高中数学函数压轴题(精制)Word文件下载.doc
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10.已知函数在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减;
(1)求a的值;
(2)求证:
x=1是该函数的一条对称轴;
(3)是否存在实数b,使函数的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点?
若存在,求出b的值;
若不存在,请说明理由.
11.定义在区间(0,)上的函f(x)满足:
(1)f(x)不恒为零;
(2)对任何实数x、q,都有.
(1)求证:
方程f(x)=0有且只有一个实根;
(2)若a>
b>
c>
1,且a、b、c成等差数列,求证:
;
(3)(本小题只理科做)若f(x)单调递增,且m>
n>
0时,有,求证:
12.已知三次函数在y轴上的截距是2,且在上单调递增,在(-1,2)上单调递减.
20070328
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数,求的单调区间.
13.已知函数(且).
(1)试就实数的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
(2)已知当时,函数在上单调递减,在上单调递增,求的值并写出函数的解析式;
(3)(理)记
(2)中的函数的图像为曲线,试问是否存在经过原点的直线,使得为曲线的对称轴?
若存在,求出的方程;
若不存在,请说明理由.
(文)记
(2)中的函数的图像为曲线,试问曲线是否为中心对称图形?
若是,请求出对称中心的坐标并加以证明;
若不是,请说明理由.
14.已知函数和的图象在处的切线互相平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,当时,恒成立,求的取值范围.
15.设函数定义在上,对任意的,恒有,且当时,。
试解决以下问题:
(1)求的值,并判断的单调性;
(2)设集合,若,求实数的取值范围;
(3)若,满足,求证:
16.(理科)二次函数f(x)=
(I)若方程f(x)=0无实数根,求证:
0;
(II)若方程f(x)=0有两实数根,且两实根是相邻的两个整数,求证:
f(-a)=;
(III)若方程f(x)=0有两个非整数实根,且这两实数根在相邻两整数之间,试证明存在整数k,使得.
(文科)已知函数f(x)=,其中
(I)若b>
2a,且f(sinx)(x∈R)的最大值为2,最小值为-4,试求函数f(x)的最小值;
(II)若对任意实数x,不等式恒成立,且存在成立,求c的值。
17.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:
对任意x、y(-1,1)都有。
(I)求证:
函数f(x)是奇函数;
(II)如果当时,有f(x)>
0,判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并加以证明;
(III)设-1<
a<
1,解不等式:
18.已知二次函数设方程f(x)=x有两个实数根x1、x2.
(Ⅰ)如果,设函数f(x)的对称轴为x=x0,求证x0>
—1;
(Ⅱ)如果,且f(x)=x的两实根相差为2,求实数b的取值范围.
19.函数的定义域为R,并满足以下条件:
①对任意,有;
②对任意、,有;
③则
(1)求的值;
(4分)
在R上是单调增函数;
(5分)
(3)若,求证:
20.(理)已知
(1)讨论的单调性;
(2)证明:
其中无理数.
(文)设函数,其图象在点处的切线的斜率分别为.
(2)若函数的递增区间为,求的取值范围.
21.设函数
(1)求函数f(x)的单调区间,并求函数f(x)的极大值和极小值;
(2)当x∈[a+1,a+2]时,不等,求a的取值范围.
22.已知函数,函数.
(1)当时,求函数f(x)的最小值;
(2)设函数h(x)=(1-x)f(x)+16,试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数.
23.已知二次函数为常数);
.若直线l1、l2与函数f(x)的图象以及l1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
(Ⅰ)求a、b、c的值;
(Ⅱ)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;
(Ⅲ)若问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?
若存在,求出m的值;
若不存在,说明理由.
24.已知,点A(s,f(s)),B(t,f(t))
(I)若,求函数的单调递增区间;
(II)若函数的导函数满足:
当|x|≤1时,有||≤恒成立,求函数的解析表达式;
(III)若0<
b,函数在和处取得极值,且,证明:
与不可能垂直.
25.已知函数
(1)设,当m≥时,求g(x)在[]上的最大值;
(2)若上是单调减函数,求实数m的取值范围.
26.(本小题满分12分)
已知常数a>
0,n为正整数,fn(x)=xn–(x+a)n(x>
0)是关于x的函数.
(1)判定函数fn(x)的单调性,并证明你的结论.
(2)对任意n³
a,证明f`n+1(n+1)<
(n+1)fn`(n)
答案:
1.解:
(1),由题意,
令得的单调递增区间为和.
(2),当变化时,与的变化情况如下表:
-4
(-4,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,3)
3
0
单调递增
单调递减
1
所以时,.于是在上恒成立等价于,求得.
2.解:
(1)P(x)=R(x)–C(x)=–10x3+45x2+3240x–5000(xÎ
N且xÎ
[1,20]);
2分
MP(x)=P(x+1)–P(x)=–30x2+60x+3275(xÎ
[1,20]).4分
(2)P`(x)=–30x2+90x+3240=–30(x+9)(x–12)(xÎ
[1,20])7分
当1<
x<
12时,P`(x)>
0,P(x)单调递增,
当12<
x<
20时,P`(x)<
0,P(x)单调递减.
∴x=12时,P(x)取最大值,10分
即,年建造12艘船时,公司造船的年利润最大.11分
(3)由MP(x)=–30(x–1)2+3305(xÎ
[1,20]).
∴当1<
x£
20时,MP(x)单调递减.12分
MP(x)是减函数说明:
随着产量的增加,每艘利润与前一台比较,利润在减少.1
3.解:
(1)………………………………………………………………(6分)
(2)由解得
即
解得…………………………………(12分)
(1)由,
又,
当时,,,
∴对于时,,命题成立。
………………(14分)
以下用数学归纳法证明对,且时,都有成立
假设时命题成立,即,
那么即时,命题也成立。
∴存在满足条件的区间。
4.解:
(Ⅰ)证明:
∴结论成立……………………………………4分
(Ⅱ)证明:
当
即…………9分
(Ⅲ)解:
(1)当
如果即时,则函数在上单调递增
如果
当时,最小值不存在…………………………11分
(2)当
如果…13分
综合得:
当时g(x)最小值是
当时g(x)最小值是当时g(x)最小值为
当时g(x)最小值不存在
5.解:
(1)证明:
设为的峰点,则由单峰函数定义可知,在上单调递增,在上单调递减,
当时,假设,则<
从而这与矛盾,所以,即为含峰区间.
当时,假设,则,从而这与矛盾,所以,即为含峰区间………………………….(7分)
(2)证明:
由
(1)的结论可知:
当时,含峰区间的长度为;
对于上述两种情况,由题意得①
由①得即,
又因为,所以②
将②代入①得③
由①和③解得
所以这时含峰区间的长度,
即存在使得所确定的含峰区间的长度不大于
6.解:
(1)证明:
,
由方程的两根分别为、知
时,,所以此时,
所以在区间上是增函数
(2)解:
由(1)知在上,最小值为,最大值为,
,,可求得,
,
所以当时,在区间上的最大值与最小值之差最小,最小值为4
7.解:
(1)表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入=8万元;
……………………(2分)
表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要回避失败风险,至少要投入=12万元.……………………………(4分)
12
8
x
O
M(17,25)
(2)解方程组
………………(6分)
得:
x=17,y=25……………(9分)
故甲公司至少投入17万元,
乙公司至少投入25万元.……(11分)
(3)经观察,
显见.
故点M(17,25)是双方在宣传投入上保
证自己不失败的一个平衡点.………(16分)
8.解:
(1)∵奇函数的图像上任意两点连线的斜率均为负
∴对于任意且有
……………………………………………………3分
从而与异号
∴在上是减函数…………………………………………5分
(2)的定义域为
的定义域为………………………………7分
∵上述两个定义域的交集为空集
则有:
或…………………………9分
解得:
或
故c的取值范围为或………………………………………………10分
(3)∵恒成立
由
(2)知:
当时
当或时
且
此时的交集为………………………………………12分
当
且
此时的交集为
故时,存在公共定义域,且
当或时,公共定义域为;
当时,公共定义域为.
9.解:
(1)由函数f(x)的图像开口向上,对称轴x=-b/2a<
-1知,f(x)在[-1,1]上为增函数,故f
(1)=a+b+c=2,f(-1)=a-b+c=-4,∴b=3,a+c=-1。
又b>
2a,故a=1,c=-2。
∴f(x)=x2+3x-2,最小值为-17/4。
(2)令x=1,代入不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)得f
(1)=4,即a+b+c=4,从而b=4-a-c。
又4x≤f(x)恒成立,得ax2+(b-4)x+c≥0恒成立,故△=(b-4)2-4ac≤0,∴a=c。
又b≥0,a+c≤4,∴c=1或c=2。
当c=2时,f(x)=2x2+2,此时不存在满足题意的x0。
当c=1时满足条件,故c=1。
10.解:
(1)
∵∴,∴,
(2)设点A(x
∵
由交点对应于方程即
∴b=4或b=0为所求.
11.解:
(1)取x=1,q=2,有
若存在另一个实根,使得
(2),
,则0,∴,又a+c=2b,
∴ac-b=
即ac<
b
(3)
又
令m=b,n=,b且q
则f(m)+f(n)=(qf(b)=f(mn)=0且
即4m=,由0<
n<
1得,
12.解:
(Ⅰ)∵在y轴上的截距是2,∴f(0)=2,∴c=2.1分
又在上单调递增,(-1,2)上单调递减,
有两个根为-1,2,
,…………5分
(Ⅱ),
,………………6分
,………………………………………7分
当m≤-2时,-m≥2,定义域:
恒成立,上单增;
………………………8分
当时,,定义域:
恒成立,上单增………………………9分
当m>
-1时,-m<
1,定义域:
由得x>
1,由得x<
1.
故在(1,2),(2,+∞)上单增;
在上单减.………………11分
综上所述,当m≤-2时,h(x)在(-m,+∞)上单增;
当时,上单增;
当m>
-1时,在(1,2),(2,+∞)上单增;
在(-m,1)单减.…12分
13.解:
(1)①当时,函数的单调递增区间为及,
②当时,函数的单调递增区间为及,
③当时,函数的单调递增区间为及.
(6分)
(2)由题设及
(1)中③知且,解得,(9分)
因此函数解析式为.(10分)
(3)(理)假设存在经过原点的直线为曲线的对称轴,显然、轴不是曲线的对称轴,故可设:
(),
设为曲线上的任意一点,与关于直线对称,且
,,则也在曲线上,由此得,,
且,,(14分)
整理得,解得或,
所以存在直线及为曲线的对称轴.(16分)
(文)该函数的定义域,曲线的对称中心为,
因为对任意,,
所以该函数为奇函数,曲线为中心对称图形.
14.解:
(Ⅰ)………………………3分
∵函数和的图象在处的切线互相平行
…………………………………………………5分
………………………………………………………………6分
(Ⅱ)
…………………………………………7分
令
∴当时,,当时,.
∴在是单调减函数,在是单调增函数. …………………………9分
∴当时,有,当时,有.
∵当时,恒成立,∴ …………………………11分
∴满足条件的的值满足下列不等式组
①,或②
不等式组①的解集为空集,解不等式组②得
综上所述,满足条件的的取值范围是:
.
15.解:
(1)在中令,得;
…………………2分
设,则,从而有
所以,
所以,在上单调递减…………………5分
(2),由
(1)知,在上单调递减,
,…………………7分
故集合中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分;
而,所以,,…………8分
故集合中的点所表示的区域为一直线,如图所示,
由图可知,要,只要,
∴实数的取值范围是…………………10分
(3)由
(1)知在上单调递减,∴当时,,当时,,
,而,,故,
由得,,所以,,…………………12分
又,所以,
由得,,,
又,所以,由
及解得,
16.解:
(理)(I)(3分)
(II)设两整根为x1,x2,x1>
x2
(5分)
(III)设m<
x1<
x2<
m+1,m为整数。
即
f(m)=
f(m+1)=
(6分)
(文)f(sinx)=
f(sinx)max=f
(1)=2,
2a>
0,
(7分)
(2)
不存在
当a=1时,c=1,
此时存在x0,使
17.解:
(I)证:
令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),
故f(0)=0令y=-x,则f(x)+f(-x)=
∴f(-x)=-f(x)
∴函数f(x)的奇函数 4’
(II)设-1<
1,则
因此
∴函数f(x)在(-1,1)上是减函数 8’
(III)是(-1,1)上的减函数,
由得x<
0或x>
2 9’
当a=0时,,原不等式的解集为{x|x>
2} 10’
当-1<
0时。
x>
2中原不等式的解;
若x<
0,则a(x-1)>
1,x<
1+
故原不等式的解集为 12’
当0<
1时,x<
0不是原不等式的解;
若x>
2,则a(x-1)<
1+∴
故原不等式的解集为{x|}
18.解:
(Ⅰ)设
∴由条件……(2分)即(4分)
∴……(5分)对
……(8分)
(Ⅱ)由
……(11分)
由代入有
19.解:
解法一:
(1)令,得:
……………1分
…………………………4分
(2)任取、,且.设则
……………………8分
在R上是单调增函数……9分
(3)由
(1)
(2)知
………11分
而……15分
解法二:
(1)∵对任意x、y∈R,有
………1分∴当时……2分
∵任意x∈R,…………3分……………………4分
(2)…………………………6分
是R上单调增函数即是R上单调增函数;
……9分
(3)……………………11分
而
20.解:
(理)
(1)
①若时,
∴在单调递增,在单调递减,……………………………………
②若时,对恒成立.
∴在上单调递减.…………………………………………………………
③若,
由,
由可得或,
∴在[]
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