第13讲三角形全等之倍长中线尖子班讲义Word文档下载推荐.docx
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二、精讲精练
1.如图,AD为△ABC的中线.
求证:
AB+AC>
2AD.
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD.
AB=AC.
3.如图,CB是△AEC的中线,CD是△ABC的中线,且AC=AB.
①CE=2CD;
②CB平分∠DCE.
4.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E是AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC于点F.
∠AEF=∠EAF.
5.如图,在△ABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,BG=CF.
AD为△ABC的角平分线.
6.
如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G,F分别为AD,BC边上的点,GE⊥EF.
GF=AG+BF.
7.如图,在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E,△FEB为等腰直角三角形,∠FEB=90°
,连接FD,取FD的中点G,连接EG,CG.
EG=CG且EG⊥CG.
三、回顾与思考
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【参考答案】
【知识点睛】
见中线要倍长,倍长之后证全等.
【精讲精练】
1.证明略(提示:
延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,证明△BED≌△CAD)
2.证明略(提示:
3.证明略(提示:
延长CD到点F,使DF=CD,连接BF,证明△BDF≌△ADC,△CBE≌△CBF)
4.证明略(提示:
延长AD到点M,使DM=AD,连接BM,证明△ADC≌△MDB)
5.证明略(提示:
延长EF到点M,使EM=EF,连接BM,证明△CFE≌△BME)
6.证明略(提示:
延长GE交CB延长线于点M,证明
△AEG≌△BEM)
7.证明略(提示:
延长EG交CD延长线于点M,证明
△FGE≌△DGM,再证明三角形EGC是等腰直角三角形)
三角形全等之倍长中线每日一题(4.15-4.19)
1.已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点.
AE⊥BE.
2.已知:
如图,在△ABC中,D为BC边中点,∠BDA=∠BAD,E为BD中点,连接AE.
∠C=∠BAE.
3.已知:
如图,△ABC与△BDE均为等腰直角三角形,BA⊥AC,ED⊥BD,垂足分别为点A,点D,连接EC,F为EC中点,连接AF,DF,猜测AF,DF的数量关系和位置关系,并说明理由.
4.已知:
如图,D为线段AB的中点,在AB上任取一点C(不与点A,B,D重合),分别以AC,BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF,∠AEC=∠CFB=90°
,连接DE,DF,EF.
△DEF为等腰直角三角形.
5.已知:
如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF,CF之间的数量关系,并说明理由.
1.证明:
延长AE交BC的延长线于点F.
∵AD∥BC
∴∠D=∠DCF,∠DAE=∠F
∵E是CD的中点
∴DE=CE
在△ADE和△FCE中
∴△ADE≌△FCE(AAS)
∴AD=FC,AE=FE
∵AB=AD+BC
∴AB=CF+BC=BF
在△ABE和△FBE中
∴△ABE≌△FBE(SSS)
∴∠ABE=∠FBE=90°
即AE⊥BE
2.证明:
延长AE到F,使得EF=AE,连接DF.
∵E为BD中点
∴BE=ED
在△ABE和△FDE中
∴△ABE≌△FDE(SAS)
∴AB=FD,∠BAF=∠F,∠B=∠FDE
∵∠BDA=∠BAD
∴BD=AB
∵D为BC边中点
∴CD=BD=AB=FD
∴∠ADF=∠BDA+∠FDE,∠ADC=∠B+∠BAD
即∠ADF=∠ADC
在△FAD和△CAD中
∴△FAD≌△CAD(SAS)
∴∠F=∠C
∴∠C=∠BAE
3.解:
AF⊥DF,AF=DF,理由如下:
延长DF交AC于点P.
∵BA⊥AC,ED⊥BD
∴∠BAC=∠EDA=90°
∴DE∥AC
∴∠DEC=∠ECA
∵F为EC中点
∴EF=FC
在△EDF和△CPF中
∴△EDF≌△CPF(AAS)
∴DE=CP,DF=PF
∵△ABC与△BDE均为等腰直角三角形
∴AB=AC,DE=BD
∴AB-BD=AB-DE=AC-CP
即AD=AP
在△DAF和△PAF中
∴△DAF≌△PAF(SSS)
∴∠DFA=∠PFA=90°
,∠DAF=∠PAF=45°
∴AF⊥DF,AF=DF
4.证明:
延长ED到点G,使得DG=DE,连接BG,FG
∵D为线段AB的中点
∴AD=BD
在△EDA和△GDB中
∴△EDA≌△GDB(SAS)
∴EA=GB,∠A=∠GBD
∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形
∴AE=CE=BG,CF=FB,∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°
∴∠ECF=90°
,∠FBG=∠FBD+∠GBD=90°
在△ECF和△GBF中
∴△ECF≌△GBF(SAS)
∴EF=GF,∠EFC=∠GFB
∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90°
∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90°
在△EFD和△GFD中,
∴△EFD≌△GFD(SSS)
∴∠EDF=∠GDF=90°
,∠EFD=∠GFD=45°
∴ED=DF
∴△DEF为等腰直角三角形
5.解:
AB=AF+CF,理由如下:
延长AE交DF的延长线于点G.
∵E为BC边的中点
∴BE=CE
∵AB∥DC
∴∠B=∠BCG,∠BAG=∠G
在△ABE和△GCE中
∴△ABE≌△GCE(AAS)
∴AB=GC
∵∠BAE=∠EAF
∴∠G=∠EAF
∴AF=GF
∵GC=GF+FC
∴AB=AF+CF
三角形全等之倍长中线(随堂测试)
1.在△ABC中,AC=5,中线AD=4,则边AB的取值范围是____________________.
如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E在BC上,且DE=EC,过D作DF∥BA交AE于点F,DF=AC.
AE平分∠BAC.
1.3<
AB<
13
延长AE到点M,使EM=AE,连接DM,
证明△DME≌△CAE)
三角形全等之倍长中线(作业)
如图,在△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是________________.
4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,点F是CD的中点,且AF⊥AB,若AD=2.7,BE=AE=5,求CE的长.
如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形.求证:
EF=2AD.
6.如图,在△ABC中,AB>
AC,E为BC边的中点,AD为∠BAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G.求证:
BF=CG.
7.如图,在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG,CG.
8.已知:
如图,∠ACB=90°
,AC=BC,D为AB上一点,连接CD,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F.
△BCF≌△CAE.
9.多项式9x2+1加上一个单项式后,能使它成为一个整式的完全平方式,则可以加上的单项式共有________个,分别是______________________________.
1.1<AD<4
2.2.3(提示:
延长AF交BC于点G,导角证明AE=EG)
延长AD到点P,使得AD=PD,连接CP,证明△ABD≌△PCD,△EAF≌△PCA)
延长FE到点H,使得FE=EH,连接CH,证明△BFE≌△CHE,导角)
延长EG交AD于点P,连接CE,CP)
6.证明略
7.5;
-1,-9x2,-6x,6x,
x4
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