高三上学期期末考试数学理科试题.docx
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高三上学期期末考试数学理科试题
2019年高三上学期期末考试数学理科试题
高三数学(理科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)设集合,则满足的集合B的个数是
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】因为,所以,所以
共有4个,选C.
(2)已知是实数,是纯虚数,则等于
(A)(B)(C)(D)
【答案】B
【解析】因为是纯虚数,所以设.所以,所以,选B.
(3)已知为等差数列,其前项和为,若,,则公差等于
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】因为,,所以
,解得,所使用,解得,选C.
(4)执行如图所示的程序框图,输出的的值为
(A)(B)(C)(D)
【答案】A
【解析】第一次循环得;第二次循环得;第三次循环得,第四次循环得,但此时,不满足条件,输出,所以选A.
(5)若,是两个非零向量,则“”是“”的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】两边平方得
,即,所以,所以“”是“”的充要条件选C.
(6)已知,满足不等式组
当时,目标函数的最大值的变化范围是
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
【解析】,当时,对应的平面区域为阴影部分,
由得,平移直线由图象可知当直线经过点C时,直线的截距最大,此时解得,即,代入得。
当时,对应的平面区域为阴影部分ODE,由得,平移直线由图象可知当直线经过点E时,直线的截距最大,此时解得,即,代入得。
所以目标函数的最大值的变化范围是,即,选D.
,
(7)已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,抛物线的准线与轴的交点为,点在抛物线上且,则△的面积为
(A)4(B)8(C)16(D)32
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为,抛物线的焦点为,所以,即。
所以抛物线方程为,焦点,准线方程,即,设,
过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以
即,所以,整理得,即,所以,所以
选D.
(8)给出下列命题:
①在区间上,函数,,,中有三个是增函数;②若,则;③若函数是奇函数,则的图象关于点对称;④已知函数
则方程有个实数根,其中正确命题的个数为
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】①在区间上,只有,是增函数,所以①错误。
②由,可得,即,所以,所以②正确。
③正确。
④当时,,由,可知此时有一个实根。
当时,由,得,即,所以④正确。
所以正确命题的个数为3个。
选C.
第Ⅱ卷(共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)若,且,则 .
【答案】
【解析】因为,所以为第三象限,所以,即
。
(10)图中阴影部分的面积等于 .
【答案】
【解析】根据积分应用可知所求面积为。
(11)已知圆:
,则圆心的坐标为;
若直线与圆相切,且切点在第四象限,则.
【答案】
【解析】圆的标准方程为,所以圆心坐标为,半径为1.要使直线与圆相切,且切点在第四象限,所以有。
圆心到直线的距离为,即,所以。
(12)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.
【答案】
【解析】由三视图可知,该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。
棱柱的高为4,
,底面梯形的上底为4,下底为5,腰,所以梯形的面积为,梯形的周长为
,所以四个侧面积为
,所以该几何体的表面积为
。
(13)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:
第一次提价,第二次提价;方案乙:
每次都提价,若,则提价多的方案是.
【答案】乙
【解析】设原价为1,则提价后的价格:
方案甲:
乙:
,因为
,因为,所以
,即
,所以提价多的方案是乙。
(14)定义映射,其中,,已知对所有的有序正整数对满足下述条件:
①;②若,;③
,
则,.
【答案】
【解析】根据定义得
。
,
,
,所以根据归纳推理可知。
三、解答题:
本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题共13分)
已知函数
.
(Ⅰ)求的最小正周期及单调递减区间;
(Ⅱ)若在区间上的最大值与最小值的和为,求的值.
(16)(本小题共13分)
已知为等比数列,其前项和为,且.
(Ⅰ)求的值及数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和.
(17)(本小题共14分)
如图,在菱形中,,是的中点,⊥平面,且在矩形中,,.
(Ⅰ)求证:
⊥;
(Ⅱ)求证:
//平面;
(Ⅲ)求二面角的大小.
(18)(本小题共13分)
已知,函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求在区间上的最小值.
(19)(本小题共13分)
在平面直角坐标系中,动点到两点,的距离之和等于,设点的轨迹为曲线,直线过点且与曲线交于,两点.
(Ⅰ)求曲线的轨迹方程;
(Ⅱ)是否存在△面积的最大值,若存在,求出△的面积;若不存在,说明理由.
(20)(本小题共14分)
已知实数组成的数组满足条件:
①;②.
(Ⅰ)当时,求,的值;
(Ⅱ)当时,求证:
;
(Ⅲ)设,且,
求证:
.
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高三数学参考答案及评分标准(理科)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
(1)C
(2)B(3)C(4)A
(5)C(6)D(7)D(8)C
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
(9)(10)(11)
(12)(13)乙(14)
注:
两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:
(Ⅰ)
.……………………………………………3分
所以.……………………………………………………………4分
由
,
得.
故函数的单调递减区间是().…………………7分
(Ⅱ)因为,
所以.
所以.…………………………………………………………10分
因为函数在上的最大值与最小值的和
,
所以.…………………………………………………………………………13分
(16)(共13分)
解:
(Ⅰ)当时,.………………………………………1分
当时,.…………………………………………………3分
因为是等比数列,
所以,即..……………………………………5分
所以数列的通项公式为.…………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
.
则
.①
.②
①-②得
…………………9分
.…………………………………………………12分
所以.……………………………………………………………13分
(17)(共14分)
解:
(Ⅰ)连结,则.
由已知平面,
因为
,
所以平面.……………………2分
又因为平面,
所以.……………………4分
(Ⅱ)与交于,连结.
由已知可得四边形是平行四边形,
所以是的中点.
因为是的中点,
所以.…………………………7分
又平面,
平面,
所以平面.……………………………………………………………9分
(Ⅲ)由于四边形是菱形,是的中点,可得.
如图建立空间直角坐标系,则,,,
.
,.…………………………………………10分
设平面的法向量为.
则
所以
令.
所以.……………………………………………………………12分
又平面的法向量,
所以.
所以二面角的大小是60°.………………………………………14分
(18)(共13分)
解:
(Ⅰ)当时,,,
所以,.………………………………2分
因此.
即曲线在点处的切线斜率为.…………………………4分
又,
所以曲线在点处的切线方程为,
即.……………………………………………6分
(Ⅱ)因为,所以.
令,得.……………………………………………8分
若,则,在区间上单调递增,此时函数无最小值.
若,当时,,函数在区间上单调递减,
当时,,函数在区间上单调递增,
所以当时,函数取得最小值.………………………………10分
若,则当时,,函数在区间上单调递减,
所以当时,函数取得最小值.…………………………………12分
综上可知,当时,函数在区间上无最小值;
当时,函数在区间上的最小值为;
当时,函数在区间上的最小值为.……………13分
(19)(共13分)
解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点的轨迹C是以,为焦点,长半轴长为的椭圆.……………………………………………………………………………3分
故曲线的方程为.…………………………………………………5分
(Ⅱ)存在△面积的最大值.…………………………………………………6分
因为直线过点,可设直线的方程为或(舍).
则
整理得.…………………………………7分
由
.
设.
解得,.
则.
因为
.………………………10分
设,,.
则在区间上为增函数.
所以.
所以,当且仅当时取等号,即.
所以的最大值为.………………………………………………………………13分
(20)(共14分)
(Ⅰ)解:
由
(1)得,再由
(2)知,且.
当时,.得,所以
……………………………2分
当时,同理得
………………………………………………4分
(Ⅱ)证明:
当时,
由已知,.
所以
.………………………………………………9分
(Ⅲ)证明:
因为,且.
所以,
即.……………………………11分
)
.……………………………………………………………14分
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