导数题型总结及解法大全.doc
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第一章导数及其应用
导数的概念
1..已知的值是()
A.B.2C.D.-2
变式1:
()
A.-1 B.-2 C.-3 D.1
变式2:
()
A. B. C. D.
导数各种题型方法总结
请同学们高度重视:
首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法:
1、分离变量;
2、变更主元;
3、根分布;
4、判别式法
5、二次函数区间最值求法:
(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系
(2)端点处和顶点是最值所在
其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。
最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型:
函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:
令得到两个根;
第二步:
画两图或列表;
第三步:
由图表可知;
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,
2、常见处理方法有三种:
第一种:
分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)
第二种:
变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);
(请同学们参看2010省统测2)
例1:
设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数,
(1)若在区间上为“凸函数”,求m的取值范围;
(2)若对满足的任何一个实数,函数在区间上都为“凸函数”,求的最大值.
解:
由函数得
(1)在区间上为“凸函数”,
则在区间[0,3]上恒成立
解法一:
从二次函数的区间最值入手:
等价于
解法二:
分离变量法:
∵当时,恒成立,
当时,恒成立
-2
2
等价于的最大值()恒成立,
而()是增函数,则
(2)∵当时在区间上都为“凸函数”
则等价于当时恒成立
变更主元法
再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)
例2:
设函数
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对任意的不等式恒成立,求a的取值范围.
(二次函数区间最值的例子)
解:
(Ⅰ)
3a
a
a
3a
令得的单调递增区间为(a,3a)
令得的单调递减区间为(-,a)和(3a,+)
∴当x=a时,极小值=当x=3a时,极大值=b.
(Ⅱ)由||≤a,得:
对任意的恒成立①
则等价于这个二次函数的对称轴(放缩法)
即定义域在对称轴的右边,这个二次函数的最值问题:
单调增函数的最值问题。
上是增函数.(9分)
∴
于是,对任意,不等式①恒成立,等价于
又∴
点评:
重视二次函数区间最值求法:
对称轴(重视单调区间)与定义域的关系
第三种:
构造函数求最值
题型特征:
恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型
例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)当时,求的值域;
(Ⅲ)当时,不等式恒成立,求实数t的取值范围。
解:
(Ⅰ)∴,解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减
又
∴的值域是
(Ⅲ)令
思路1:
要使恒成立,只需,即分离变量
思路2:
二次函数区间最值
二、题型一:
已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1:
转化为在给定区间上恒成立,回归基础题型
解法2:
利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;
做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:
前者是后者的子集
例4:
已知,函数.
(Ⅰ)如果函数是偶函数,求的极大值和极小值;
(Ⅱ)如果函数是上的单调函数,求的取值范围.
解:
.
(Ⅰ)∵是偶函数,∴.此时,,
令,解得:
.
列表如下:
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
+
0
-
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
可知:
的极大值为,的极小值为.
(Ⅱ)∵函数是上的单调函数,
∴,在给定区间R上恒成立判别式法
则解得:
.
综上,的取值范围是.
例5、已知函数
(I)求的单调区间;
(II)若在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。
子集思想
(I)
1、
a-1
-1
当且仅当时取“=”号,单调递增。
2、
单调增区间:
单调增区间:
(II)当则是上述增区间的子集:
1、时,单调递增符合题意
2、,
综上,a的取值范围是[0,1]。
三、题型二:
根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
第一步:
画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;
第二步:
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;
第三步:
解不等式(组)即可;
例6、已知函数,,且在区间上为增函数.
(1)求实数的取值范围;
(2)若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.
解:
(1)由题意∵在区间上为增函数,
∴在区间上恒成立(分离变量法)
即恒成立,又,∴,故∴的取值范围为
(2)设,
令得或由
(1)知,
①当时,,在R上递增,显然不合题意…
②当时,,随的变化情况如下表:
—
↗
极大值
↘
极小值
↗
由于,欲使与的图象有三个不同的交点,即方程有三个不同的实根,故需,即∴,解得
综上,所求的取值范围为
根的个数知道,部分根可求或已知。
例7、已知函数
(1)若是的极值点且的图像过原点,求的极值;
(2)若,在
(1)的条件下,是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?
若存在,求出实数的取值范围;否则说明理由。
高1考1资1源2网
-1
解:
(1)∵的图像过原点,则,
又∵是的极值点,则
(2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点,等价于有含的三个根,即:
整理得:
即:
恒有含的三个不等实根
(计算难点来了:
)有含的根,
则必可分解为,故用添项配凑法因式分解,
十字相乘法分解:
恒有含的三个不等实根
等价于有两个不等于-1的不等实根。
题2:
切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数在点处取得极小值-4,使其导数的的取值范围为,求:
(1)的解析式;
(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.
(1)由题意得:
∴在上;在上;在上
因此在处取得极小值
∴①,②,③
由①②③联立得:
,∴
(2)设切点Q,
过
令,
求得:
,方程有三个根。
需:
故:
;因此所求实数的范围为:
题3:
已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数
解法:
根分布或判别式法
例8、
1
解:
函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时,f(x)=x3-x2+10x,
=x2-7x+10,令,解得或.
令,解得
可知函数f(x)的单调递增区间为和(5,+∞),单调递减区间为.
(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6,
要使函数y=f(x)在(1,+∞)有两个极值点,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1,+∞)
根分布问题:
则,解得m>3
例9、已知函数,
(1)求的单调区间;
(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且仅有3个极值点,求a的取值范围.
解:
(1)
当时,令解得,令解得,
所以的递增区间为,递减区间为.
当时,同理可得的递增区间为,递减区间为.
(2)有且仅有3个极值点
=0有3个根,则或,
方程有两个非零实根,所以
或
而当或时可证函数有且仅有3个极值点
其它例题:
1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在上的函数在区间上的最大值是5,最小值是-11.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若时,恒成立,求实数的取值范围.
解:
(Ⅰ)
令=0,得
因为,所以可得下表:
0
+
0
-
↗
极大
↘
因此必为最大值,∴因此,,
即,∴,∴
(Ⅱ)∵,∴等价于,
令,则问题就是在上恒成立时,求实数的取值范围,
为此只需,即,
解得,所以所求实数的取值范围是[0,1].
2、(根分布与线性规划例子)
(1)已知函数
(Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式;
(Ⅱ)当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:
3的两部分,求直线L的方程.
解:
(Ⅰ).由,函数在时有极值,
∴
∵∴
又∵在处的切线与直线平行,
∴故
∴…………………….7分
(Ⅱ)解法一:
由及在取得极大值且在取得极小值,
∴即令,则
∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,
易得,,,,,
同时DE为△ABC的中位线,
∴所求一条直线L的方程为:
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:
3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则,
由得点F的横坐标为:
由得点G的横坐标为:
∴即
解得:
或(舍去)故这时直线方程为:
综上,所求直线方程为:
或.…………….………….12分
(Ⅱ)解法二:
由及在取得极大值且在取得极小值,
∴即令,则
∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,
易得,,,,,
同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为:
另一种情况由于直线BO方程为:
设直线BO与AC交于H,
由得直线L与AC交点为:
∵,,
∴所求直线方程为:
或
3、(根的个数问题)已知函数的图象如图所示。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线方程为,求函数f(x)的解析式;
(Ⅲ)若方程有三个不同的根,求实数a的取值范围。
解:
由题知:
(Ⅰ)由图可知 函数f(x)的图像过点(0,3),且=0
得
(Ⅱ)依题意 =–3且f
(2)=5
解得a=1,b=–6
所以f(x)=x3–6x2+9x+3
(Ⅲ)依题意 f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a>0)
=3ax2+2bx–3a–2b 由=0b=–9a ①
若方程f(x)=8a有三个不同的根,当且仅当 满足f(5)<8a<f
(1)②
-
由①②得–25a+3<8a<7a+3<a<3
所以当<a<3时,方程f(x)=8a有三个不同的根。
…………12分
4、(根的个数问题)已知函数
(1)若函数在处取得极值,且,求的值及的单调区间;
(2)若,讨论曲线与的交点个数.
解:
(1)
………………………………………………………………………2分
令得
令得
∴的单调递增区间为,,单调递减区间为…………5分
(2)由题得
即
令……………………6分
令得或……………………………………………7分
当即时
此时,,,有一个交点;…………………………9分
当即时,
+
—
∴当即时,有一个交点;
当即时,有两个交点;
当时,,有一个交点.………………………13分
综上可知,当或时,有一个交点;
当时,有两个交点.…………………………………14分
5、(简单切线问题)已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为,函数.
(Ⅰ)若函数在处有极值,求的解析式;
(Ⅱ)若函数在区间上为增函数,且在区间上都成立,求实数的取值范围.
函数中任意性和存在性问题探究
高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点,下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究
一、相关结论:
结论1:
;【如图一】
结论2:
;【如图二】
结论3:
;【如图三】
结论4:
;【如图四】
结论5:
的值域和的值域交集不为空;【如图五】
【例题1】:
已知两个函数;
(1)若对,都有成立,求实数的取值范围;
(2)若,使得成立,求实数的取值范围;
(3)若对,都有成立,求实数的取值范围;
解:
(1)设,
(1)中的问题可转化为:
时,恒成立,即。
;
当变化时,的变化情况列表如下:
-3
(-3,-1)
-1
(-1,2)
2
(2,3)
3
(x)
+
0
-
0
+
h(x)
k-45
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
k-9
因为,所以,由上表可知,故k-45≥0,得k≥45,即k∈[45,+∞).
小结:
①对于闭区间I,不等式f(x)
②此题常见的错误解法:
由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件,不是充要条件,即不等价.
(2)根据题意可知,
(2)中的问题等价于h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0.
由
(1)可知[h(x)]max=k+7,因此k+7≥0,即k∈[7,+∞).
(3)根据题意可知,(3)中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min,x∈[-3,3].
由二次函数的图像和性质可得,x∈[-3,3]时,[f(x)]max=120-k.
仿照
(1),利用导数的方法可求得x∈[-3,3]时,[g(x)]min=-21.
由120-k≥-21得k≥141,即k∈[141,+∞).
说明:
这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.
从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立,还是“x”使之成立,同时还要看清不等式两边是同一个变量,还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..
二、相关类型题:
〈一〉、型;
形如型不等式,是恒成立问题中最基本的类型,它的理论基础是“在上恒成立,则在x∈D上恒成立,则”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.
例1:
已知二次函数,若时,恒有,求实数a的取值范围.
解:
,∴;即;
当时,不等式显然成立, ∴a∈R.
当时,由得:
,而
. ∴. 又∵,∴,综上得a的范围是。
〈二〉、型
例2已知函数,若对,都有成立,则的最小值为____.
解∵对任意x∈R,不等式恒成立,
∴分别是的最小值和最大值.
对于函数,取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π,即半个周期.
又函数的周期为4,∴的最小值为2.
〈三〉、.型
例3:
(2005湖北)在这四个函数中,当时,使恒成立的函数的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解:
本题实质就是考察函数的凸凹性,即满足条件的函数,应是凸函数的性质,画草图即知符合题意;
〈四〉、.型
例4已知函数定义域为,,若,时,都有,若对所有,恒成立,求实数取值范围.
解:
任取,则,由已知,又,∴f,即在上为增函数.
∵,∴,恒有;
∴要使对所有,恒成立,即要恒成立,
故恒成立,令,只须且,
解得或或。
评注:
形如不等式或恒成立,实际上是函数的单调性的另一种表现形式,在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.
〈五〉、.型:
例5:
已知,,若当时,)恒成立,求实数t的取值范围.
解:
在恒成立,即在恒成立在上的最大值小于或等于零.
令,,∵
∴,即在[0,1]上单调递减,F(0)是最大值.
∴,即。
〈六〉、型
例6:
已知函数,若对任意,都有,求的范围.
解:
因为对任意的,都有成立,
∴,∵,令得x>3或x<-1;得;∴在为增函数,在为减函数.
∵,∴.∴,∴。
〈七〉、(为常数)型;
例7:
已知函数,则对任意()都有
恒成立,当且仅当=____,=____时取等号.
解:
因为恒成立,
由,易求得,,∴。
例8:
已知函数满足:
(1)定义域为;
(2)方程至少有两个实根和;(3)过图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.
(1)证明|;
(2)证明:
对任意,都有.
证明
(1)略;
(2)由条件
(2)知,
不妨设,由(3)知,
又∵
;∴
〈八〉、型
例9:
已知函数,对于时总有成立,求实数的范围.
解由,得,
当时,,∵,
∴, ∴
评注由导数的几何意义知道,函数图像上任意两点连线的斜率的取值范围,就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围,利用这个结论,可以解决形如|或(m>0)型的不等式恒成立问题.
考前寄语:
①易后难,先熟后生;
②一慢一快:
审题要慢,做题要快;
③不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做;
④我易人易我不大意,我难人难我不畏难;
⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对;
⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分;
⑦对数学解题有困难的考生的建议:
立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.
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