完整全等三角形的提高拓展经典题教师版Word文档格式.docx
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例6】五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,求证:
AD平分∠CDE
BC,
板块二、全等与角度
【例7】如图,在ABC中,BAC的度数.
例8】在等腰ABC中,ABAC,顶角A20,在边AB上取点D,使AD求BDC.
例9】如图所示,在ABC中,ACBC,BAN50,ABM60,求NMB.
C20,又M在AC上,N在BC上,且满足
例10】在四边形ABCD中,已知ABAC,的度数.
例11】如图所示,在四边形ABCD中,
求ACD的度数.
例12】在正ABC内取一点
D,使DADB,在
ABC外取一点E,使DBEDBC,且
BEBA,求BED.
例13】如图所示,在ABC中,BACBCA44,M为ABC内一点,使得MCA30,MAC16,求BMC的度数.
全等三角形证明经典50题
含答案)
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE<
AE<
AB+BE即:
10-2<
2AD<
10+24<
AD<
6又AD是整数,则AD=5
1
2.已知:
D是AB中点,∠ACB=90°
,求证:
CDAB
2
3.已知:
证明:
连接BF和EF。
因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。
所以BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
所以∠EBF=∠BEF。
又因为∠ABC=∠AED。
所以∠ABE=∠AEB。
所以AB=AE。
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
∠
1=∠2
在三角形ABF和三角形AEF中,
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
所以三角形ABF和三角形AEF全等。
所以∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
4.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC证明:
过E点,作EG//AC,交AD延长线于G
则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2又∵CD=DE
∴⊿ADC≌⊿GDE(AAS)
∴EG=AC
∵EF//AB
∴∠DFE=∠1
∵∠1=∠2
∴∠DFE=∠DGE
∴EF=EG
∴EF=AC
5.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
证明:
在AC上截取AE=AB,连接ED
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠BAD
又∵AE=AB,AD=AD
∴⊿AED≌⊿ABD(SAS)
∴∠AED=∠B,DE=DB
∵AC=AB+BD
AC=AE+CE
∴CE=DE
∴∠C=∠EDC
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C
∴∠B=2∠C
12.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
证明:
在BC上截取BF=BA,连接EF.
∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;
AB平行于CD,则:
∠A+∠D=180°
;
又∠EFB+∠EFC=180°
则∠EFC=∠D;
又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.
所以,BC=BF+FC=AB+CD.
13.
已知:
AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:
∠F=∠CAB//ED,AE//BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB,所以:
∠C=∠F
14.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
设线段AB,CD所在的直线交于E(,当AD<
BC时,E点是射线BA,CD的交点,当AD>
BC时,E点是射线AB,DC的交点)。
则:
△AED是等腰三角形。
所以:
AE=DE
而AB=CD
BE=CE(等量加等量,或等量减等量)所以:
△BEC是等腰三角形所以:
角B=角C.
15.
P是∠BAC平分线AD上一点,AC>
AB,求证:
PC-PB<
AC-AB
作B关于AD的对称点B‘,因为AD是角BAC的平分线,B'
在线段AC上(在AC中间,因为AB较短)
因为PC<
PB'
+B‘C,PC-PB'
<
B‘C,而B'
C=AC-AB'
=AC-AB,所以PC-PB<
16.
已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
∠BAC=180-(∠ABC+∠C=180-4∠C
∠1=∠BAC/2=90-2∠C∠ABE=90-∠1=2∠C延长BE交AC于F因为,∠1=∠2,BE⊥AE所以,△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE
∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠C
BF=CF
AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE
17.
已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC作AG∥BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5
AGF∽CDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
18.(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.延长AD至H交BC于H;
BD=DC;
所以:
∠DBC=∠角DCB;
∠1=∠2;
∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;
∠ABC=∠ACB;
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
∠BAD=∠CAD;
AD是等腰三角形的顶角平分线
AD垂直BC
19.(5分)如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:
∠OAB=∠OBA
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且∠MOA=∠MOB所以MA=MB
所以∠MAB=∠MBA
因为∠OAM=∠OBM=90度
所以∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA所以∠OAB=∠OBA
20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
做BE的延长线,与AP相交于F点,
∵PA//BC
∴∠PAB+∠CBA=18°
0,
又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°
∴∠AEB=90°
,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,
∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC21.(6分)如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
在AB上找点E,使AE=AC
∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ADE≌△ADC。
DE=CD,∠AED=∠C
∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE∠B=∠EDB
∠C=∠B+∠EDB=2∠B
22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;
若不成立请说明理由.
分析:
通过证明两个直角三角形全等,即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF
是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论.
解答:
解:
(1)连接BE,DF.
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,
∴∠DEC=∠BFA=90°
,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA,
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴MB=MD,ME=MF;
(2)连接BE,DF.
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA,
∴MB=MD,ME=MF.
23.(7分)已知:
如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:
△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写
出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
(1)DC∥AE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。
于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC。
由AE=BE,所以△AED≌△EBC。
(2)△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。
24.(7分)如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
BD=2CE.
延长BA、CE,两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°
∠ACF+∠CDE=9°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE
25、(10分)如图:
DF=CE,AD=BC,∠D=∠C。
△AED≌△BFC。
26、(10分)如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
求证:
AM是△ABC的中线。
∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
27、(10分)如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
BD⊥AC。
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角ADB和角CDB相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC
28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
在△ABD与△ACD中AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
29、(12分)如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
AF=DE。
因为AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABF
AB=DCBF=CE三角形ABF=三角形CDE
所以AF=DE30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
∵AB平行CD(已知)
∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)
∵M在BC的中点(已知)
∴EM=FM(中点定义)
在△BME和△CMF中
BE=CF(已知)
∠B=∠C(已证)
EM=FM(已证)
∴△BME全等与△CMF(SAS)
∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等)
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=18°
0(等式的性质)
∴E,M,F在同一直线上
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,
BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
∵AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
∴AE=CF
∵BE//DF
∴∠BEA=∠DFC
又∵BE=DF
∴⊿ABE≌⊿CDF(SAS)
AE=AF。
32.已知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等腰△两底角相等得:
角ABC=角ADC在结合已知条件证得:
△ADE≌△ABF得AE=AF
33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
∠5=∠6.
因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角ABC.
又因为AC是公共边,所以AAS==>
三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC
三角形DEC全等于三角形BEC
所以∠5=∠6
34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△ABC≌△DEF.
因为D,C在AF上且AD=CF
所以AC=DF
又因为AB平行DE,BC平行EF
所以角A+角EDF,角BCA=角F(两直线平行,内错角相等)然后SSA(角角边)三角形全等
F,求证:
BE=CD.
35.已知:
如图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点
因为AB=AC,
所以∠EBC=∠DCB
因为BD⊥AC,CE⊥AB
所以∠BEC=∠CDB
BC=CB(公共边)
则有三角形EBC全等于三角形DCB所以BE=CD
(1)证明:
∵∠ACB=90°
,
∴∠ACD+∠BCE=90°
而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,
∴∠ADC=∠CEB=90°
,∠BCE+∠CBE=90°
∴∠ACD=∠CBE.
在Rt△ADC和Rt△CEB中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB,
∴Rt△ADC≌Rt△CEB(AAS),
∴AD=CE,DC=BE,
∴DE=DC+CE=BE+AD;
(2)不成立,证明:
在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°
∠ACD=∠CBEAC=CB,∴△ADC≌△CEB(AAS),
∴DE=CE-CD=AD-BE;
41.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
(1)证明;
因为AE垂直AB
所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因为AF垂直AC
所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=ABAF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA=角F
(2)
(2)延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已证)
所以角G=角CAF
因为角CAF=90度所以EC垂直BF
1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
42.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
(1)
∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°
,∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
(2)
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=9°
∴AM⊥AN
43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF连接BF、CE,
证明△ABF全等于△DEC(SAS),然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC平行于EF
44.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请说明理由
在AB上取点N,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以∠ANE=∠ACE
又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180所以∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD
且DF=DE.求证:
BE∥CF.
45、(10分)如图,已知:
AD是BC上的中线证明:
∵AD是中线
∴BD=CD
∵DF=DE,∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF
∴∠BED=∠CFD
∴BE‖CF
46、(10分)已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,求证:
AB∥CD.
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEC=∠AFB=90°
在Rt△DEC和Rt△BFA中,DE=BF,AB=CD,∴Rt△DEC≌Rt△BFA,
∴∠C=∠A,
DEBF.
∴AB∥CD.
47、(10分)如图,已知∠
1=∠2,∠3=∠4,求证:
AB=CD
待定】
48、(10分)如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论.
结论:
CE>
DE。
当∠AEB越小,则DE越小。
过D作AE平行线与AC交于F,连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形,且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中,∠AE
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