高中数学函数压轴题(精制).doc
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高中数学函数压轴题(精制).doc
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高考数学函数压轴题:
1.已知函数在处取得的极小值是.
(1)求的单调递增区间;
(2)若时,有恒成立,求实数的取值范围.
2.某造船公司年最高造船量是20艘.已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x+45x2–10x3(单位:
万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单位:
万元).又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为:
Mf(x)=f(x+1)–f(x).求:
(提示:
利润=产值–成本)
(1)利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);
(2)年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?
(3)边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?
3.已知函数,函数的图象与的图象关于点中心对称。
(1)求函数的解析式;
(2)如果,,试求出使成
立的取值范围;
(3)是否存在区间,使对于区间内的任意实数,只要,且时,都有恒成立?
4.已知函数:
(Ⅰ)证明:
f(x)+2+f(2a-x)=0对定义域内的所有x都成立.
(Ⅱ)当f(x)的定义域为[a+,a+1]时,求证:
f(x)的值域为[-3,-2];
(Ⅲ)设函数g(x)=x2+|(x-a)f(x)|,求g(x)的最小值.
5.设是定义在上的函数,若存在,使得在上单调递增,在上单调递减,则称为上的单峰函数,为峰点,包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的上的单峰函数,下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(1)证明:
对任意的,,若,则为含峰区间;若,则为含峰区间;
(2)对给定的,证明:
存在,满足,使得由
(1)所确定的含峰区间的长度不大于;
6.设关于的方程的两根分别为、,函数
(1)证明在区间上是增函数;
(2)当为何值时,在区间上的最大值与最小值之差最小
7.甲乙两公司生产同一种新产品,经测算,对于函数,,及任意的,当甲公司投入万元作宣传时,乙公司投入的宣传费若小于万元,则乙公司有失败的危险,否则无失败的危险;当乙公司投入万元作宣传时,甲公司投入的宣传费若小于万元,则甲公司有失败的危险,否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费x万元,乙公司投入宣传费y万元,建立如图直角坐标系,试回答以下问题:
(1)请解释;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问此时各应投入多少宣传费?
(3)若甲、乙分别在上述策略下,为确保无失败的危险,根据对方所投入的宣传费,按最少投入费用原则,投入自己的宣传费:
若甲先投入万元,乙在上述策略下,投入最少费用;而甲根据乙的情况,调整宣传费为;同样,乙再根据甲的情况,调整宣传费为如此得当甲调整宣传费为时,乙调整宣传费为;试问是否存在,的值,若存在写出此极限值(不必证明),若不存在,说明理由.
8.设是定义域在上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.
(l)求证在上是减函数;
(ll)如果,的定义域的交集为空集,求实数的取值范围;
(lll)证明若,则,存在公共的定义域,并求这个公共的空义域.
9.已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z。
(1)若b>2a,且f(sinx)(x∈R)的最大值为2,最小值为-4,试求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意实数x,不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)恒成立,且存在x0,使得f(x0)<2(x02+1)成立,求c的值。
10.已知函数在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减;
(1)求a的值;
(2)求证:
x=1是该函数的一条对称轴;
(3)是否存在实数b,使函数的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点?
若存在,求出b的值;若不存在,请说明理由.
11.定义在区间(0,)上的函f(x)满足:
(1)f(x)不恒为零;
(2)对任何实数x、q,都有.
(1)求证:
方程f(x)=0有且只有一个实根;
(2)若a>b>c>1,且a、b、c成等差数列,求证:
;
(3)(本小题只理科做)若f(x)单调递增,且m>n>0时,有,求证:
12.已知三次函数在y轴上的截距是2,且在上单调递增,在(-1,2)上单调递减.
20070328
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数,求的单调区间.
13.已知函数(且).
(1)试就实数的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
(2)已知当时,函数在上单调递减,在上单调递增,求的值并写出函数的解析式;
(3)(理)记
(2)中的函数的图像为曲线,试问是否存在经过原点的直线,使得为曲线的对称轴?
若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.
(文)记
(2)中的函数的图像为曲线,试问曲线是否为中心对称图形?
若是,请求出对称中心的坐标并加以证明;若不是,请说明理由.
14.已知函数和的图象在处的切线互相平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,当时,恒成立,求的取值范围.
15.设函数定义在上,对任意的,恒有,且当时,。
试解决以下问题:
(1)求的值,并判断的单调性;
(2)设集合,若,求实数的取值范围;
(3)若,满足,求证:
16.(理科)二次函数f(x)=
(I)若方程f(x)=0无实数根,求证:
b>0;
(II)若方程f(x)=0有两实数根,且两实根是相邻的两个整数,求证:
f(-a)=;
(III)若方程f(x)=0有两个非整数实根,且这两实数根在相邻两整数之间,试证明存在整数k,使得.
(文科)已知函数f(x)=,其中
(I)若b>2a,且f(sinx)(x∈R)的最大值为2,最小值为-4,试求函数f(x)的最小值;
(II)若对任意实数x,不等式恒成立,且存在成立,求c的值。
17.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:
对任意x、y(-1,1)都有。
(I)求证:
函数f(x)是奇函数;
(II)如果当时,有f(x)>0,判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并加以证明;
(III)设-1 18.已知二次函数设方程f(x)=x有两个实数根x1、x2. (Ⅰ)如果,设函数f(x)的对称轴为x=x0,求证x0>—1; (Ⅱ)如果,且f(x)=x的两实根相差为2,求实数b的取值范围. 19.函数的定义域为R,并满足以下条件: ①对任意,有; ②对任意、,有;③则 (1)求的值;(4分) (2)求证: 在R上是单调增函数;(5分) (3)若,求证: 20.(理)已知 (1)讨论的单调性; (2)证明: 其中无理数. (文)设函数,其图象在点处的切线的斜率分别为. (1)求证: ; (2)若函数的递增区间为,求的取值范围. 21.设函数 (1)求函数f(x)的单调区间,并求函数f(x)的极大值和极小值; (2)当x∈[a+1,a+2]时,不等,求a的取值范围. 22.已知函数,函数. (1)当时,求函数f(x)的最小值; (2)设函数h(x)=(1-x)f(x)+16,试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数. 23.已知二次函数为常数);.若直线l1、l2与函数f(x)的图象以及l1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示. (Ⅰ)求a、b、c的值; (Ⅱ)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式; (Ⅲ)若问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点? 若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. 24.已知,点A(s,f(s)),B(t,f(t)) (I)若,求函数的单调递增区间; (II)若函数的导函数满足: 当|x|≤1时,有||≤恒成立,求函数的解析表达式; (III)若0 与不可能垂直. 25.已知函数 (1)设,当m≥时,求g(x)在[]上的最大值; (2)若上是单调减函数,求实数m的取值范围. 26.(本小题满分12分) 已知常数a>0,n为正整数,fn(x)=xn–(x+a)n(x>0)是关于x的函数. (1)判定函数fn(x)的单调性,并证明你的结论. (2)对任意n³a,证明f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n) 答案: 1.解: (1),由题意, 令得的单调递增区间为和. (2),当变化时,与的变化情况如下表: -4 (-4,-2) -2 (-2,2) 2 (2,3) 3 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 1 所以时,.于是在上恒成立等价于,求得. 2.解: (1)P(x)=R(x)–C(x)=–10x3+45x2+3240x–5000(xÎN且xÎ[1,20]);2分 MP(x)=P(x+1)–P(x)=–30x2+60x+3275(xÎN且xÎ[1,20]).4分 (2)P`(x)=–30x2+90x+3240=–30(x+9)(x–12)(xÎN且xÎ[1,20])7分 当1 当12 ∴x=12时,P(x)取最大值,10分 即,年建造12艘船时,公司造船的年利润最大.11分 (3)由MP(x)=–30(x–1)2+3305(xÎN且xÎ[1,20]). ∴当1 MP(x)是减函数说明: 随着产量的增加,每艘利润与前一台比较,利润在减少.1 3.解: (1)………………………………………………………………(6分) (2)由解得 即 解得…………………………………(12分) (1)由, 又, 当时,,, ∴对于时,,命题成立。 ………………(14分) 以下用数学归纳法证明对,且时,都有成立 假设时命题成立,即, 那么即时,命题也成立。 ∴存在满足条件的区间。 4.解: (Ⅰ)证明: ∴结论成立……………………………………4分 (Ⅱ)证明: 当 即…………9分 (Ⅲ)解: (1)当 如果即时,则函数在上单调递增 如果 当时,最小值不存在…………………………11分 (2)当 如果 如果…13分 当 综合得: 当时g(x)最小值是 当时g(x)最小值是当时g(x)最小值为 当时g(x)最小值不存在 5.解: (1)证明: 设为的峰点,则由单峰函数定义可知,在上单调递增,在上单调递减, 当时,假设,则<,从而这与矛盾,所以,即为含峰区间. 当时,假设,则,从而这与矛盾,所以,即为含峰区间………………………….(7分) (2)证明: 由 (1)的结论可知: 当时,含峰区间的长度为; 当时,含峰区间的长度为; 对于上述两种情况,由题意得① 由①得即, 又因为,所以② 将②代入①得③ 由①和③解得 所以这时含峰区间的长度, 即存在使得所确定的含峰区间的长度不大于 6.解: (1)证明: , 由方程的两根分别为、知 时,,所以此时, 所以在区间上是增函数 (2)解: 由(1)知在上,最小值为,最大值为, ,,可求得, , 所以当时,在区间上的最大值与最小值之差最小,最小值为4 7.解: (1)表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入=8万元;……………………(2分) 表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要回避失败风险,至少要投入=12万元.……………………………(4分) 12 8 x O M(17,25) (2)解方程组 ………………(6分) 得: x=17,y=25……………(9分) 故甲公司至少投入17万元, 乙公司至少投入25万元.……(11分) (3)经观察, 显见. 故点M(17,25)是双方在宣传投入上保 证自己不失败的一个平衡点.………(16分) 8.解: (1)∵奇函数的图像上任意两点连线的斜率均为负 ∴对于任意且有 ……………………………………………………3分 从而与异号 ∴在上是减函数…………………………………………5分 (2)的定义域为 的定义域为………………………………7分 ∵上述两个定义域的交集为空集 则有: 或…………………………9分 解得: 或 故c的取值范围为或………………………………………………10分 (3)∵恒成立 由 (2)知: 当时 当或时 且 此时的交集为………………………………………12分 当 且 此时的交集为 故时,存在公共定义域,且 当或时,公共定义域为; 当时,公共定义域为. 9.解: (1)由函数f(x)的图像开口向上,对称轴x=-b/2a<-1知,f(x)在[-1,1]上为增函数,故f (1)=a+b+c=2,f(-1)=a-b+c=-4,∴b=3,a+c=-1。 又b>2a,故a=1,c=-2。 ∴f(x)=x2+3x-2,最小值为-17/4。 (2)令x=1,代入不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)得f (1)=4,即a+b+c=4,从而b=4-a-c。 又4x≤f(x)恒成立,得ax2+(b-4)x+c≥0恒成立,故△=(b-4)2-4ac≤0,∴a=c。 又b≥0,a+c≤4,∴c=1或c=2。 当c=2时,f(x)=2x2+2,此时不存在满足题意的x0。 当c=1时满足条件,故c=1。 10.解: (1) ∵∴,∴, (2)设点A(x ∵ 由交点对应于方程即 ∴b=4或b=0为所求. 11.解: (1)取x=1,q=2,有 若存在另一个实根,使得 (2), ,则0,∴,又a+c=2b, ∴ac-b= 即ac (3) 又 令m=b,n=,b且q 则f(m)+f(n)=(qf(b)=f(mn)=0且 即4m=,由0 12.解: (Ⅰ)∵在y轴上的截距是2,∴f(0)=2,∴c=2.1分 又在上单调递增,(-1,2)上单调递减, 有两个根为-1,2, ,…………5分 (Ⅱ), ,………………6分 ,………………………………………7分 当m≤-2时,-m≥2,定义域: , 恒成立,上单增;………………………8分 当时,,定义域: 恒成立,上单增………………………9分 当m>-1时,-m<1,定义域: 由得x>1,由得x<1. 故在(1,2),(2,+∞)上单增;在上单减.………………11分 综上所述,当m≤-2时,h(x)在(-m,+∞)上单增; 当时,上单增; 当m>-1时,在(1,2),(2,+∞)上单增;在(-m,1)单减.…12分 13.解: (1)①当时,函数的单调递增区间为及, ②当时,函数的单调递增区间为及, ③当时,函数的单调递增区间为及. (6分) (2)由题设及 (1)中③知且,解得,(9分) 因此函数解析式为.(10分) (3)(理)假设存在经过原点的直线为曲线的对称轴,显然、轴不是曲线的对称轴,故可设: (), 设为曲线上的任意一点,与关于直线对称,且 ,,则也在曲线上,由此得,, 且,,(14分) 整理得,解得或, 所以存在直线及为曲线的对称轴.(16分) (文)该函数的定义域,曲线的对称中心为, 因为对任意,, 所以该函数为奇函数,曲线为中心对称图形. 14.解: (Ⅰ)………………………3分 ∵函数和的图象在处的切线互相平行 …………………………………………………5分 ………………………………………………………………6分 (Ⅱ) …………………………………………7分 令 ∴当时,,当时,. ∴在是单调减函数,在是单调增函数. …………………………9分 , ∴当时,有,当时,有. ∵当时,恒成立,∴ …………………………11分 ∴满足条件的的值满足下列不等式组 ①,或② 不等式组①的解集为空集,解不等式组②得 综上所述,满足条件的的取值范围是: . 15.解: (1)在中令,得;…………………2分 设,则,从而有 所以, 所以,在上单调递减…………………5分 (2),由 (1)知,在上单调递减, ,…………………7分 故集合中的点所表示的区域为如图所示的阴影部分; 而,所以,,…………8分 故集合中的点所表示的区域为一直线,如图所示, 由图可知,要,只要, ∴实数的取值范围是…………………10分 (3)由 (1)知在上单调递减,∴当时,,当时,, ,而,,故, 由得,,所以,,…………………12分 又,所以, 又 由得,,, 又,所以,由 及解得, 16.解: (理)(I)(3分) (II)设两整根为x1,x2,x1>x2 (5分) (III)设m 即 f(m)= f(m+1)= (6分) (文)f(sinx)= f(sinx)max=f (1)=2, 又b>2a>0, (7分) (2) 不存在 当a=1时,c=1, 此时存在x0,使 17.解: (I)证: 令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0), 故f(0)=0令y=-x,则f(x)+f(-x)= ∴f(-x)=-f(x) ∴函数f(x)的奇函数 4’ (II)设-1 因此 ∴函数f(x)在(-1,1)上是减函数 8’ (III)是(-1,1)上的减函数, 由得x<0或x>2 9’ 当a=0时,,原不等式的解集为{x|x>2} 10’
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