宁波市高三上学期期末考试数学理试题.docx
- 文档编号:2236532
- 上传时间:2023-05-03
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:95.29KB
宁波市高三上学期期末考试数学理试题.docx
《宁波市高三上学期期末考试数学理试题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《宁波市高三上学期期末考试数学理试题.docx(17页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
宁波市高三上学期期末考试数学理试题
浙江省宁波市20XX届高三上学期期末考试数学理试题
浙江省宁波市20XX届高三(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合Ay|yln(x2+1),x∈R,则CRA()
A.B.(?
∞,0]C.(?
∞,0)D.[0,+∞)
考点:
补集及其运算.343780
专题:
计算题.
分析:
由对数函数的性质求出函数yln(x2+1),x∈R的值域,则集合A可求,直接利用补集概念求得CRA.
解答:
解:
因为x2+1≥1,所以ln(x2+1)≥0.
所以,Ay|yln(x2+1),x∈Ry|y≥0[0,+∞).
则CRA(?
∞,0).
故选C.
点评:
本题考查了对数型复合函数的值域的求法,考查了补集及其运算,是基础题.
2.(5分)(2013?
浙江模拟)已知a,b是实数,则“|a+b||a|+|b|”是“ab>0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
考点:
必要条件、充分条件与充要条件的判断.343780
专题:
计算题.
分析:
因为“|a+b||a|+|b|”,说明ab同号,但是有时ab0也可以,从而进行判断;
解答:
解:
若ab>0,说明a与b全大于0或者全部小于0,
∴可得“|a+b||a|+|b|”,
若“|a+b||a|+|b|”,可以取ab0,此时也满足“|a+b||a|+|b|”,
∴“ab>0”?
“|a+b||a|+|b|”;
∴“|a+b||a|+|b|”是“ab>0”必要不充分条件,
故选B;
点评:
此题主要考查充分条件和必要条件的定义,是一道基础题;
3.(5分)函数,则该函数为()
A.单调递增函数,奇函数B.单调递增函数,偶函数
C.单调递减函数,奇函数D.单调递减函数,偶函数
考点:
奇偶性与单调性的综合.343780
专题:
函数的性质及应用.
分析:
利用基本函数的单调性判断出f(x)的单调性,再根据函数奇偶性的定义判断其奇偶性,由此可得答案.
解答:
解:
当x≥0时,f(x)1?
5?
x单调递增,当x<0时,f(x)5x?
1单调递增,且1?
5?
0050?
1,
所以f(x)在R上单调递增;
当x≥0时,?
x≤0,f(?
x)5?
x?
1?
(1?
5?
x)?
f(x),
当x<0时,?
x>0,f(?
x)1?
5x?
(5x?
1)?
f(x),
所以f(?
x)?
f(x),
故f(x)为奇函数,
综上,f(x)递增函数且为奇函数,
故选A.
点评:
本题考查分段函数的奇偶性、单调性的判断,属基础题,定义是解决相关问题的基本方法.
4.(5分)已知函数上有两个零点,则m的取值范围是()
A.(1,2)B.[1,2)C.(1,2]D.[l,2]
考点:
两角和与差的正弦函数;根的存在性及根的个数判断.343780
专题:
三角函数的图像与性质.
分析:
由题意可得函数与直线ym在[0,]上两个交点,数形结合可得m的取值范围.
解答:
解:
由题意可得函数2sin(2x+)与直线ym在[0,]上两个交点.
由于x∈[0,],故2x+∈[,],故g(x)∈[?
1,2].
令2x+t,则t∈[,],函数yh(t)2sint与直线ym在[,]上有两个交点,如图:
要使的两个函数图形有两个交点必须使得1≤m<2,
故选B.
点评:
本题主要考查方程根的存在性及个数判断,两角和差的正弦公式,体现了转化与数形结合的数学思想,属于中档题.
5.(5分)正方体ABCD?
A1B1C1D1中BC1与截面BB1D1D所成的角是()
A.B.C.D.
考点:
直线与平面所成的角.343780
专题:
空间角.
分析:
利用空间直角坐标系通过平面的法向量与其斜向量的夹角即可得出.
解答:
解:
如图所示,建立空间直角坐标系,
不妨设正方体的棱长为1,则A1(1,0,0,),C1(0,1,0),C1(0,1,0),B(1,1,1).
由正方体可知:
对角面BB1D1D的法向量,(?
1,1,0),(?
1,0,?
1).
设BC1与截面BB1D1D所成的角为θ,则sinθ.
∵,∴.
故选A.
点评:
熟练掌握利用空间直角坐标系通过平面的法向量与其斜向量的夹角来求线面角是解题的关键.
6.(5分)已知某四棱锥的三视图(单位:
cm)如图所示,则该四棱锥的体积是()
A.B.C.D.
考点:
由三视图求面积、体积.343780
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
由已知中的三视图我们要以判断出几何体为一个四棱锥,且由图中标识的数据,可以判断出几何体的棱长,高等几何量值,代入棱锥体积公式,可得答案.
解答:
解:
由已知中的三视图可得该几何体是一个以正视图为底的四棱锥
底面面积S4×(1+1)8
高h
故该四棱锥的体积VSh
故选C
点评:
本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知条件判断出几何体的几何形状及棱长,高等几何量值,是解答的关键.
7.(5分)设an,bn分别为等差数列与等比数列,且a1b14,a4b41,则以下结论正确的是()
A.a2>b2B.a3
考点:
等差数列的性质;等比数列的性质.343780
专题:
计算题.
分析:
由设an,bn分别为等差数列与等比数列,且a1b14,a4b41,我们不难求出等差数列的公差和等比数列的公比,然后代入各个答案中逐一进行判断,不难得到答案.
解答:
解:
∵a14,a41
∴d?
1
∵b14,b41
又∵0 ∴q ∴b2 ∴b3 ∴b5>a50 ∴b6>a6? 1 故选A 点评: 解答特殊数列(等差数列与等比数列)的问题时,根据已知条件构造关于基本量的方程,解方程求出基本量,再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式,然后代入进行运算. 8.(5分)(2011? 福建)设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1,F2,若曲线r上存在点P满足|PF1|: |F1F2|: |PF2|4: 3: 2,则曲线r的离心率等于() A.B.或2C.2D. 考点: 圆锥曲线的共同特征.343780 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据题意可设出|PF1|,|F1F2|和|PF2|,然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况,分别利用定义表示出a和c,则离心率可得. 解答: 解: 依题意设|PF1|4t,|F1F2|3t,|PF2|2t, 若曲线为椭圆则2a|PF1|+|PF2|6t,ct 则e, 若曲线为双曲线则,2a4t? 2t2t,at,ct ∴e 故选A 点评: 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.关键是利用圆锥曲线的定义来解决. 9.(5分)△ABC外接圆的半径为1,圆心为O,且的值是() A.3B.C.D.1 考点: 平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用.343780 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据题中的向量等式可知AO是△ABC的边BC上的中线,可得△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.然后在等腰△ABO中利用余弦定理,算出∠AOB120°,进而得到∠C60°.最后结合向量数量积公式和△ABC的边长,即可得出? 的值. 解答: 解: ∵, ∴AO是△ABC的边BC上的中线, ∵O是△ABC外接圆的圆心 ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形 ∵等腰△ABO中,||||1, ∴cos∠AOB? 可得∠AOB120° 由此可得,∠B30°,∠C90°? 30°60°,且△ACO是边长为1的等边三角形 ∵Rt△ABC中,||1,||2 ∴? ||? ||cos60°1 故选: D 点评: 本题给出三角形ABC外接圆心O,在已知AO是BC边的中线情况下求? 的值.着重考查了直角三角形的性质、余弦之理和向量数量积运算公式等知识,属于中档题. 10.(5分)已知上所有实根和为() A.15B.10C.6D.4 考点: 根的存在性及根的个数判断.343780 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数自变量的取值范围,对区间[0,5)上的值进行分类讨论,分别求出方程f(x)? x0的解,即可得出方程f(x)? x0在区间[0,5)上所有实根和. 解答: 解: 当x0时,f(0)e0? 10,故x0是方程f(x)? x0的一个根; ①当x∈(0,1]时,f(x)f(x? 1)+1ex? 1,当x1时,f (1)e01,当x∈(0,1)时,f(x)>e01,故x1是方程f(x)? x0的一个根; ②当x∈(1,2]时,f(x)f(x? 1)+1f(x? 2)+2ex? 2+1,当x2时,f (2)e0+12,当x∈(1,2)时,f(x)>2,故x2是方程f(x)? x0的一个根; ③当x∈(2,3]时,f(x)f(x? 3)+3ex? 3+2,只有当x3时,f(3)e0+23,故x3是方程f(x)? x0的一个根; ④当x∈(3,4]时,f(x)f(x? 4)+4ex? 4+3,只有当x4时,f(4)e0+34,故x4是方程f(x)? x0的一个根; ⑤当x∈(4,5]时,f(x)f(x? 5)+5ex? 5+4,只有当x5时,f(5)e0+45,故x5是方程f(x)? x0的一个根,但x5? [0,5); 则方程f(x)? x0在区间[0,5)上所有实根和为: 0+1+2+3+410. 故选B. 点评: 本题考查分段函数,考查根的存在性及根的个数判断,考查了分类讨论的数学思想,属于综合题型. 二、填空题: 本大题共7小题,每小题4分,共28分, 11.(4分)已知a,b是实数,且b2+(4+i)b+4+ai0(其中i是虚数单位),则|a+bi|的值是2. 考点: 复数求模;复数代数形式的乘除运算.343780 专题: 计算题. 分析: 由已知结合复数相等的条件可求出a,b然后代入所求的式子,结合复数模的求解即可 解答: 解: ∵b2+(4+i)b+4+ai0 ∴b2+4b+4+(b+a)i0 根据复数相等的条件可知,,解可得b? 2,a2 ∴|a+bi||2? 2i|2 故答案为: 2 点评: 本题主要考查了复数相等条件的简单应用及复数的模的求解,属于基础试题 12.(4分)如果双曲线的两个焦点分别为F1(0,3)和F2(0,3),其中一条渐近线的方程是,则双曲线的实轴长为2. 考点: 双曲线的简单性质.343780 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的焦点在y轴且c3,可得a2+b29.由一条渐近线的方程是得,两式联解即可得到a,b,由此即可得到双曲线的实轴长. 解答: 解: ∵双曲线的两个焦点分别为F1(0,3)和F2(0,3), ∴双曲线焦点在y轴,设方程为(a>0,b>0) 可得a2+b2329…① ∵一条渐近线的方程是, ∴…② ①②联解,可得a,b 因此,双曲线方程的实轴长等于2 故答案为: 2 点评: 本题给出双曲线的焦点和一条渐近线方程,求双曲线的实轴长,着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题. 13.(4分)设等差数列an的前n项和为Sn,首项a11,且对任意正整数n都有,则Snn2. 考点: 等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.343780 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的通项公式可求a2n,an,代入已知式子并令n1可求公差d,然后由等差数列的求和公式即可求解 解答: 解: 由等差数列的通项公式可得,a2n1+(2n? 1)d,an1+(n? 1)d ∵,对任意n都成立 ∴对任意n都成立 当n1时,有,解得d2 ∴n2 故答案为: n2 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题 14.(4分)执行如图所示的程序框图,则输出的s值是4. 考点: 程序框图.343780 专题: 操作型. 分析: 根据已知的框图,可知程序的功能是在循环变量t值小于3时利用循环计算变量S的值,在不满足条件时输出计算结果. 解答: 解: 当t1时,满足进行循环的条件,S? 1,t2; 当t2时,满足进行循环的条件,S,t3; 当t3时,满足进行循环的条件,S,t4; 当t4时,满足进行循环的条件,S4,t5; 当t5时,不满足进行循环的条件, 此时S值为4 故答案为: 4 点评: 本题考查的知识点是程序框图,当程序的运行次数不多时,我们多采用模拟程序运行的方法得到程序的运行结果. 15.(4分)(2005? 福建)展开式中的常数项是240(用数字作答). 考点: 幂函数的性质.343780 分析: 二项展开式中通项公式,令它为常数,可求出结果. 解答: 解: 设展开式的常数项是则,∴r2,所以常数项是240 故答案为: 240 点评: 本题考查展开式的基本运算,是基础题. 16.(4分)已知D是由不等式组,所确定的平面区域,则圆x2+y24在区域D内的弧长为. 考点: 简单线性规划的应用.343780 专题: 计算题;数形结合. 分析: 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件的可行域D,及圆x2+y24在区域D内的弧长,求出弧所对的圆周角,代入弧长公式,即可求解. 解答: 解: 满足约束条件的可行域D, 及圆x2+y24在区域D内的弧,如下图示: ∵直线x? 2y0与直线x+3y0的夹角θ满足 tanθ||1 故θ45°,则圆x2+y24在区域D内的弧长为 故答案为: 点评: 平面区域的满足条件的直线(曲线)的长度问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,及直线(曲线),然后根据两点间距离公式,弧长公式,弦长公式等求直线(曲线)长度的方法进行求解. 17.(4分)已知两条直线l1: y2,l2: y4,设函数y3x的图象与l1、l2分别交于点A、B,函数y5x的图象与l1、l2分别交于点C、D,则直线AB与CD的交点坐标是(0,0). 考点: 两条直线的交点坐标.343780 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由题意可得,A(log32,2),B(log34,4),C(log52,2)D(log54,4),从而可求直线AB,CD的方程,联立方程即可求解交点 解答: 解: 由题意可得,A(log32,2),B(log34,4),C(log52,2)D(log54,4) ∴KAB2log23 KCD2log25 ∴直线AB的方程,y? 22log23(x? log32) 即y2log23x 直线CD的方程y? 22log25(x? log52)即y2log25x 从而可得,交点为(0,0) 故答案为: (0,0) 点评: 本题主要考查了直线的斜率公式的应用,直线方程的求解及两直线的交点的求解,属于基础试题 三、解答题: 本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(14分)在△ABC中,已知AC2,AB1,且角A、B、C满足. (I)求角A的大小和BC边的长; (II)若点P是线段AC上的动点,设点P到边AB、BC的距离分别是x,y.试求xy的最大值,并指出P点位于何处时xy取得最大值. 考点: 余弦定理;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;正弦定理.343780 专题: 计算题;解三角形. 分析: (I)通过二倍角的余弦函数,化简表达式,求出在△ABC中cosA的值,即可得到A的值. (II)利用正弦定理求出B的值,建立坐标系,利用基本不等式求出xy的最大值即可. 解答: 解: (I)因为, 所以2cso2A+cosA? 10,∴cosA,cosA? 1(舍去), 所以A,由余弦定理可得: a2b2+c2? 2bccosA22+12? 2×3, 所以BC边的长为; (II)由正弦定理得: sinB,B.以B为原点建立坐标系如图, P(x,y)P在线段AC上,所以x+y(x,y≥0)由基本不等式可得: ≥2,可知xy, 当x,y时等号成立. 所以当P点与线段AC的中点重合时,xy取得最大值. 点评: 本题主要考查余弦定理,二倍角公式及诱导公式的应用,基本不等式的应用,考查计算能力,属于中档题. 19.(14分)已知正方体ABCD、EFGH的棱长为1,现从8个顶点中随机取3个点构成三角形,设随机变量X表示取出的三角形的面积. (I)求概率; (II)求X的分布形列及数学期望E(X). 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.343780 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (I)从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有种取法,然后借助于正方体找出面积分别为的三角形的个数,利用等可能事件的概率公式即可求解 (II)先判断出由正方体的顶点组成的三角形的面积的可能值即X可能取值,求出其概率,即可求解分布列和期望 解答: 解: (I)从正方体的8个顶点中任意取3个构成三角形的顶点共有种取法 其中X的三角形如图中的△ABC,这类三角形共有24个 ∴P(X) (II)由(I)知,形如△BEG的三角形有8个,其面积为 形如△ABC的三角形有4×624个,这些三角形的面积都是 形如△ABG的三角形有4×624个,这些三角形的面积都是 而X可能取值有 P(X) P(X) ∴随机变量X的分布列为 EX 点评: 本题主要考查了离散型随机变量的分布列及期望的求解,解题的关键是准确求出各种情况下的概率 20.(15分)已知四棱锥P? ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,∠BAD120°,PAAD1,AB2.M、N分别是PD、CD的中点. (I)求证: MN⊥AD; (II)求二面角A? MN? C的平面角的余弦值. 考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.343780 专题: 空间角. 分析: (Ⅰ)通过建立空间直角坐标系,求出两条直线的方向向量的夹角即可; (Ⅱ)利用两个平面的法向量的夹角即可得出. 解答: (Ⅰ)证明: 在△ADC中,由余弦定理可得: AC212+22? 2×1×2×cos60°3, ∴AC2+AD2CD2,∴AC⊥AD. 又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,PA⊥AD. 建立如图所示的空间直角坐标系A? xyz, 则A(0,0,0),C,D(0,1,0),P(0,0,1),M, N. ∴,又, ∴0,∴,即MN⊥AD. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得: . 设平面AMN的法向量为,则,, 可得,令z,则y? x1, ∴. 同理可得平面CMN的法向量. ∴. ∴二面角A? MN? C的平面角的余弦值为. 点评: 熟练掌握通过建立空间直角坐标系利用两条直线的方向向量的夹角求异面直线所成的角、利用两个平面的法向量的夹角求二面角是解题的关键. 21.(15分)如图,设点上的动点,过点P作抛物线的两条切线,切点分别是A、B.已知圆C1的圆心M在抛物线C2的准线上. (I)求t的值; (Ⅱ)求的最小值,以及取得最小值时点P的坐标. 考点: 平面向量数量积的运算;抛物线的简单性质.343780 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)先分别求出圆心坐标和抛物线的准线方程,进而即可得出; (Ⅱ)设出切线的方程,并与抛物线的方程联立,由相切可得△0,利用根与系数的关系及数量积即可得出,再利用点P在圆上及函数的导数即可求出最小值. 解答: 解: (Ⅰ)圆C1的圆心M(0,? 1),抛物线C2的准线为y? ∵圆C1的圆心M在抛物线C2的准线上,∴,解得t4. ∴t的值为4. (Ⅱ)由题意可知: 切线PA、PB的斜率都存在,分别为k1,k2,切点A(x1,y1),B(x2,y2). 设过点P的抛物线的切线l: yk(x? m)+n,代入x24y, 可得x2? 4kx+(4km? 4n)0(*) ∵直线l与抛物线相切,∴△16k2? 4×(4km? 4n)0,化为k2? km+n0. ∴k1+k2m,k1k2n.(**) 此时,x12k1,;同理,x22k2,. ∴(x1? m)(x2? m)+(y1? n)(y2? n) 4k1k2? 2m(k1+k2)+? 4n? 2m2+m2+n2? n(m2? 2n)+n2 4n2+4n? m2(1+n). ∵点P(m,n)在圆C1上,∴,∴,代入上式可得 考查函数f(n). 求得f′(n), 令f′(n)0,解得或. 当时,f′(n)<0,f(n)单调递减; 当时,f′(n)>0,f(n)单调递增. ∴当时,f(n)取得最小值. 此时对应的点P. 点评: 熟练掌握圆锥曲线的定义与性质、直线与圆锥曲线相切问题的解决模式、根与系数的关系、利用导数求函数的最值等是解题的关键. 22.(14分)设函数. (I)试讨论函数f(x)在区间[0,1]上的单调性: (II)求最小的实数h,使得对任意x∈[0,1]及任意实数t,恒成立. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数恒成立问题.343780 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)对t分类讨论,利用导数与单调性的关系即可得出; (2)把问题正确等价转化,通过分类讨论,利用导数研究函数的单调性和最值,即可得出. 解答: 解: (1)∵函数,∴f′(x)3x2? t. 1°若t≤0,则f′(x)≥0(不恒等于0)在[0,1]上恒成立,∴f(x)在[0,1]上单调递增; 2°若t≥3时,∵3x2≤3,∴f′(x)≤0在[0,1]上恒成立,∴f(x)在[0,1]上单调递减; 3°若0 当时,f′(x)<0,∴f(x)在上单调递减; 当时,f′(x)>0,∴f(x)在上单调递增. (2)? 因此,只需求出当x∈[0,1],t∈R时,的最小值即可. 方法一: 令g(x)f(x)+,x∈[0,1], 而g′(x)f′(x),由 (1)的结论可知: 当t≤0或t≥3时,则g(x)在[0,1]上单调,故g(x)minming(0),g (1)min,0. 当0 . ∴h(t). 下面求当t∈R时,关于t的函数h(t)的最小值. 当t∈(0,1)时,h(t)在(0,1)上单调递减; 当1 (1)? . 综上可知: 当t∈[0,1]且t∈R时,的最小值为,即得h的最小值为? m. 方法2: 对于给定的x∈[0,1],求关于t的函数(t∈R), g(t)f(x)+? xt++x3的最小值. 由于? x≤0,当t∈(? ∞,1)时,g′(t)≤0;由于1? x≥0,故当t∈(1,+∞)时,g′(t)≥0. 考虑到g(t)在t1处连续,∴g(t)的最小值h(x)x3? x. 下面再求关于x的函数h(x)x3? x在x∈[0,1]时的最小值. h′(x)3x2? 1,令h′(x)0,解得. 当时,h′(x)<0,函数h(x)在此区间上单调递减;当时,h′(x)>0,函数h(x)在此区间上单调递增. 故h(x)的最小值为. 综上可得: 当x∈(0,1)时,且t∈R.的最小值m? 即得h的最小值为? m. 点评: 熟练掌握分类讨论的思想方法、利用导数研究函数单调性、极值、最值、及把问题正确等价转化是解题的关键.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 宁波市 高三上 学期 期末考试 学理 试题
![提示](https://static.bingdoc.com/images/bang_tan.gif)