导数在函数中的应用题型总结Word文档下载推荐.doc
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①求函数在区间(a,b)内的极值;
②将函数的各个极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值
4.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;
(4)回归实际问题作答.
注意事项
1.直线与曲线有且只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线;
反之直线是曲线的切线,但直线不一定与曲线有且只有一个公共点.
2.
(1)f′(x)>0在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件.
(2)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
3.求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)由f′(x)>0(f′(x)<0)解出相应的x的范围.
当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增函数;
当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是减函数,还可以列表,写出函数的单调区间.
4.
(1)注意实际问题中函数定义域的确定.
(2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.
二.题型训练
题型一 求曲线切线的方程
例1.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.
(1)求曲线f(x)在x=2处的切线方程;
(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.
变式1.曲线y=xex+1在点(0,1)处的切线方程是( )
A.x-y+1=0 B.2x-y+1=0C.x-y-1=0D.x-2y+2=0
2.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则a-b的值为( )
A.-4 B.-1C.3 D.-2
题型二.求函数的单调区间
例2.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
练习:
1.设函数f(x)=x(ex-1)-x2,则函数f(x)的单调增区间为________.
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f
(1)=,且函数f(x)在上不存在极值点,求a的取值范围.
题型三.分类讨论求函数的单调区间
例3.已知函数f(x)=x2+ax+blnx(x>
0,实数a,b为常数).
(1)若a=1,b=-1,求函数f(x)的极值;
(2)若a+b=-2,讨论函数f(x)的单调性.
1.已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2,其中a≤2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(0,2]上有且只有一个零点,求实数a的取值范围.
2.已知a∈R,函数
(1)求的单调区间
(2)证明:
当0≤≤1时,+>0.
3.设函数(Ⅰ)求的单调区间
(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>
0时,,求k的最大值
小结:
利用导数研究函数的单调性关注四点
(1)利用导数研究函数的单调性,大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论.
(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时,依据根的大小进行分类讨论.
(3)在不能通过因式分解求出根时,根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.
(4)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的,千万不要忽视了定义域的限制.
题型四.单调性的逆用
例4.已知函数f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间.
1.已知函数f(x)=(x+a)2-7blnx+1,其中a,b是常数且a≠0.
(1)若b=1时,f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)当b=a2时,讨论f(x)的单调性.
2.若函数f(x)=x2+ax+在上是增函数,则a的取值范围是( )
A.[-1,0] B.[-1,+∞)C.[0,3] D.[3,+∞)
3.函数f(x)=x3-x2+ax-5在区间[-1,2]上不单调,则实数a的范围是________.
4.已知函数f(x)=的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2
(Ⅰ)求实数a,b的值;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)+是[]上的增函数,求实数m的最大。
5.已知函数
(1)若函数在上为增函数,求实数的取值范围;
(2)当时,求在上的最大值和最小值.
题型五.求函数的极值、最值
例5.已知函数在处取得极值为
(1)求、的值;
(2)若有极大值28,求在上的最大值.
1.关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是________.
2.已知是实数,1和是函数的两个极值点.
(1)求和的值;
(2)设函数的导函数,求的极值点;
(3)设,其中,求函数的零点个数.
3.已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)当a=1时,若直线l:
y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.
4.已知函数f(x)=ax--3lnx,其中a为常数.
(1)当函数f(x)的图象在点(,f())处的切线的斜率为1时,求函数f(x)在[,3]上的最小值;
(2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上既有极大值又有极小值,求a的取值范围.
题型六.导数与方程
例6.设a为实数,函数
(1)求极值
(2)求与x轴只有一个交点时a的取值范围
变式:
若与x轴有2个交点时a的取值范围?
1.设函数
(Ⅰ)求的单调区间和极值;
(Ⅱ)若关于的方程有3个不同实根,求实数a的取值范围.
(Ⅲ)已知当恒成立,求实数k的取值范围.
2.已知函数上为增函数.
(1)求k的取值范围;
(2)若函数的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围.
3.已知函数f(x)=xlnx,
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)讨论关于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的个数;
4.已知a,b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数).
(1)求实数b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)都有公共点?
若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;
若不存在,说明理由.
题型七.利用导数证明不等式
例7.设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:
当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.
1.已知m∈R,函数f(x)=(x2+mx+m)ex
(1)若函数没有零点,求实数m的取值范围;
(2)当m=0时,求证f(x)≥x2+x3.
2.已知函数.证明:
;
3.已知
(1)若存在使得≥0成立,求的范围
当>1时,在
(1)的条件下,成立
题型八.恒成立问题
例8.已知函数f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的最小值.
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.
1.已知函数f(x)=alnx+(a>
0).
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)已知对任意的x>
0,ax(2-lnx)≤1恒成立,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在[1,e]上的最小值为0?
若存在,求出a的值;
若不存在,请说明理由.
2.已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切的x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:
对一切x∈(0,+∞),都有lnx>-.
3.已知函数f(x)=axlnx图像上点(e,f(e))处的切线与直线y=2x平行(其中e为自然对数的底数),
g(x)=x2-tx-2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[n,n+2](n>
0)上的最小值;
(3)若对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围.
题型九.存在性任意性问题
例9.已知函数f(x)=+a,g(x)=alnx-x(a≠0).
当a>
0时,对于任意x1,x2∈,总有g(x1)<
f(x2)成立.
1..
(1)设,试讨论单调性;
(2)设,当时,若,存在,使,求实数的取值范围.
2.设,.
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线的方程;
(Ⅱ)如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;
(Ⅲ)如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.
题型十.实际应用(最优化问题)
例10.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中,每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:
y=x3-x+8(0<
x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?
最少为多少升?
某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元);
当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
题型十一.综合训练
1.(2013)已知函数
(Ⅰ)设,求的单调区间
(Ⅱ)设,且对于任意,。
试比较与的大小
2.(2012)已知函数f(x)=(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数,
证明:
对任意x>
0,g(x)<
1+e-2.
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- 导数 函数 中的 应用 题型 总结