福建省高考数学试卷(文科).doc
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2014年福建省高考数学试卷(文科)
2014年福建省高考数学试卷(文科)
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分
1.(5分)(2013•福建)若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于( )
A.
{x|3≤x<4}
B.
{x|3<x<4}
C.
{x|2≤x<3}
D.
{x|2≤x≤3}
2.(5分)(2013•福建)复数(3+2i)i等于( )
A.
﹣2﹣3i
B.
﹣2+3i
C.
2﹣3i
D.
2+3i
3.(5分)(2013•福建)以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
A.
2π
B.
π
C.
2
D.
1
4.(5分)(2013•福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
5.(5分)(2013•福建)命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是( )
A.
∀x∈(﹣∞,0),x3+x<0
B.
∀x∈(﹣∞,0),x3+x≥0
C.
∃x0∈[0,+∞),x03+x0<0
D.
∃x0∈[0,+∞),x03+x0≥0
6.(5分)(2013•福建)已知直线l过圆x2+(y﹣3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )
A.
x+y﹣2=0
B.
x﹣y+2=0
C.
x+y﹣3=0
D.
x﹣y+3=0
7.(5分)(2013•福建)将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的函数图象,则下列说法正确的是( )
A.
y=f(x)是奇函数
B.
y=f(x)的周期为π
C.
y=f(x)的图象关于直线x=对称
D.
y=f(x)的图象关于点(﹣,0)对称
8.(5分)(2013•福建)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数正确的是( )
A.
B.
C.
D.
9.(5分)(2013•福建)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A.
80元
B.
120元
C.
160元
D.
240元
10.(5分)(2013•福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于( )
A.
B.
2
C.
3
D.
4
11.(5分)(2013•福建)已知圆C:
(x﹣a)2+(y﹣b)2=1,设平面区域Ω=,若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为( )
A.
5
B.
29
C.
37
D.
49
12.(5分)(2013•福建)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L﹣距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分
13.(4分)(2013•福建)如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 _________ .
14.(4分)(2013•福建)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,则AB等于 _________ .
15.(4分)(2013•福建)函数f(x)=的零点个数是 _________ .
16.(4分)(2013•福建)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:
①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于 _________ .
三.解答题:
本大题共6小题,共74分.
17.(12分)(2013•福建)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
18.(12分)(2013•福建)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx).
(Ⅰ)求f()的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
19.(12分)(2013•福建)如图,三棱锥A﹣BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.
(Ⅰ)求证:
CD⊥平面ABD;
(Ⅱ)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A﹣MBC的体积.
20.(12分)(2013•福建)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:
行政区
区人口占城市人口比例
区人均GDP(单位:
美元)
A
25%
8000
B
30%
4000
C
15%
6000
D
10%
3000
E
20%
10000
(Ⅰ)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;
(Ⅱ)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.
21.(12分)(2013•福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=﹣3的距离小2.
(Ⅰ)求曲线Γ的方程;
(Ⅱ)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N,以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B,试探究:
当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?
证明你的结论.
22.(14分)(2013•福建)已知函数f(x)=ex﹣ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为﹣1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值;
(2)证明:
当x>0时,x2<ex;
(3)证明:
对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex.
2014年福建省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分
1.(5分)(2013•福建)若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于( )
A.
{x|3≤x<4}
B.
{x|3<x<4}
C.
{x|2≤x<3}
D.
{x|2≤x≤3}
考点:
交集及其运算.菁优网版权所有
专题:
集合.
分析:
由于两集合已是最简,直接求它们的交集即可选出正确答案
解答:
解:
∵P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},
∴P∩Q={x|3≤x<4}.
故选A.
点评:
本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键.
2.(5分)(2013•福建)复数(3+2i)i等于( )
A.
﹣2﹣3i
B.
﹣2+3i
C.
2﹣3i
D.
2+3i
考点:
复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有
专题:
数系的扩充和复数.
分析:
直接由复数代数形式的乘法运算化简求值.
解答:
解:
(3+2i)i=3i+2i2=﹣2+3i.
故选:
B.
点评:
本题考查了复数代数形式的乘法运算,是基础的计算题.
3.(5分)(2013•福建)以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
A.
2π
B.
π
C.
2
D.
1
考点:
旋转体(圆柱、圆锥、圆台);棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.菁优网版权所有
专题:
计算题;空间位置关系与距离.
分析:
边长为1的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,从而可求圆柱的侧面积.
解答:
解:
边长为1的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,
则所得几何体的侧面积为:
1×2π×1=2π,
故选:
A.
点评:
本题是基础题,考查旋转体的侧面积的求法,考查计算能力.
4.(5分)(2013•福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
程序框图.菁优网版权所有
专题:
算法和程序框图.
分析:
根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件2n>n2,跳出循环,确定输出的n值.
解答:
解:
由程序框图知:
第一次循环n=1,21>1;
第二次循环n=2,22=4.
不满足条件2n>n2,跳出循环,输出n=2.
故选:
B.
点评:
本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.
5.(5分)(2013•福建)命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是( )
A.
∀x∈(﹣∞,0),x3+x<0
B.
∀x∈(﹣∞,0),x3+x≥0
C.
∃x0∈[0,+∞),x03+x0<0
D.
∃x0∈[0,+∞),x03+x0≥0
考点:
命题的否定;全称命题.菁优网版权所有
专题:
简易逻辑.
分析:
全称命题的否定是一个特称命题,按此规则写出其否定即可得出正确选项.
解答:
解:
∵命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”是一个全称命题.
∴其否定命题为:
∃x0∈[0,+∞),x03+x0<0
故选C.
点评:
本题考查全称命题的否定,掌握此类命题的否定的规则是解答的关键.
6.(5分)(2013•福建)已知直线l过圆x2+(y﹣3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )
A.
x+y﹣2=0
B.
x﹣y+2=0
C.
x+y﹣3=0
D.
x﹣y+3=0
考点:
直线与圆的位置关系.菁优网版权所有
专题:
直线与圆.
分析:
由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1,再利用点斜式求直线l的方程.
解答:
解:
由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1,
故l的方程是y﹣3=x﹣0,即x﹣y+3=0,
故选:
D.
点评:
本题主要考查用点斜式求直线的方程,两条直线垂直的性质,属于基础题.
7.(5分)(2013•福建)将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的函数图象,则下列说法正确的是( )
A.
y=f(x)是奇函数
B.
y=f(x)的周期为π
C.
y=f(x)的图象关于直线x=对称
D.
y=f(x)的图象关于点(﹣,0)对称
考点:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有
专题:
三角函数的图像与性质.
分析:
利用函数图象的平移法则得到函数y=f(x)的图象对应的解析式为f(x)=cosx,则可排除选项A,B,再由
cos=cos(﹣)=0即可得到正确选项.
解答:
解:
将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得y=sin(x+)=cosx.
即f(x)=cosx.
∴f(x)是周期为2π的偶函数,选项A,B错误;
∵cos=cos(﹣)=0,
∴y=f(x)的图象关于点(﹣,0)、(,0)成中心对称.
故选:
D.
点评:
本题考查函数图象的平移,考查了余弦函数的性质,属基础题.
8.(5分)(2013•福建)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数正确的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
函数的图象.菁优网版权所有
专题:
综合题;函数的性质及应用.
分析:
根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值,再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项.
解答:
解:
由对数函数的图象知,此函数图象过点(3,1),故有y=loga3=1,解得a=3,
对于A,由于y=a﹣x是一个减函数故图象与函数不对应,A错;
对于B,由于幂函数y=xa是一个增函数,且是一个奇函数,图象过原点,且关于原点对称,图象与函数的性质对应,故B正确;
对于C,由于a=3,所以y=(﹣x)a是一个减函数,图象与函数的性质不对应,C错;
对于D,由于y=loga(﹣x)与y=logax的图象关于y轴对称,所给的图象不满足这一特征,故D错.
故选B.
点评:
本题考查函数的性质与函数图象的对应,熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答此类题的关键.
9.(5分)(2013•福建)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A.
80元
B.
120元
C.
160元
D.
240元
考点:
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.菁优网版权所有
专题:
综合题;不等式的解法及应用.
分析:
设池底长和宽分别为a,b,成本为y,建立函数关系式,然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.
解答:
解:
设池底长和宽分别为a,b,成本为y,则
∵长方形容器的容器为4m3,高为1m,
∴底面面积S=ab=4,y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80,
∵a+b≥2=4,
∴当a=b=2时,y取最小值160,
即该容器的最低总造价是160元,
故选:
C.
点评:
本题以棱柱的体积为载体,考查了基本不等式,难度不大,属于基础题,由实际问题向数学问题转化是关键.
10.(5分)(2013•福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于( )
A.
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
向量在几何中的应用.菁优网版权所有
专题:
计算题;平面向量及应用.
分析:
虑用特殊值法去做,因为O为任意一点,不妨把O看成是特殊点,再代入计算,结果满足哪一个选项,就选哪一个.
解答:
解:
∵O为任意一点,不妨把A点看成O点,则=,
∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点,∴=2=4
故选:
D.
点评:
本题考查了平面向量的加法,做题时应掌握规律,认真解答.
11.(5分)(2013•福建)已知圆C:
(x﹣a)2+(y﹣b)2=1,设平面区域Ω=,若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为( )
A.
5
B.
29
C.
37
D.
49
考点:
简单线性规划.菁优网版权所有
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
作出不等式组对应的平面区域,利用圆C与x轴相切,得到b=1为定值,此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论.
解答:
解:
作出不等式组对应的平面区域如图:
圆心为(a,b),半径为1
∵圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,
∴b=1,
则a2+b2=a2+1,
∴要使a2+b2的取得最大值,则只需a最大即可,
由图象可知当圆心C位于B点时,a取值最大,
由,解得,即B(6,1),
∴当a=6,b=1时,a2+b2=36+1=37,即最大值为37,
故选:
C
点评:
本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.
12.(5分)(2013•福建)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L﹣距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
轨迹方程.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
设出F1,F2的坐标,在设出动点M的坐标,由新定义列式后分类讨论去绝对值,然后结合选项得答案.
解答:
解:
设F1(﹣c,0),F2(c,0),
再设动点M(x,y),动点到定点F1,F2的“L﹣距离”之和等于m(m>2c>0),
由题意可得:
|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m,
即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m.
当x<﹣c,y≥0时,方程化为2x﹣2y+m=0;
当x<﹣c,y<0时,方程化为2x+2y+m=0;
当﹣c≤x<c,y≥0时,方程化为y=;
当﹣c≤x<c,y<0时,方程化为y=c﹣;
当x≥c,y≥0时,方程化为2x+2y﹣m=0;
当x≥c,y<0时,方程化为2x﹣2y﹣m=0.
结合题目中给出的四个选项可知,选项A中的图象符合要求.
故选:
A.
点评:
本题考查轨迹方程的求法,考查了分类讨论的数学思想方法,解答的关键是正确分类,是中档题.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分
13.(4分)(2013•福建)如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 0.18 .
考点:
几何概型.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
根据几何槪型的概率意义,即可得到结论.
解答:
解:
正方形的面积S=1,设阴影部分的面积为S,
∵随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,
∴几何槪型的概率公式进行估计得,
即S=0.18,
故答案为:
0.18
点评:
本题主要考查几何槪型的概率的计算,利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键,比较基础.
14.(4分)(2013•福建)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,则AB等于 1 .
考点:
余弦定理;正弦定理.菁优网版权所有
专题:
三角函数的求值.
分析:
利用余弦定理列出关系式,将AC,BC,以及cosA的值代入即可求出AB的长.
解答:
解:
∵在△ABC中,A=60°,AC=b=2,BC=a=,
∴由余弦定理得:
a2=b2+c2﹣2bccosA,即3=4+c2﹣2c,
解得:
c=1,
则AB=c=1,
故答案为:
1
点评:
此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.
15.(4分)(2013•福建)函数f(x)=的零点个数是 2 .
考点:
根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
根据函数零点的定义,直接解方程即可得到结论.
解答:
解:
当x≤0时,由f(x)=0得x2﹣2=0,解得x=或x=(舍去),
当x>0时,由f(x)=0得2x﹣6+lnx=0,即lnx=6﹣2x,
作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象,由图象可知此时两个函数只有1个零点,
故函数f(x)的零点个数为2,
故答案为:
2
点评:
本题主要考查函数零点个数的判断,对于比较好求的函数,直接解方程f(x)=0即可,对于比较复杂的函数,由利用数形结合进行求解.
16.(4分)(2013•福建)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:
①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于 201 .
考点:
元素与集合关系的判断.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据集合相等的条件,列出a、b、c所有的取值情况,再判断是否符合条件,求出a、b、c的值后代入式子求值.
解答:
解:
由{a,b,c}={0,1,2}得,a、b、c的取值有以下情况:
当a=0时,b=1、c=2或b=2、c=1,此时不满足条件;
当a=1时,b=0、c=2或b=2、c=0,此时不满足条件;
当a=2时,b=1、c=0,此时不满足条件;
当a=2时,b=0、c=1,此时满足条件;
综上得,a=2、b=0、c=1,代入100a+10b+c=201,
故答案为:
201.
点评:
本题考查了集合相等的条件的应用,以及分类讨论思想,注意列举时按一定的顺序列举,做到不重不漏.
三.解答题:
本大题共6小题,共74分.
17.(12分)(2013•福建)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
考点:
等比数列的通项公式;等差数列的前n项和.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
(Ⅰ)设出等比数列的首项和公比,由已知列式求解首项和公比,则其通项公式可求;
(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的an代入bn=log3an,得到数列{bn}的通项公式,由此得到数列{bn}是以0为首项,以1为公差的等差数列,由等差数列的前n项和公式得答案.
解答:
解:
(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,
由a2=3,a5=81,得
,解得.
∴;
(Ⅱ)∵,bn=log3an,
∴.
则数列{bn}的首项为b1=0,
由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣(n﹣2)=1,
可知数列{bn}是以1为公差的等差数列.
∴.
点评:
本题考查等比数列的通项公式,考查了等差数列的前n项和公式,是基础的计算题.
18.(12分)(2013•福建)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx).
(Ⅰ)求f()的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
考点:
二倍角的正弦;二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法.菁优网版权所有
专题:
三角函数的求值.
分析:
(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数的解析式为f(x)=sin(2x+)+1,从而求得f()的值.
(Ⅱ)根据函数f(x)=sin(2x+)+1,求得它的最小正周期.令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,求得x的范围,可得函数的单调递增区间.
解答:
解:
(Ⅰ)∵函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)=sin2x+1+cos2x=sin(2x+)+1,
∴f()=sin(+)+1=sin+1=+1=2.
(Ⅱ)∵函数f(x)=sin(2x+)+1,故它的最小正周期为=π.
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,求得kπ﹣≤x≤kπ+,
故函数的单调递增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z.
点评:
本题主要考查三角函数的恒等变换,三角函数的周期性和单调性,属于中档题.
19.(12分)(2013•福建)如图,三棱锥A﹣BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.
(Ⅰ)求证:
CD⊥平面ABD;
(Ⅱ)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A﹣MBC的体积.
考点:
直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有
专题:
综合题;空间位置关系与距离.
分析:
(Ⅰ)证明:
CD⊥平面ABD,只需证明AB⊥CD;
(Ⅱ)利用转换底面,VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM•CD,即可求出三棱锥A﹣MBC的体积.
解答:
(Ⅰ)证明:
∵AB⊥平面BCD,CD
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- 福建省 高考 数学试卷 文科