?
4?
r23/3 E2=?
?
r2/(3?
0)
球外r>a Q=?
?
4?
a3/3 E2=?
?
a3/(3?
0r22)
负号表示方向指向球心.对于O点
E1=?
d/(2?
0), E2=?
?
r2/(3?
0)=0(因r2=0)
得 EO=?
a/(2?
0)
方向向右;
对于P点
E1=?
d/(2?
0), E2=?
?
a3/(12?
0d2)
得 EP=?
d/(2?
0)?
?
a3/(12?
0d2)
方向向左.
练习4 静电场的环路定理电势
一、选择题 ACBDD
二、填空题
1. .
2Edcos?
.
3.?
q/(6?
?
0R)
三、计算题
1.解:
设球层电荷密度为?
.
?
=Q/(4?
R23/3?
4?
R13/3)=3Q/[4?
(R23?
R13)]
球内,球层中,球外电场为
E1=0, E2=?
(r3?
R13)/(3?
0r2),
E3=?
(R23?
R13)/(3?
0r2)
故
=0+{?
(R22?
R12)/(6?
0)+[?
R13/(3?
0)(1/R2?
1/R1)]}+?
(R23?
R13)/(3?
0R2)
=?
(R22?
R12)/(2?
0)
=3Q(R22?
R12)/[8?
?
0(R23?
R13)]
2.
(1)=
=(?
/2?
?
0)ln(r2/r1)
(2)无限长带电直线不能选取无限远为势能零点,因为此时带电直线已不是无限长了,公式E=?
/(2?
?
0r)不再适用.
练习5 静电场中的导体
一、选择题 AACDB
二、填空题
1. 2U0/3+2Qd/(9?
0S).
2. 会, 矢量.
3. 是, 是, 垂直, 等于.
三、计算题
1.Ex=?
?
U/?
x
=?
C[1/(x2+y2)3/2+x(?
3/2)2x/(x2+y2)5/2]
=(2x2?
y2)C/(x2+y2)5/2
Ey=?
?
U/?
y
=?
Cx(?
3/2)2y/(x2+y2)5/2=3Cxy/(x2+y2)5/2
x轴上点(y=0) Ex=2Cx2/x5=2C/x3 Ey=0
E=2Ci/x3
y轴上点(x=0) Ex=?
Cy2/y5=?
C/y3 Ey=0
E=?
Ci/y3
2.B球接地,有 UB=U?
=0, UA=UAB
UA=(?
Q+QB)/(4?
?
0R3)
UAB=[QB/(4?
?
0)](1/R2?
1/R1)
得 QB=QR1R2/(R1R2+R2R3?
R1R3)
UA=[Q/(4?
?
0R3)][?
1+R1R2/(R1R2+R2R3?
R1R3)]
=?
Q(R2?
R1)/[4?
?
0(R1R2+R2R3?
R1R3)]
练习6 静电场中的电介质
一、选择题 DDBAC
二、填空题
1.非极性, 极性.
2.取向,取向; 位移,位移.
3.?
Q/(2S), ?
Q/(S)
三、计算题
1.在A板体内取一点A,B板体内取一点B,它们的电场强度是四个表面的电荷产生的,应为零,有
EA=?
1/(2?
0)?
?
2/(2?
0)?
?
3/(2?
0)?
?
4/(2?
0)=0
EA=?
1/(2?
0)+?
2/(2?
0)+?
3/(2?
0)?
?
4/(2?
0)=0
而 S(?
1+?
2)=Q1 S(?
3+?
4)=Q2
有 ?
1?
?
2?
?
3?
?
4=0
?
1+?
2+?
3?
?
4=0
?
1+?
2=Q1/S
?
3+?
4=Q2/S
解得 ?
1=?
4=(Q1+Q2)/(2S)=2.66?
10?
8C/m2
?
2=?
?
3=(Q1?
Q2)/(2S)=0.89?
10?
8C/m2
两板间的场强 E=?
2/?
0=(Q1?
Q2)/(2?
0S)
V=UA-UB
=Ed=(Q1?
Q2)d/(2?
0S)=1000V
四、证明题
1.设在同一导体上有从正感应电荷出发,终止于负感应电荷的电场线.沿电场线ACB作环路ACBA,导体内直线BA的场强为零,ACB的电场与环路同向于是有=?
0
与静电场的环路定理0相违背,故在同一导体上不存在从正感应电荷出发,终止于负感应电荷的电场线.
练习7 静电场习题课
一、选择题 DBACA
二、填空题
1. 9.42×103N/C, 5×10?
9C.
2. .
3 R1/R2, 4?
?
0(R1+R2),R2/R1.
三、计算题
1.
(1)拉开前 C0=?
0S/d
W0=Q2/(2C0)=Q2d/(2?
0S)
拉开后 C=?
0S/(2d)
W=Q2/(2C)=Q2d/(?
0S)
?
W=W?
W0=Q2d/(2?
0S)
(2)外力所作功
A=?
Ae=?
(W0?
W)=W?
W0=Q2d/(2?
0S)
外力作功转换成电场的能量
{用定义式解:
A==Fd=QE?
d
=Q[(Q/S)/(2?
0)]d
=Q2d/(2?
0S) }
2.洞很细,可认为电荷与电场仍为球对称,由高斯定理可得球体内的电场为
E=(?
4?
r3/3)/(4?
?
0r2)(r/r)
=?
r/(3?
0)=Qr/(4?
?
0R3)
F=?
qE=?
qQr/(4?
?
0R3)
F为恢复力,点电荷作谐振动
?
qQr/(4?
?
0R3)=md2r/dt2
?
=[qQ/(4?
?
0mR3)]1/2
因t=0时,r0=a,v0=0,得谐振动A=a,?
0=0故点电荷的运动方程为
练习8磁感应强度毕奥—萨伐尔定律
一、选择题 AABCD
二、填空题
1.所围面积,电流,法线(n).
2.?
0I/(4R1)+?
0I/(4R2),垂直向外;
(?
0I/4)(1/R12+1/R22)1/2,?
+arctan(R1/R2).
3. 0.
三、计算题
1.取宽为dx的无限长电流元
dI=Idx/(2a)
dB=?
0dI/(2?
r)
=?
0Idx/(4?
ar)
dBx=dBcos?
=[?
0Idx/(4?
ar)](a/r)
=?
0Idx/(4?
r2)=?
0Idx/[4?
(x2+a2)]
dBy=dBsin?
=?
0Ixdx/[4?
a(x2+a2)]
=[?
0I/(4?
)](1/a)arctan(x/a)=?
0I/(8a)
=[?
0I/(8?
a)]ln(x2+a2)=0
2.取宽为dL细圆环电流,dI=IdN=I[N/(?
R/2)]Rd?
=(2IN/?
)d?
dB=?
0dIr2/[2(r2+x2)3/2]
r=Rsin?
x=Rcos?
dB=?
0NIsin2?
d?
/(?
R)
=?
0NI/(4R)
练习9 毕—萨定律(续)
一、选择题 DBCAD
二、填空题
1.0.16T.
2.?
0Qv/(8?
l2),z轴负向.
3.?
0nI?
R2.
三、计算题
1.取窄条面元dS=bdr,
面元上磁场的大小为
B=?
0I/(2?
r),面元法线与磁场方向相反.有
?
1=
?
2=
?
1/?
2=1
2.在圆盘上取细圆环电荷元dQ=?
2?
rdr,
[?
=Q/(?
R2)],等效电流元为
dI=dQ/T=?
2?
rdr/(2?
/?
)=?
?
rdr
(1)求磁场,电流元在中心轴线上激发磁场的方向沿轴线,且与?
同向,大小为
dB=?
0dIr2/[2(x2+r2)3/2]=?
0?
?
r3dr/[2(x2+r2)3/2]
=
?
=
=
(2)求磁距.电流元的磁矩
dPm=dIS=?
?
rdr?
r2=?
?
?
r2dr
=?
?
?
R4/4=?
QR2/4
练习10 安培环路定理
一、选择题 BCCDA
二、填空题
1.环路L所包围的电流,环路L上的磁感应强度,内外.
2.?
0I, 0, 2?
0I.
3.?
?
0IS1/(S1+S2),
三、计算题
1.此电流可认为是由半径为R的无限长圆柱电流I1和一个同电流密度的反方向的半径为R?
的无限长圆柱电流I2组成.
I1=J?
R2 I2=?
J?
R?
2 J=I/[?
(R2?
R?
2)]
它们在空腔内产生的磁感强度分别为
B1=?
0r1J/2 B2=?
0r2J/2
方向如图.有
Bx=B2sin?
2?
B1sin?
1=(?
0J/2)(r2sin?
2?
r1sin?
1)=0
By=B2cos?
2+B1cos?
1
=(?
0J/2)(r2cos?
2+r1cos?
1)=(?
0J/2)d
所以 B=By=?
0dI/[2?
(R2-R?
2)]
方向沿y轴正向
2.两无限大平行载流平面的截面如图.平面电流在空间产生的磁场为 B1=?
0J/2
在平面①的上方向右,在平面①的下方向左;
电流②在空间产生的磁场为 B2=?
0J/2
在平面②的上方向左,在平面②的下方向右.
(1)两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左,故有 B=B1+B2=?
0J
(2)两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反,故有 B=B1?
B2=0
练习11 安培力 洛仑兹力
一、选择题 DBCAB
二、填空题
1 IBR.
2 10-2,?
/2
3 0.157N·m; 7.85×10-2J.
三、计算题
1.
(1)Pm=IS=Ia2
方向垂直线圈平面.
线圈平面保持竖直,即Pm与B垂直.有
Mm=Pm×B
Mm=PmBsin(?
/2)=Ia2B
=9.4×10-4m?
N
(2)平衡即磁力矩与重力矩等值反向
Mm=PmBsin(?
/2-?
)=Ia2Bcos?
MG=MG1+MG2+MG3
=mg(a/2)sin?
+mgasin?
+mg(a/2)sin?
=2(?
Sa)gasin?
=2?
Sa2gsin?
Ia2Bcos?
=2?
Sa2gsin?
tan?
=IB/(2?
Sg)=0.2694
?
=15?
2.在圆环上取微元
I2dl=I2Rd?
该处磁场为
B=?
0I1/(2?
Rcos?
)
I2dl与B垂直,有
dF=I2dlBsin(?
/2)
dF=?
0I1I2d?
/(2?
cos?
)
dFx=dFcos?
=?
0I1I2d?
/(2?
)
dFy=dFsin?
=?
0I1I2sin?
d?
/(2?
cos?
)
=?
0I1I2/2
因对称Fy=0.
故 F=?
0I1I2/2 方向向右.
练习12 物质的磁性
一、选择题 DBDAC
二、填空题
1.7.96×105A/m,2.42×102A/m.
2.见图
3.矫顽力Hc大,永久磁铁.
三、计算题
1.设场点距中心面为x,因磁场面对称以中心面为对称面过场点取矩形安培环路,有
=ΣI0 2?
LH=ΣI0
(1)介质内,0lJ=2x?
l?
E,有
H=x?
E B=?
0?
r1H=?
0?
r1x?
E
(2)介质外,?
x?
>b/2. ΣI0=b?
lJ=b?
l?
E,有
H=b?
E/2 B=?
0?
r2H=?
0?
r2b?
E/2
2.因磁场柱对称取同轴的圆形安培环路,有=ΣI0
在介质中(R1?
r?
R2),ΣI0=I,有
2?
rH=I H=I/(2?
r)
介质内的磁化强度
M=?
mH=?
mI/(2?
r)
介质内表面的磁化电流
JSR1=?
MR1×nR1?
=?
MR1?
=?
mI/(2?
R1)
ISR1=JSR1?
2?
R1=?
mI (与I同向)
介质外表面的磁化电流
JSR2=?
MR2×nR2?
=?
MR2?
=?
mI/(2?
R2)
ISR2=JSR2?
2?
R2=?
mI (与I反向)
练习13 静磁场习题课
一、选择题 DCAAA
二、填空题
1.6.67×10?
6T; 7.20×10-21A·m2.
2..
3.?
?
R2c(Wb).
三、计算题
1.
(1)螺绕环内的磁场具有轴对称性,故在环内作与环同轴的安培环路.有
=2?
rB=?
0?
Ii=?
0NI
B=?
0NI/(2?
r)
(2)取面积微元hdr平行与环中心轴,有
d?
m=?
B?
dS?
=[?
0NI/(2?
r)]hdr=?
0NIhdr/(2?
r)
?
m=
2.因电流为径向,得径向电阻为
I=ε/[?
ln(R2/R1)/(2?
d)]=2?
dε/[?
ln(R2/R1)]
取微元电流
dIdl=JdSdr
=[I/(2?
rd)]rd?
ddr
=dεd?
dr/[?
ln(R2/R1)]
受磁力为
dF=?
dIdl×B?
=Bdεd?
dr/[?
ln(R2/R1)]
dM=?
r×dF?
=Bdεd?
rdr/[?
ln(R2/R1)]练习
练习14 电磁感应定律动生电动势
一、选择题 DBDAC
二、填空题
1. , .
2. >, <, =.
3. B?
R2/2;沿曲线由中心向外.
三、计算题
1.取顺时针为三角形回路电动势正向,得三角形面法线垂直纸面向里.取窄条面积微元
dS=ydx=[(a+b?
x)l/b]dx
?
m=
=
=
εi=?
d?
m/dt=
=?
5.18×10-8V
负号表示逆时针
2.
(1) 导线ab的动生电动势为
εi=?
lv×B·dl=vBlsin(?
/2+?
)=vBlcos?
Ii=εi/R=vBlcos?
/R
方向由b到a.受安培力方向向右,大小为
F=?
?
l(Iidl×B)?
=vB2l2cos?
/R
F在导轨上投影沿导轨向上,大小为
F?
=Fcos?
=vB2l2cos2?
/R
重力在导轨上投影沿导轨向下,大小为mgsin?
mgsin?
?
vB2l2cos2?
/R=ma=mdv/dt
dt=dv/[gsin?
?
vB2l2cos2?
/(mR)]
(2)导线ab的最大速度vm=.
练习15 感生电动势自感
一、选择题 ADCBB
二、填空题
1.er1(dB/dt)/(2m),向右;eR2(dB/dt)/(2r2m),向下.
2.?
0n2l?
a2,?
0nI0?
a2?
cos?
t.
3.ε=?
R2k/4,从c流至b.
三、计算题
1.
(1)用对感生电场的积分εi=?
lEi·dl解:
在棒MN上取微元dx(?
R该处感生电场大小为
Ei=[R2/(2r)](dB/dt)
与棒夹角?
满足tan?
=x/R
εi==
==
=[R3(dB/dt)/2](1/R)arctan(x/R)
=?
R2(dB/dt)/4
因εi=>0,故N点的电势高.
(2)用法拉第电磁感应定律εi=-d?
/dt解:
沿半径作辅助线OM,ON组成三角形回路MONM
εi==
=?
++
=-(-d?
mMONM/dt)=d?
mMONM/dt
而 ?
mMONM==?
R2B/4
故 εi=?
R2(dB/dt)/4
N点的电势高.
2..等效于螺线管
B内=?
0nI=?
0[Q?
/(2?
)]/L=?
0Q?
/(2?
L)
B外=0
?
=?
SB?
dS=B?
a2=?
0Q?
a2/(2L)
εi=-d?
/dt=-[?
0Qa2/(2L)]d?
/dt
=?
0?
0Qa2/(2Lt0)
Ii=εi/R=?
0?
0Qa2/(2LRt0)
方向与旋转方向一致.
练习16 互感(续)磁场的能量
一、选择题 DCBCA
二、填空题
1.0.
2.?
AB=?
BA.
3.?
0I2L/(16?
.)
三、计算题
1.取如图所示的坐标,设回路有电流为I,则两导线间磁场方向向里,大小为
0≤r≤a B1=?
0Ir/(2?
a2)+?
0I/[2?
(d?
r)]
a≤r≤d?
a B2=?
0I/(2?
r)+?
0I/[2?
(d?
r)]
d?
a≤r≤d B3=?
0I/(2?
r)+?
0I(d?
r)/(2?
a2)
取窄条微元dS=ldr,由?
m=得
?
ml=+
++
++
=?
0Il/(4?
)+[?
0Il/(2?
)]ln[d/(d?
a)]
+[?
0Il/(2?
)]ln[(d?
a)/a]
+[?
0Il/(2?
)]ln[(d?
a)/a]
+[?
0Il/(2?
)]ln[d/(d?
a)]+?
0Il/(4?
)
=?
0Il/(2?
)+(?
0Il/?
)ln(d/a)
由Ll=?
l/I,L0=Ll/l=?
l/(Il).得单位长度导线自感 L0==?
0l/(2?
)+(?
0l/?
)ln(d/a)
2.设环形螺旋管电流为I,则管内磁场大小为
B=?
0NI/(2?
?
) r≤?
≤R
方向垂直于截面;管外磁场为零.取窄条微元dS=hd?
由?
m=得
?
m==?
0NIhln(R/r)/(2?
)
M=?
m/I==?
0Nhln(R/r)/(2?
)
练习17 麦克斯韦方程组
一、选择题 CADBC
二、填空题
1.1.
2.②,③,①.
3.1.33×102W/m2, 2.51×10-6J/m3.
三、计算题
1.设极板电荷为Q,因I=dQ/dt,Q=CU,有
(1) I=d(CU)/dt=CdU/dt
dU/dt=I/C=I0e?
kt/C
U=I0(1?
e?
kt)/(kC)
(2)Id=d?
d/dt=d(DS)/dt=d(?
ES)/dt
=d[?
(U/d)S]/dt
=(?
S/d)dU/dt=CdU/dt=I=I0e?
kt
(3)在极板间以电容器轴线为心,以r为半径作环面垂直于轴的环路,方向与Id成右手螺旋.有
=2?
rH=?
Id
当rId=[Id/(?
R2)]?
r2 H=Idr/(2?
R2)
B=?
H=?
Idr/(2?
R2)=?
I0e?
ktr/(2?
R2)
当r>R时 ?
Id=Id H=Ir/(2?
r)
B=?
I0e?
kt/(2?
r)
方向与回路方向相同.
O点,r=0:
B=0
A点,r=R1 B=?
I0e?
ktR1/(2?
R2)方向向里
C点,r=R2>R:
B=?
I0e?
kt/(2?
R2) 方向向外.
2.
(1)坡印廷矢量平均值 =I=P/(2?
r2)
r=10km =P/(2?
r2)=1.59×10?
5W/m2
(2)电场强度和磁场强度振幅.E=H
S=?
S?
=?
E×H?
==H2
E= H=
Em===1.09?
10?
1V/mHm===2.91×10?
4A/m
练习18 电磁感应习题课
一、选择题 ABBCD
二、填空题
1 0, 2?
0I2/(9?
2a2).
2 700Wb/s.
3 vBlsin?
A点.
三、计算题
1.任意时刻金属杆角速度为?
取微元长度dr
dεi=v×B?
dl=?
rBdr
εi=?
dεi==?
Ba2/2
I=εi/R=?
Ba2/(2R)
方向由O向A.微元dr受安培力为
?
dF?
=?
Idl×B?
=IBdr
dM=?
dM?
=?
r×dF?
=IBrdr
M=?
dM==IBa2/2=?
B2a4/(4R)
方向与?
相反.依转动定律,有
?
?
B2a4/(4R)=J?
=(ma2/3)d?
/dt
dt=?
[4Rm/(3?
B2a2)]d?
=?
[4Rm/(3B2a2)]d?