初中几何辅助线中点辅助线构造.docx
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初中几何辅助线中点辅助线构造
几何辅助线——中点辅助线的构造
一、知识归纳
1.掌握倍长中线或类中线构造全等三角形方法
A
A
B
D C
M
B D
C
E
N
2.已知等腰三角形底边中点,可以考虑与顶点连接,用“三线合一”
3.已知三角形一边的中点,可以考虑三角形的中位线
4.已知直角三角形斜边中点,可以考虑构造斜边中线
5.有些题目中的中点不直接给出,此时需要找出隐藏的中点,例如等腰三角形底边的中点,
直角三角形斜边的中点等,然后添加辅助线△ABC 中 AD 是 BC 边中线
一、典例精讲
例
:
ABC 中,AB=20,AC=12,求中线 AD 的取值范围
B
A
D C
例
:
已知在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 BE=AC,延长 BE 交 AC
于 F,求证:
AF=EF
A
E
F
B
D C
例
:
已知在ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,E 是 AD 上一点,且 AF=EF,延长 BE 交 AC
于 F,求证:
BE=AC
A
E
F
B
D C
例 4:
已知:
如图,在∆ABC 中, AB ≠ AC ,D、E 在 BC 上,且 DE=EC,过 D 作 DF //BA
交 AE 于点 F,DF=AC.求证:
AE 平分∠BAC
A
F
B
D E C
例 5:
如图,在
ABC 中,∠BAC=90°,点 D 为 BC 的中点,点 E、F 分别为 AB、AC 上的
点,且 ED⊥FD,试判断线段 BE、EF、FC 的数量关系.
例 6:
已知 AD 为 △ABC 的中线 , ∠ADB , ∠ADC 的平分线分别交 AB 于点 E ,交 AC
于点 F 。
求证:
BE +CF >EF 。
1
例
:
在ABC 中,D 是 BC 的中点,DM⊥DN,如果 BM2+CN2=DM2+DN2,求证:
AD2=(AB2+AC2).
4
例
:
已知ABC 中,AB =AC ,CE 是 AB 边上的中线,延长 AB 到 D ,使 BD=AB ,求证:
CD =2CE
例 9 已知在△ABC 中,AB=AC,D 在 AB 上,E 在 AC 的延长线上,DE 交 BC 于 F,且 DF=EF,
求证:
BD=CE
A
D
BC
F
E
例 10 问题 1:
如图 1,在四边形 ABCD 中,AB=CD,E、F 分别是 BC、AD 的中点,连接 EF 并
延长,分别与 BA、CD 的延长线交于点 M、N,求证:
∠BME=∠CNE.
问题二:
如图 2,在四边形 ADBC 中,AB 与 CD 相交于点 O,AB=CD,E、F 分别是 BC、AD 的中
点,连接 EF,分别交 DC、AB 于点 M、N,判断△OMN 的形状,请直接写出结论;
问题三:
如图
,在ABC 中,AC>AB,D 点在 AC 上,AB=CD,E、F 分别是 BC、AD 的中点,
连接 EF 并延长,与 BA 的延长线交于点 G,若∠EFC=60°,连接
,判断AGD 的形状并证
明.
三、即时巩固
1:
如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,E、F 分别在 BD、AD 上,且 DE=CD,EF=AC,求证:
EF∥AB.
A
F
B
E D C
2:
已知 CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的中线,求证:
∠C=∠BAE
A
B
E D C
3:
如图,在△ABC 中,BC =18 ,BD ⊥AC 于 D ,CE ⊥AB 于 E ,F 、G 分别是 BC 、
DE 的中点,若 ED =10 ,则 FG 的长为_____ 。
4:
如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是 DC 的中点,求证,AD 平分∠BAE.
5:
在四边形 ABCD 中,AB∥DC,E 为 BC 边的中点,∠BAE=∠EAF,AF 与 DC 的延长线相交
于点 F。
试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系,并证明你的结论.
A
D
B
E
C
F
6:
在△ABC 中,∠ACB=90°,AC= 1
2
BC,以 BC 为底作等
腰直角△BCD,E 是 CD 的中点,求证:
AE⊥EB 且 AE=
7:
已知△ABC,AD 是 BC 边上的中线,分别以 AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角
形,求证 EF=2AD
8:
如图 , 等腰梯形 ABCD 中 ,CD ∥AB , 对角线 AC 、BD 交于 O , ∠ACD=60 °,
点 S 、P 、Q 分别是 OD 、OA 、BC 的中点。
求证:
△PQS 是等边三角形。
9:
已知:
在 Rt∆ABC 中, AB = BC ,在 Rt∆ADE 中, AD = DE ,连结 EC ,取 EC 的中点 M ,
连结 DM 和 BM .
⑴ 若点 D 在边 AC 上,点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合,如图①,探索 BM 、 DM 的关系
并给予证明;
⑵ 如果将图①中的 ∆ADE 绕点 A 逆时针旋转小于 45°的角,如图②,那么⑴中的结论是否
仍成立?
如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.
B
E B
E
M
D M
A
D
C A
C
图1
图2
四、训练提升
1:
已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
2:
已知,E 是 AB 中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求 DC
3:
如图,在正方形 ABCD 中,E 为 AB 边的中点,G、F 分别为 AD,BC 边上的点,若 AG=1,
BF=2,∠GEF=90°,则 GF 的长为多少.
4:
如图,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,E 是 AD 上一点,BE=AC,BE 的延长线交 AC 于点
F,求证:
∠AEF=∠EAF
5:
如图,在△ABC 中,AD 交 BC 于点 D,点 E 是 BC 中点,EF∥AD 交 CA 的延长线于点 F,
交 EF 于点 G,若 BG=CF,求证:
AD
ABC 的角平分线.
6:
如图,在五边形 ABCDE 中,∠ABC=∠AED=90°,∠BAC=∠EAD,F 为 CD 的中点.求证:
BF=
7:
在△ABC 中,D 是 BC 的中点,DE⊥DF,试判断 BE+CF 与 EF 的大小关系,并证明你的结论。
8:
△ABC 中,D 为 BC 边的中点,在三角形内部取一点 P,使得∠ABP=∠ACP.过点 P 作 PE
⊥AC 于点 E,PF⊥AB 于点 F.
(1)如图 1,当 AB=AC 时,判断的 DE 与 DF 的数量关系,直接写出你的结论;
(2)如图 2,当 AB≠ AC,其它条件不变时,( 1)中的结论是否发生改变?
请说明理由.
A
A
F
EPFE
P
BDCBDC
9:
在正方形 ABCD 中,点 E、F 分别为 BC 和 AB 的中点求证:
AM=AD
F
B
A D
M
E C
10:
如图甲,操作:
把正方形 CGEF 的对∠线 CE 放在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上(CG
>BC),取线段 AE 的中点 M.
(1)探究线段 MD、MF 的位置及数量关系,直接写出答案即可;
(2)将正方形 CGEF 绕点 C 逆时针旋转 45°(如图乙),令 CG=2BC 其他条件不变,结论是
否发生变化,并加以证明;
(3)将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角度后(如图丙),其他条件不变.探究:
线段 MD,MF
的位置及数量关系,并加以证明.
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