福建省高考数学试卷理科答案与解析Word格式.doc
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∀x∈R,2x>x2
a+b=0的充要条件是=﹣1
a>1,b>1是ab>1的充分条件
必要条件、充分条件与充要条件的判断;
全称命题;
特称命题;
命题的真假判断与应用.菁优网版权所有
利用指数函数的单调性判断A的正误;
通过特例判断,全称命题判断B的正误;
通过充要条件判断C、D的正误;
因为y=ex>0,x∈R恒成立,所以A不正确;
因为x=﹣5时2﹣5<(﹣5)2,所以∀x∈R,2x>x2不成立.
a=b=0时a+b=0,但是没有意义,所以C不正确;
a>1,b>1是ab>1的充分条件,显然正确.
故选D.
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,全称命题,特称命题,命题的真假判断与应用,考查基本知识的理解与应用.
4.(5分)(2012•福建)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( )
球
三棱锥
正方体
圆柱
由三视图还原实物图.菁优网版权所有
作图题.
利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义,容易判断圆柱的三视图不可能形状相同,大小均等
A、球的三视图均为圆,且大小均等;
B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥,其一个侧面放到平面上,其三视图均为三角形且形状都相同;
C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形;
D、圆柱的三视图中必有一个为圆,其他两个为矩形.
故一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是圆柱.
本题主要考查了简单几何体的结构特征,简单几何体的三视图的形状大小,空间想象能力,属基础题
5.(5分)(2012•福建)下列不等式一定成立的是( )
lg(x2+)>lgx(x>0)
sinx+≥2(x≠kx,k∈Z)
x2+1≥2|x|(x∈R)
(x∈R)
不等式比较大小.菁优网版权所有
探究型.
由题意,可对四个选项逐一验证,其中C选项用配方法验证,A,B,D三个选项代入特殊值排除即可
A选项不成立,当x=时,不等式两边相等;
B选项不成立,这是因为正弦值可以是负的,故不一定能得出sinx+≥2;
C选项是正确的,这是因为x2+1≥2|x|(x∈R)⇔(|x|﹣1)2≥0;
D选项不正确,令x=0,则不等式左右两边都为1,不等式不成立.
综上,C选项是正确的.
故选:
本题考查不等式大小的比较,不等式大小比较是高考中的常考题,类型较多,根据题设选择比较的方法是解题的关键
6.(5分)(2012•福建)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
定积分在求面积中的应用;
几何概型.菁优网版权所有
根据题意,易得正方形OABC的面积,观察图形可得,阴影部分由函数y=x与y=围成,由定积分公式,计算可得阴影部分的面积,进而由几何概型公式计算可得答案.
根据题意,正方形OABC的面积为1×
1=1,
而阴影部分由函数y=x与y=围成,其面积为∫01(﹣x)dx=(﹣)|01=,
则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影部分的概率为=;
故选C.
本题考查几何概型的计算,涉及定积分在求面积中的应用,关键是正确计算出阴影部分的面积.
7.(5分)(2012•福建)设函数,则下列结论错误的是( )
D(x)的值域为{0,1}
D(x)是偶函数
D(x)不是周期函数
D(x)不是单调函数
分段函数的解析式求法及其图象的作法.菁优网版权所有
证明题.
由函数值域的定义易知A结论正确;
由函数单调性定义,易知D结论正确;
由偶函数定义可证明B结论正确;
由函数周期性定义可判断C结论错误,故选D
A显然正确;
∵=D(x),
∴D(x)是偶函数,
B正确;
∵D(x+1)==D(x),
∴T=1为其一个周期,
故C错误;
∵D()=0,D
(2)=1,D()=0,
显然函数D(x)不是单调函数,
故D正确;
本题主要考查了函数的定义,偶函数的定义和判断方法,函数周期性的定义和判断方法,函数单调性的意义,属基础题
8.(5分)(2012•福建)已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )
5
双曲线的简单性质;
抛物线的简单性质.菁优网版权所有
确定抛物线y2=12x的焦点坐标,从而可得双曲线的一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离.
抛物线y2=12x的焦点坐标为(3,0)
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为,即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
本题考查抛物线的性质,考查时却显得性质,确定双曲线的渐近线方程是关键.
9.(5分)(2012•福建)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的最大值为( )
简单线性规划.菁优网版权所有
计算题;
压轴题;
数形结合.
根据题意,由线性规划知识分析可得束条件确定的区域,由指数函数的性质分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点(1,2),结合图形分析可得m的最大值,即可得答案.
约束条件确定的区域为如图阴影部分,即△ABC的边与其内部区域,
分析可得函数y=2x与边界直线x+y=3交与点(1,2),
若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件,
即y=2x图象上存在点在阴影部分内部,
则必有m≤1,即实数m的最大值为1,
本题考查线性规划的应用与指数函数的性质,关键是得到函数y=2x与阴影部分边界直线的交点.
10.(5分)(2012•福建)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:
①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;
②f(x2)在[1,]上具有性质P;
③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];
④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]
其中真命题的序号是( )
①②
①③
②④
③④
利用导数求闭区间上函数的最值;
抽象函数及其应用;
函数的连续性.菁优网版权所有
新定义.
根据题设条件,分别举出反例,说明①和②都是错误的;
同时证明③和④是正确的.
在①中,反例:
f(x)=在[1,3]上满足性质P,
但f(x)在[1,3]上不是连续函数,故①不成立;
在②中,反例:
f(x)=﹣x在[1,3]上满足性质P,但f(x2)=﹣x2在[1,]上不满足性质P,
故②不成立;
在③中:
在[1,3]上,f
(2)=f()≤,
∴,
故f(x)=1,
∴对任意的x1,x2∈[1,3],f(x)=1,
故③成立;
在④中,对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],
有=
≤
=[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],
∴[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],
故④成立.
本题考查的知识点为函数定义的理解,说明一个结论错误时,只需举出反例即可.说明一个结论正确时,要证明对所有的情况都成立.
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.
11.(4分)(2012•福建)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a= 2 .
二项式定理的应用.菁优网版权所有
根据(a+x)4的展开式的通项公式为Tr+1=a4﹣rxr,令r=3可得(a+x)4的展开式中x3的系数等于×
a=8,由此解得a的值.
(a+x)4的展开式的通项公式为Tr+1=a4﹣rxr,
令r=3可得(a+x)4的展开式中x3的系数等于×
a=8,解得a=2,
故答案为2.
本题主要考查二项式定理,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.
12.(4分)(2012•福建)阅读图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的s值等于 ﹣3 .
循环结构.菁优网版权所有
直接利用循环框图,计算循环的结果,当k=4时,退出循环,输出结果.
由题意可知第1次判断后,s=1,k=2,
第2次判断循环,s=0,k=3,
第3次判断循环,s=﹣3,k=4,
不满足判断框的条件,退出循环,输出S.
故答案为:
﹣3.
本题考查循环结构的作用,注意判断框的条件以及循环后的结果,考查计算能力.
13.(4分)(2012•福建)已知△ABC得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为 .
余弦定理;
等比数列的性质.菁优网版权所有
根据三角形三边长成公比为的等比数列,根据等比数列的性质设出三角形的三边为a,a,2a,根据2a为最大边,利用大边对大角可得出2a所对的角最大,设为θ,利用余弦定理表示出cosθ,将设出的三边长代入,即可求出cosθ的值.
根据题意设三角形的三边长分别为a,a,2a,
∵2a>a>a,∴2a所对的角为最大角,设为θ,
则根据余弦定理得:
cosθ==﹣.
﹣
此题考查了余弦定理,等比数列的性质,以及三角形的边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.
14.(4分)(2012•福建)数列{an}的通项公式an=ncos+1,前n项和为Sn,则S2012= 3018 .
数列的求和.菁优网版权所有
压轴题.
先求出cos的规律,进而得到ncos的规律,即可求出数列的规律即可求出结论.
因为cos=0,﹣1,0,1,0,﹣1,0,1…;
∴ncos=0,﹣2,0,4,0,﹣6,0,8…;
∴ncos的每四项和为2;
∴数列{an}的每四项和为:
2+4=6.
而2012÷
4=503;
∴S2012=503×
6=3018.
3018.
本题主要考察数列的求和,解决本题的关键在于求出数列各项的规律.
15.(4分)(2012•福建)对于实数a和b,定义运算“*”:
a*b=设f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是 .
根的存在性及根的个数判断;
根据所给的新定义,写出函数的分段形式的解析式,画出函数的图象,在图象上可以看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时m的取值,根据一元二次方程的根与系数之间的关系,写出两个根的积和第三个根,表示出三个根之积,根据导数判断出函数的单调性,求出关于m的函数的值域,得到结果.
∵2x﹣1≤x﹣1时,有x≤0,
∴根据题意得f(x)=
即f(x)=
画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根时,m的取值范围是(0,),
当﹣x2+x=m时,有x1x2=m,
当2x2﹣x=m时,由于直线与抛物线的交点在y轴的左边,得到,
∴x1x2x3=m()=,m∈(0,)
令y=,
则,又在m∈(0,)上是增函数,故有h(m)>h(0)=1
∴<0在m∈(0,)上成立,
∴函数y=在这个区间(0,)上是一个减函数,
∴函数的值域是(f(),f(0)),即
本题考查分段函数的图象,考查新定义问题,这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式,本题是一个综合问题,涉及到导数判断函数的单调性,本题是一个中档题目.
三、解答题:
本大题共5小题,共80分,解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(13分)(2012•福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x(年)
0<x<1
1<x≤2
x>2
0<x≤2
轿车数量(辆)
45
每辆利润(万元)
1.8
2.9
将频率视为概率,解答下列问题:
(Ⅰ)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;
(Ⅱ)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列;
(Ⅲ)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?
说明理由.
离散型随机变量的期望与方差;
等可能事件的概率;
离散型随机变量及其分布列.菁优网版权所有
(I)根据保修期为2年,可知甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的轿车数量为2+3,由此可求其概率;
(II)求出概率,可得X1、X2的分布列;
(III)由(II),计算期为E(X1)=1×
+2×
+3×
=2.86(万元),E(X2)=1.8×
+2.9×
=2.79(万元),比较期望可得结论.
(I)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=
(II)依题意得,X1的分布列为
X1
1
2
P
X2的分布列为
X2
1.8
2.9
(III)由(II)得E(X1)=1×
=2.86(万元)
E(X2)=1.8×
=2.79(万元)
∵E(X1)>E(X2),
∴应生产甲品牌轿车.
本题考查概率的求解,考查分布列与期望,解题的关键是求出概率,属于基础题.
17.(13分)(2012•福建)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)sin213°
+cos217°
﹣sin13°
cos17°
(2)sin215°
+cos215°
﹣sin15°
cos15°
(3)sin218°
+cos212°
﹣sin18°
cos12°
(4)sin2(﹣18°
)+cos248°
﹣sin2(﹣18°
)cos48°
(5)sin2(﹣25°
)+cos255°
﹣sin2(﹣25°
)cos55°
(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
分析法和综合法;
归纳推理.菁优网版权所有
(Ⅰ)选择
(2),由sin215°
=1﹣sin30°
=,可得这个常数的值.
(Ⅱ)推广,得到三角恒等式sin2α+cos2(30°
﹣α)﹣sinαcos(30°
﹣α)=.证明方法一:
直接利用两角差的余弦公式代入等式的左边,化简可得结果.
证明方法二:
利用半角公式及两角差的余弦公式把要求的式子化为+﹣sinα(cos30°
cosα+sin30°
sinα),即1﹣+cos2α+sin2α
﹣sin2α﹣,化简可得结果.
选择
(2),计算如下:
sin215°
=,故这个常数为.
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广,得到三角恒等式sin2α+cos2(30°
﹣α)=.
证明:
(方法一)sin2α+cos2(30°
﹣α)=sin2α+﹣sinα(cos30°
sinα)
=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα﹣sinαcosα﹣sin2α=sin2α+cos2α=.
(方法二)sin2α+cos2(30°
﹣α)=+﹣sinα(cos30°
=1﹣+(cos60°
cos2α+sin60°
sin2α)﹣sin2α﹣sin2α
=1﹣+cos2α+sin2α﹣sin2α﹣=1﹣﹣+=.
本题主要考查两角差的余弦公式,二倍角公式及半角公式的应用,考查归纳推理以及计算能力,属于中档题.
18.(13分)(2012•福建)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点.
(Ⅰ)求证:
B1E⊥AD1;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?
若存在,求AP的长;
若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°
,求AB的长.
用空间向量求平面间的夹角;
空间中直线与直线之间的位置关系;
直线与平面平行的判定.菁优网版权所有
证明题;
综合题;
数形结合;
转化思想.
(Ⅰ)由题意及所给的图形,可以A为原点,,,的方向为X轴,Y轴,Z轴的正方向建立空间直角坐标系,设AB=a,给出图形中各点的坐标,可求出向量与的坐标,验证其数量积为0即可证出两线段垂直.
(II)由题意,可先假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE,求出平面B1AE法向量,可法向量与直线DP的方向向量内积为0,由此方程解出t的值,若能解出,则说明存在,若不存在符合条件的t的值,说明不存在这样的点P满足题意.
(III)由题设条件,可求面夹二面角的两个平面的法向量,利用两平面的夹角为30°
建立关于a的方程,解出a的值即可得出AB的长
(I)以A为原点,,,的方向为X轴,Y轴,Z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1)
故=(0,1,1),=(﹣,1,﹣1),=(a,0,1),=(,1,0),
∵•=1﹣1=0
∴B1E⊥AD1;
(II)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE.此时=(0,﹣1,t).
又设平面B1AE的法向量=(x,y,z).
∵⊥平面B1AE,∴⊥B1A,⊥AE,得,取x=1,得平面B1AE的一个法向量=(1,﹣,﹣a).
要使DP∥平面B1AE,只要⊥,即有•=0,有此得﹣at=0,解得t=,即P(0,0,),
又DP⊈平面B1AE,
∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=
(III)连接A1D,B1C,由长方体ABCD﹣A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
由(I)知,B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1.
∴AD1⊥平面DCB1A1,
∴AD1是平面B1A1E的一个法向量,此时=(0,1,1).
设与所成的角为θ,则cosθ==
∵二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°
,
∴|cosθ|=cos30°
=,即||=,解得a=2,即AB的长为2
本题考查利用空间向量这一工具求二面角,证明线面平行及线线垂直,解题的关键是建立恰当的坐标系及空间位置关系与向量的对应,此类解题,方法简单思维量小,但计算量大,易因为计算错误导致解题失败,解题时要严谨,认真,利用空间向量求解立体几何题是近几年高考的热点,必考内容,学习时要好好把握
19.(13分)(2012•福建)如图,椭圆E:
的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=.过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆E的方程.
(Ⅱ)设动直线l:
y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:
在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?
若存在,求出点M的坐标;
直线与圆锥曲线的综合问题;
椭圆的标准方程.菁优网版权所有
(Ⅰ)根据过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8,可得4a=8,即a=2,利用e=,b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆E的方程.
(Ⅱ)由,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0,利用动直线l:
y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),可得m≠0,△=0,进而可得P(,),由得Q(4,4k+m),取k=0,m=;
k=,m=2,猜想满足条件的点M存在,只能是M(1,0),再进行证明即可.
(Ⅰ)∵过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.
∴4a=8,∴
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