1/2,我们得到的数据就会不稳定,所画出的图形失真也就会很大。
一下就S<
1/2和S>
1/2,两种情况进行讨论(以第一题为例进行讨论)
当S<
1/2时,取步长k=1/25,h=pi/10,S=0.4053;
有限差分法解s<
1/2时'
获得的数据为
所得到的图形为
当S>
1/2,时取步长k=1/25,h=pi/20,S=1.6211
u=zeros(20,25);
%t=1x=pi20行25列横坐标为x纵坐标为t
s=(1/25)/(pi/20)^2;
19
20);
有限差分法解s>
所得数据为
显而易见,我们得到的图形与实际的热传导图形相差太大,这是由于S>
1/2,得到的数据是不稳定的,所以画出的图形也是不准确的。
第三题完成
根据课上所学知识,我们有如下方程:
为便于解释做题,我们令:
a=1
l=pi
=x;
下面开始求解:
分离变量法
根据课上所讲
其中:
我们有如下代码:
0.4:
10;
u=0;
fori=0:
u=u+8*(-1)^i/(pi*(2*i+1)^2)*(sin((2*i+1)/2*x).*exp(-(2*i+1)^2/4*t));
得到如图所示的热传导现象:
u=zeros(20,100);
%t=1x=pi20行100列横坐标为x纵坐标为t
s=(1/100)/(pi/20)^2;
20
u(i,1)=i/20*pi;
;
99
u(20,j)=u(19,j);
100,1:
我们得到如图所示的热传导方程:
比较可得由以上两种方法作出的三维图形基本相同,符合热传导的热量分布随时间和空间的变化规律
第四题完成
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