最小二乘法拟合原理.doc
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最小二乘法拟合原理.doc
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最小二乘拟合
在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线,这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况:
一种是两个观测量x与y之间的函数形式已知,但一些参数未知,需要确定未知参数的最佳估计值;另一种是x与y之间的函数形式还不知道,需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设x与y之间的关系是一个待定的多项式,多项式系数就是待定的未知参数,从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
一、最小二乘法原理
在两个观测量中,往往总有一个量精度比另一个高得多,为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差,并把这个观测量选作x,而把所有的误差只认为是y的误差。
设x和y的函数关系由理论公式
y=f(x;c1,c2,……cm)(0-0-1)
给出,其中c1,c2,……cm是m个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据(xi,yi)i=1,2,……,N。
都对应于xy平面上一个点。
若不存在测量误差,则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取m组测量值代入式(0-0-1),便得到方程组
yi=f(x;c1,c2,……cm)(0-0-2)
式中i=1,2,……,m.求m个方程的联立解即得m个参数的数值。
显然N 在N>m的情况下,式(0-0-2)成为矛盾方程组,不能直接用解方程的方法求得m个参数值,只能用曲线拟合的方法来处理。 设测量中不存在着系统误差,或者说已经修正,则y的观测值yi围绕着期望值 式中是分布的标准误差。 为简便起见,下面用C代表(c1,c2,……cm)。 考虑各次测量是相互独立的,故观测值(y1,y2,……cN)的似然函数 . 取似然函数L最大来估计参数C,应使 (0-0-3) 取最小值: 对于y的分布不限于正态分布来说,式(0-0-3)称为最小二乘法准则。 若为正态分布的情况,则最大似然法与最小二乘法是一致的。 因权重因子,故式(0-0-3)表明,用最小二乘法来估计参数,要求各测量值yi的偏差的加权平方和为最小。 根据式(0-0-3)的要求,应有 从而得到方程组 (0-0-4) 解方程组(0-0-4),即得m个参数的估计值,从而得到拟合的曲线方程。 然而,对拟合的结果还应给予合理的评价。 若yi服从正态分布,可引入拟合的x2量, (0-0-5) 把参数估计代入上式并比较式(0-0-3),便得到最小的x2值 (0-0-6) 可以证明,服从自由度v=N-m的x2分布,由此可对拟合结果作x2检验。 由x2分布得知,随机变量的期望值为N-m。 如果由式(0-0-6)计算出接近N-m(例如),则认为拟合结果是可接受的;如果,则认为拟合结果与观测值有显著的矛盾。 二、直线的最小二乘拟合 曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。 设x和y之间的函数关系由直线方程 y=a0+a1x(0-0-7) 给出。 式中有两个待定参数,a0代表截距,a1代表斜率。 对于等精度测量所得到的N组数据(xi,yi),i=1,2……,N,xi值被认为是准确的,所有的误差只联系着yi。 下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。 1.直线参数的估计 前面指出,用最小二乘法估计参数时,要求观测值yi的偏差的加权平方和为最小。 对于等精度观测值的直线拟合来说,由式(0-0-3)可使 (0-0-8) 最小即对参数a(代表a0,a1)最佳估计,要求观测值yi的偏差的平方和为最小。 根据式(0-0-8)的要求,应有 整理后得到正规方程组 解正规方程组便可求得直线参数a0和a1的最佳估计值和。 即 (0-0-10) (0-0-11) 2.拟合结果的偏差 由于直线参数的估计值和是根据有误差的观测数据点计算出来的,它们不可避免地存在着偏差。 同时,各个观测数据点不是都准确地落地拟合线上面的,观测值yi与对应于拟合直线上的这之间也就有偏差。 首先讨论测量值yi的标准差S。 考虑式(0-0-6),因等精度测量值yi所有的都相同,可用yi的标准偏差S来估计,故该式在等精度测量值的直线拟合中应表示为 (0-0-12) 已知测量值服从正态分布时,服从自由度v=N-2的x2分布,其期望值 由此可得yi的标准偏差 (0-0-13) 这个表示式不难理解,它与贝塞尔公式是一致的,只不过这里计算S时受到两参数和估计式的约束,故自由度变为N-2罢了。 式(0-0-13)所表示的S值又称为拟合直线的标准偏差,它是检验拟合结果是否有效的重要标志。 如果xy平面上作两条与拟合直线平行的直线 如图0-0-1所示,则全部观测数据点(xi,yi)的分布,约有68.3%的点落在这两条直线之间的范围内。 图0-0-1拟合直线两侧数据点的分布 下面讨论拟合参数偏差,由式(0-0-10)和(0-0-11)可见,直线拟合的两个参数估计值和是yi的函数。 因为假定xI是精确的,所有测量误差只有yi有关,故两个估计参数的标准偏差可利用不确定度传递公式求得,即 把式(0-0-10)与(0-0-11)分别代入上两式,便可计算得 (0-0-14) (0-0-15) 三、相关系数及其显著性检验 当我们把观测数据点(xi,yi)作直线拟合时,还不大了解x与y之间线性关系的密切程度。 为此要用相关系数ρ(x,y)来判断。 其定义已由式(0-0-12)给出,现改写为另一种形式,并改用r表示相关系数,得 (0-0-16) 式中和分别为x和y的算术平均值。 r值范围介于-1与+1之间,即-1≤r≤1。 当r>0时直线的斜率为正,称正相关;当r<0时直线的斜率为负,称负相关。 当|r|=1时全部数据点(xi,yi)都落在拟合直线上。 若r=0则x与y之间完全不相关。 r值愈接近±1则它们之间的线性关系愈密切。
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- 最小二乘法 拟合 原理