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0(c2+x2)]
e=?
aarctan[b/(2c)]/(?
练习3
高斯定理
DADCB
0),向左;
3?
0),向右.
2?
Q/?
0,?
2Qr0/(9?
0R2),?
Qr0/(2?
0R2).
3(q1+q4)/?
0,
q1、q2、q3、q4,矢量和
1
因电荷分布以中心面面对称,故电场强度方向垂直于平板,距离中心相等处场强大小相等.取如图所示的柱形高斯面:
两底面?
S以平板中心面对称,侧面与平板垂直.
/?
左边=++=2?
SE
(1)板内?
x?
<
a
Q=
=4?
0(a/?
)?
Ssin[?
x/(2a)]
得
E={2?
0asin[?
x/(2a)]}/(?
(2)板外?
>
Q=
=
=4?
S
E=2?
0a/(?
当x>
0方向向右,当x<
0方向向左.
球形空腔无限长圆柱带电体可认为是均匀带正电(体电荷密度为?
)无限长圆柱体与均匀带负电(体电荷密度为?
)球体组成.分别用高斯定理求无限长均匀带电圆柱体激发的电场E1与均匀带电球体激发的电场E2.为求E1,在柱体内作同轴的圆柱形高斯面,有
E1=?
r1/(2?
方向垂直于轴指向外;
为求E2,在球体内外作同心的球形高斯面,有
球内r<
a
Q=?
4?
r23/3
E2=?
r2/(3?
球外r>
a3/3
a3/(3?
0r22)
负号表示方向指向球心.对于O点
d/(2?
0),
0)=0(因r2=0)
EO=?
a/(2?
0)
方向向右;
对于P点
a3/(12?
0d2)
EP=?
0)?
0d2)
方向向左.
练习4
静电场的环路定理电势
ACBDD
1.
.
2Edcos?
.
3.?
q/(6?
0R)
1.解:
设球层电荷密度为?
=Q/(4?
R23/3?
R13/3)=3Q/[4?
(R23?
R13)]
球内,球层中,球外电场为
E1=0,
(r3?
R13)/(3?
0r2),
E3=?
故
=0+{?
(R22?
R12)/(6?
0)+[?
R13/(3?
0)(1/R2?
1/R1)]}+?
R12)/(2?
=3Q(R22?
R12)/[8?
0(R23?
2.
(1)=
=(?
/2?
0)ln(r2/r1)
(2)无限长带电直线不能选取无限远为势能零点,因为此时带电直线已不是无限长了,公式E=?
0r)不再适用.
练习5
静电场中的导体
AACDB
2U0/3+2Qd/(9?
0S).
会,
矢量.
是,
垂直,
等于.
1.Ex=?
U/?
x
C[1/(x2+y2)3/2+x(?
3/2)2x/(x2+y2)5/2]
=(2x2?
y2)C/(x2+y2)5/2
y
Cx(?
3/2)2y/(x2+y2)5/2=3Cxy/(x2+y2)5/2
x轴上点(y=0)
Ex=2Cx2/x5=2C/x3
Ey=0
E=2Ci/x3
y轴上点(x=0)
Ex=?
Cy2/y5=?
C/y3
E=?
Ci/y3
2.B球接地,有
UB=U?
=0,
UA=UAB
UA=(?
Q+QB)/(4?
0R3)
UAB=[QB/(4?
0)](1/R2?
1/R1)
QB=QR1R2/(R1R2+R2R3?
R1R3)
UA=[Q/(4?
0R3)][?
1+R1R2/(R1R2+R2R3?
R1R3)]
Q(R2?
R1)/[4?
0(R1R2+R2R3?
练习6
静电场中的电介质
DDBAC
1.非极性,
极性.
2.取向,取向;
位移,位移.
3.?
Q/(2S),
Q/(S)
1.在A板体内取一点A,B板体内取一点B,它们的电场强度是四个表面的电荷产生的,应为零,有
EA=?
1/(2?
2/(2?
3/(2?
4/(2?
0)=0
0)+?
而
S(?
2)=Q1
3+?
4)=Q2
有
1?
4=0
2+?
2=Q1/S
4=Q2/S
解得
1=?
4=(Q1+Q2)/(2S)=2.66?
10?
8C/m2
?
2=?
3=(Q1?
Q2)/(2S)=0.89?
8C/m2
两板间的场强
E=?
2/?
0=(Q1?
Q2)/(2?
0S)
V=UA-UB
=Ed=(Q1?
Q2)d/(2?
0S)=1000V
四、证明题
1.设在同一导体上有从正感应电荷出发,终止于负感应电荷的电场线.沿电场线ACB作环路ACBA,导体内直线BA的场强为零,ACB的电场与环路同向于是有=?
与静电场的环路定理0相违背,故在同一导体上不存在从正感应电荷出发,终止于负感应电荷的电场线.
练习7
静电场习题课
DBACA
9.42×
103N/C,
5×
9C.
3
R1/R2,
4?
0(R1+R2),R2/R1.
1.
(1)拉开前
C0=?
0S/d
W0=Q2/(2C0)=Q2d/(2?
拉开后
C=?
0S/(2d)
W=Q2/(2C)=Q2d/(?
W=W?
W0=Q2d/(2?
(2)外力所作功
A=?
Ae=?
(W0?
W)=W?
外力作功转换成电场的能量
{用定义式解:
A==Fd=QE?
d
=Q[(Q/S)/(2?
0)]d
=Q2d/(2?
0S)
}
2.洞很细,可认为电荷与电场仍为球对称,由高斯定理可得球体内的电场为
E=(?
r3/3)/(4?
0r2)(r/r)
r/(3?
0)=Qr/(4?
F=?
qE=?
qQr/(4?
F为恢复力,点电荷作谐振动
0R3)=md2r/dt2
=[qQ/(4?
0mR3)]1/2
因t=0时,r0=a,v0=0,得谐振动A=a,?
0=0故点电荷的运动方程为
练习8磁感应强度毕奥—萨伐尔定律
AABCD
1.所围面积,电流,法线(n).
2.?
0I/(4R1)+?
0I/(4R2),垂直向外;
(?
0I/4)(1/R12+1/R22)1/2,?
+arctan(R1/R2).
0.
1.取宽为dx的无限长电流元
dI=Idx/(2a)
dB=?
0dI/(2?
r)
0Idx/(4?
ar)
dBx=dBcos?
ar)](a/r)
r2)=?
0Idx/[4?
(x2+a2)]
dBy=dBsin?
=?
0Ixdx/[4?
a(x2+a2)]
=[?
0I/(4?
)](1/a)arctan(x/a)=?
0I/(8a)
0I/(8?
a)]ln(x2+a2)=0
2.取宽为dL细圆环电流,dI=IdN=I[N/(?
R/2)]Rd?
=(2IN/?
)d?
0dIr2/[2(r2+x2)3/2]
r=Rsin?
x=Rcos?
0NIsin2?
d?
/(?
R)
0NI/(4R)
练习9
毕—萨定律(续)
DBCAD
1.0.16T.
0Qv/(8?
l2),z轴负向.
0nI?
R2.
1.取窄条面元dS=bdr,
面元上磁场的大小为
B=?
0I/(2?
r),面元法线与磁场方向相反.有
1=
2=
1/?
2=1
2.在圆盘上取细圆环电荷元dQ=?
rdr,
[?
=Q/(?
R2)],等效电流元为
dI=dQ/T=?
rdr/(2?
)=?
rdr
(1)求磁场,电流元在中心轴线上激发磁场的方向沿轴线,且与?
同向,大小为
0dIr2/[2(x2+r2)3/2]=?
0?
r3dr/[2(x2+r2)3/2]
(2)求磁距.电流元的磁矩
dPm=dIS=?
rdr?
r2=?
r2dr
R4/4=?
QR2/4
练习10
安培环路定理
BCCDA
1.环路L所包围的电流,环路L上的磁感应强度,内外.
0I,
0,
2?
0I.
0IS1/(S1+S2),
1.此电流可认为是由半径为R的无限长圆柱电流I1和一个同电流密度的反方向的半径为R?
的无限长圆柱电流I2组成.
I1=J?
R2
I2=?
J?
R?
2
J=I/[?
(R2?
2)]
它们在空腔内产生的磁感强度分别为
B1=?
0r1J/2
B2=?
0r2J/2
方向如图.有
Bx=B2sin?
B1sin?
1=(?
0J/2)(r2sin?
r1sin?
1)=0
By=B2cos?
2+B1cos?
1
=(?
0J/2)(r2cos?
2+r1cos?
1)=(?
0J/2)d
所以
B=By=?
0dI/[2?
(R2-R?
方向沿y轴正向
2.两无限大平行载流平面的截面如图.平面电流在空间产生的磁场为
B1=?
0J/2
在平面①的上方向右,在平面①的下方向左;
电流②在空间产生的磁场为
在平面②的上方向左,在平面②的下方向右.
(1)两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左,故有
B=B1+B2=?
0J
(2)两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反,故有
B=B1?
B2=0
练习11
安培力
洛仑兹力
DBCAB
IBR.
10-2,?
/2
0.157N·
m;
7.85×
10-2J.
1.
(1)Pm=IS=Ia2
方向垂直线圈平面.
线圈平面保持竖直,即Pm与B垂直.有
Mm=Pm×
B
Mm=PmBsin(?
/2)=Ia2B
=9.4×
10-4m?
N
(2)平衡即磁力矩与重力矩等值反向
/2-?
)=Ia2Bcos?
MG=MG1+MG2+MG3
=mg(a/2)sin?
+mgasin?
+mg(a/2)sin?
=2(?
Sa)gasin?
=2?
Sa2gsin?
Ia2Bcos?
tan?
=IB/(2?
Sg)=0.2694
=15?
2.在圆环上取微元
I2dl=I2Rd?
该处磁场为
0I1/(2?
Rcos?
I2dl与B垂直,有
dF=I2dlBsin(?
/2)
dF=?
0I1I2d?
dFx=dFcos?
/(2?
dFy=dFsin?
0I1I2sin?
0I1I2/2
因对称Fy=0.
故
F=?
0I1I2/2
方向向右.
练习12
物质的磁性
DBDAC
1.7.96×
105A/m,2.42×
102A/m.
2.见图
3.矫顽力Hc大,永久磁铁.
1.设场点距中心面为x,因磁场面对称以中心面为对称面过场点取矩形安培环路,有
=ΣI0
LH=ΣI0
(1)介质内,0<
x<
b/2.
ΣI0=2x?
lJ=2x?
l?
E,有
H=x?
E
B=?
r1H=?
r1x?
E
(2)介质外,?
ΣI0=b?
lJ=b?
H=b?
E/2
r2H=?
r2b?
E/2
2.因磁场柱对称取同轴的圆形安培环路,有=ΣI0
在介质中(R1?
r?
R2),ΣI0=I,有
rH=I
H=I/(2?
r)
介质内的磁化强度
M=?
mH=?
mI/(2?
介质内表面的磁化电流
JSR1=?
MR1×
nR1?
MR1?
mI/(2?
R1)
ISR1=JSR1?
R1=?
mI
(与I同向)
介质外表面的磁化电流
JSR2=?
MR2×
nR2?
MR2?
R2)
ISR2=JSR2?
R2=?
(与I反向)
练习13
静磁场习题课
DCAAA
1.6.67×
6T;
7.20×
10-21A·
m2.
2..
R2c(Wb).
1.
(1)螺绕环内的磁场具有轴对称性,故在环内作与环同轴的安培环路.有
rB=?
Ii=?
0NI
0NI/(2?
(2)取面积微元hdr平行与环中心轴,有
m=?
B?
dS?
=[?
r)]hdr=?
0NIhdr/(2?
m=
2.因电流为径向,得径向电阻为
I=ε/[?
ln(R2/R1)/(2?
d)]=2?
dε/[?
ln(R2/R1)]
取微元电流
dIdl=JdSdr
=[I/(2?
rd)]rd?
ddr
=dεd?
dr/[?
受磁力为
dIdl×
=Bdεd?
dM=?
r×
dF?
rdr/[?
ln(R2/R1)]练习
练习14
电磁感应定律动生电动势
>
<
=.
B?
R2/2;
沿曲线由中心向外.
1.取顺时针为三角形回路电动势正向,得三角形面法线垂直纸面向里.取窄条面积微元
dS=ydx=[(a+b?
x)l/b]dx
εi=?
m/dt=
5.18×
10-8V
负号表示逆时针
2.
(1)
导线ab的动生电动势为
εi=?
lv×
B·
dl=vBlsin(?
/2+?
)=vBlcos?
Ii=εi/R=vBlcos?
/R
方向由b到a.受安培力方向向右,大小为
l(Iidl×
B)?
=vB2l2cos?
F在导轨上投影沿导轨向上,大小为
F?
=Fcos?
=vB2l2cos2?
重力在导轨上投影沿导轨向下,大小为mgsin?
mgsin?
vB2l2cos2?
/R=ma=mdv/dt
dt=dv/[gsin?
/(mR)]
(2)导线ab的最大速度vm=.
练习15
感生电动势自感
ADCBB
1.er1(dB/dt)/(2m),向右;
eR2(dB/dt)/(2r2m),向下.
0n2l?
a2,?
0nI0?
a2?
t.
3.ε=?
R2k/4,从c流至b.
1.
(1)用对感生电场的积分εi=?
lEi·
dl解:
在棒MN上取微元dx(?
R<
R),
该处感生电场大小为
Ei=[R2/(2r)](dB/dt)
与棒夹角?
满足tan?
=x/R
εi==
==
=[R3(dB/dt)/2](1/R)arctan(x/R)
R2(dB/dt)/4
因εi=>
0,故N点的电势高.
(2)用法拉第电磁感应定律εi=-d?
/dt解:
沿半径作辅助线OM,ON组成三角形回路MONM
++
=-(-d?
mMONM/dt)=d?
mMONM/dt
mMONM==?
R2B/4
εi=?
N点的电势高.
2..等效于螺线管
B内=?
0nI=?
0[Q?
)]/L=?
0Q?
L)
B外=0
SB?
dS=B?
a2=?
0Q?
a2/(2L)
εi=-d?
/dt=-[?
0Qa2/(2L)]d?
/dt
0Qa2/(2Lt0)
Ii=εi/R=?
0Qa2/(2LRt0)
方向与旋转方向一致.
练习16
互感(续)磁场的能量
DCBCA
1.0.
AB=?
BA.
0I2L/(16?
.)
1.取如图所示的坐标,设回路有电流为I,则两导线间磁场方向向里,大小为
0≤r≤a
0Ir/(2?
a2)+?
0I/[2?
(d?
r)]
a≤r≤d?
r)+?
a≤r≤d
B3=?
r)+?
0I(d?
r)/(2?
a2)
取窄条微元dS=ldr,由?
m=得
ml=+
0Il/(4?
)+[?
0Il/(2?
)]ln[d/(d?
a)]
+[?
)]ln[(d?
a)/a]
a)/a]
+[?
a)]+?
=?
)+(?
0Il/?
)ln(d/a)
由Ll=?
l/I,L0=Ll/l=?
l/(Il).得单位长度导线自感
L0==?
0l/(2?
0l/?
)ln(d/a)
2.设环形螺旋管电流为I,则管内磁场大小为
)
r≤?
≤R
方向垂直于截面;
管外磁场为零.取窄条微元dS=hd?
由?
m==?
0NIhln(R/r)/(2?
m/I==?
0Nhln(R/r)/(2?
练习17
麦克斯韦方程组
CADBC
1.1.
2.②,③,①.
3.1.33×
102W/m2,
2.51×
10-6J/m3.
1.设极板电荷为Q,因I=dQ/dt,Q=CU,有
(1)
I=d(CU)/dt=CdU/dt
dU/dt=I/C=I0e?
kt/C
U=I0(1?
e?
kt)/(kC)
(2)Id=d?
d/dt=d(DS)/dt=d(?
ES)/dt
=d[?
(U/d)S]/dt
=(?
S/d)dU/dt=CdU/dt=I=I0e?
kt
(3)在极板间以电容器轴线为心,以r为半径作环面垂直于轴的环路,方向与Id成右手螺旋.有
rH=?
Id
当r<
R时
Id=[Id/(?
R2)]?
r2
H=Idr/(2?
R2)
H=?
Idr/(2?
R2)=?
I0e?
ktr/(2?
当r>
Id=Id
H=Ir/(2?
kt/(2?
方向与回路方向相同.
O点,r=0:
B=0
A点,r=R1<
R:
ktR1/(2?
R2)方向向里
C点,r=R2>
方向向外.
2.
(1)坡印廷矢量平均值
=I=P/(2?
r2)
r=10km
=P/(2?
r2)=1.59×
5W/m2
(2)电场强度和磁场强度振幅.E=H
S=?
S?
E×
H?
==H2
E=
H=
Em===1.09?
1V/mHm===2.91×
4A/m
练习18
电磁感应习题课
ABBCD
0I2/(9?
2a2).
700Wb/s.
vBlsin?
A点.
1.任意时刻金属杆角速度为?
取微元长度dr
dεi=v×
dl=?
rBdr
εi=?
dεi==?
Ba2/2
I=εi/R=?
Ba2/(2R)
方向由O向A.微元dr受安培力为
Idl×
=IBdr
dM?
=IBrdr
dM==IBa2/2=?
B2a4/(4R)
方向与?
相反.依转动定律,有
B2a4/(4R)=J?
=(ma2/3)d?
dt=?
[4Rm/(3?
B2a2)]d?
[4Rm/(3B2a2)]d?
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