1、求函数在区间（a,b）内的极值；将函数的各个极值与端点处的函数值f（a）,f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf（x）；（2）求函数的导数f（x），解方程f（x）0；（3）比较函数在区间端点和f（x）0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；（4）回归实际问题作答注意事项1.直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点 2.（1）f（x）0在（a，b）上成立是f（x
2、）在（a，b）上单调递增的充分条件（2）对于可导函数f（x），f（x0）0是函数f（x）在xx0处有极值的必要不充分条件3.求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f（x）；（3）由f（x）0（f（x）0）解出相应的x的范围当f（x）0时，f（x）在相应的区间上是增函数；当f（x）0时，f（x）在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间4.（1）注意实际问题中函数定义域的确定（2）在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较二.题型训练题型一求曲线切线的方程例1.已知函数f（x）x34
3、x25x4.（1）求曲线f（x）在x2处的切线方程；（2）求经过点A（2，2）的曲线f（x）的切线方程变式1.曲线yxex1在点（0,1）处的切线方程是（）Axy10B2xy10 Cxy10 Dx2y202.直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A（1,3），则ab的值为（）A4B1 C3D2题型二.求函数的单调区间例2. 已知函数f（x）ex（axb）x24x，曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y4x4.（1）求a，b的值；（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值练习：1. 设函数f（x）x（ex1）x2，则函数f（x）的单调增区间为_2. 已知函数f（x）x3ax2bx
4、（a，bR）（1）当a1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1），且函数f（x）在上不存在极值点，求a的取值范围题型三.分类讨论求函数的单调区间例3. 已知函数f（x）x2axbln x（x0，实数a，b为常数）（1）若a1，b1，求函数f（x）的极值；（2）若ab2，讨论函数f（x）的单调性1. 已知函数f（x）x2（a2）xaln x2a2，其中a2.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，2上有且只有一个零点，求实数a的取值范围2. 已知aR，函数（1）求的单调区间（2）证明：当01时， + 0.3. 设函数（）求的单调区间（）若a=1，k为整数，且当x0时，求
5、k的最大值小结：利用导数研究函数的单调性关注四点（1）利用导数研究函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论（2）在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论（3）在不能通过因式分解求出根时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论（4）讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制题型四.单调性的逆用例4. 已知函数f（x）x3ax23x.（1）若f（x）在1，）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间1. 已知函数f（x）（xa）27bln x1，其中a，b是常数且a0.（1）若b1
6、时，f（x）在区间（1，）上单调递增，求a的取值范围；（2）当ba2时，讨论f（x）的单调性2. 若函数f（x）x2ax在上是增函数，则a的取值范围是（ ）A1,0B1，） C0,3 D3，）3. 函数f（x）x3x2ax5在区间1,2上不单调，则实数a的范围是_4. 已知函数f（x）=的图像在点P（0,f（0）处的切线方程为y=3x-2（）求实数a,b的值；（）设g（x）=f（x）+是上的增函数，求实数m的最大。5. 已知函数（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，求在上的最大值和最小值.题型五.求函数的极值、最值例5. 已知函数在处取得极值为（1）求、的值；（2）若有极大值
7、28，求在上的最大值 1. 关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_2. 已知是实数，1和是函数的两个极值点（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数3. 已知函数f（x）x1（aR，e为自然对数的底数）（1）若曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，求a的值；（2）求函数f（x）的极值；（3）当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf（x）没有公共点，求k的最大值4. 已知函数f（x）ax3ln x，其中a为常数（1）当函数f（x）的图象在点（，f（）处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在，3上的最小值；（2）若函数
8、f（x）在区间（0，）上既有极大值又有极小值，求a的取值范围题型六.导数与方程例6. 设a为实数，函数 （1）求极值 （2）求与x轴只有一个交点时a的取值范围变式：若与 x轴有2个交点时a的取值范围？1. 设函数（）求的单调区间和极值；（）若关于的方程有3个不同实根，求实数a的取值范围.（）已知当恒成立，求实数k的取值范围.2. 已知函数上为增函数. （1）求k的取值范围；（2）若函数的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.3. 已知函数f（x）=xlnx，（）求f（x）的最小值；（）讨论关于x的方程f（x）-m=0（mR）的解的个数；4. 已知a，b为常数，且a0，函数f（x）axbax
9、ln x，f（e）2（e2.718 28是自然对数的底数）（1）求实数b的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）当a1时，是否同时存在实数m和M（mM），使得对每一个tm， M，直线yt与曲线yf（x）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由题型七.利用导数证明不等式例7. 设a为实数，函数f（x）ex2x2a，xR.（1）求f（x）的单调区间与极值；（2）求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.1. 已知mR，函数f（x）（x2mxm）ex（1）若函数没有零点，求实数m的取值范围；（2）当m0时，求证f（x）x2x3.2. 已知函数.证明：；3. 已
10、知 （1）若存在 使得0成立，求的范围 当1时，在（1）的条件下，成立题型八.恒成立问题例8. 已知函数f（x）xln x.（1）求f（x）的最小值（2）若对所有x1都有f（x）ax1，求实数a的取值范围1. 已知函数f（x）aln x（a0）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）已知对任意的x0，ax（2ln x）1恒成立，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得函数f（x）在1，e上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由2. 已知f（x）xln x，g（x）x2ax3.（1）求函数f（x）在t，t2（t0）上的最小值；（2）对一切的x（0，），2f（x）g（x）
11、恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x（0，），都有ln x.3. 已知函数f（x）axln x图像上点（e，f（e）处的切线与直线y2x平行（其中e为自然对数的底数），g（x）x2tx2.（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在n，n2（n0）上的最小值；（3）若对一切x（0，e，3f（x）g（x）恒成立，求实数t的取值范围题型九.存在性任意性问题例9. 已知函数f（x）a，g（x）aln xx（a0）当a0时，对于任意x1，x2，总有g（x1）f（x2）成立1. .（1）设，试讨论单调性；（2）设，当时，若，存在，使，求实数的取值范围.2. 设, .（）当时,求曲线在处的切线的方程;（）如果存在,使得成立,求满足上述条件的最大整数;（）如果对任意的,都有成立,求实数的取值范围.题型十.实际应用（最优化问题）例10. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：yx3x8（00，g（x）1e2.18
