江西省高考数学试卷理科答案与解析.doc
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2011年江西省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)(2011•江西)若,则复数=( )
A.﹣2﹣i B.﹣2+i C.2﹣i D.2+i
【考点】复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】直接对复数的分母、分子同乘i,然后化简,求出复数z的共轭复数.
【解答】解:
==2﹣i
所以=2+i
故选D
【点评】本题是基础题,考查复数代数形式的乘除混合运算,考查计算能力,常考题型.
2.(5分)(2011•江西)若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3},,则A∩B=( )
A.{x|﹣1≤x<0} B.{x|0<x≤1} C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}
【考点】交集及其运算.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】根据已知条件我们分别计算出集合A,B,然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值.
【解答】解:
∵A={x|﹣1≤2x+1≤3}={x|﹣1≤x≤1},
={x|0<x≤2}
故A∩B={x|0<x≤1},
故选B
【点评】本题考查的知识点是交集及其运算,其中根据已知条件求出集合A,B是解答本题的关键.
3.(5分)(2011•江西)若f(x)=,则f(x)的定义域为( )
A.(,0) B.(,0] C.(,+∞) D.(0,+∞)
【考点】函数的定义域及其求法.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围,由此可以构造一个关于x的不等式,解不等式即可求出函数的解析式.
【解答】解:
要使函数的解析式有意义
自变量x须满足:
即0<2x+1<1
解得
故选A
【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法,其中根据让函数解析式有意义的原则构造关于x的不等式,是解答本题的关键.
4.(5分)(2011•江西)若f(x)=x2﹣2x﹣4lnx,则f′(x)>0的解集为( )
A.(0,+∞) B.(﹣1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(﹣1,0)
【考点】导数的加法与减法法则;一元二次不等式的解法.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】由题意,可先求出函数的定义域及函数的导数,再解出不等式f′(x)>0的解集与函数的定义域取交集,即可选出正确选项.
【解答】解:
由题,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x﹣2﹣,
令2x﹣2﹣>0,整理得x2﹣x﹣2>0,解得x>2或x<﹣1,
结合函数的定义域知,f′(x)>0的解集为(2,+∞).
故选:
C.
【点评】本题考查导数的加法与减法法则,一元二次不等式的解法,计算题,基本题型,属于基础题.
5.(5分)(2011•江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足:
Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,那么a10=( )
A.1 B.9 C.10 D.55
【考点】等比数列的前n项和;数列的求和.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】根据题意,用赋值法,令n=1,m=9可得:
s1+s9=s10,即s10﹣s9=s1=a1=1,进而由数列的前n项和的性质,可得答案.
【解答】解:
根据题意,在sn+sm=sn+m中,
令n=1,m=9可得:
s1+s9=s10,即s10﹣s9=s1=a1=1,
根据数列的性质,有a10=s10﹣s9,即a10=1,
故选A.
【点评】本题考查数列的前n项和的性质,对于本题,赋值法是比较简单、直接的方法.
6.(5分)(2011•江西)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则( )
A.r2<r1<0 B.0<r2<r1 C.r2<0<r1 D.r2=r1
【考点】相关系数.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】求两组数据的相关系数的大小和正负,可以详细的解出这两组数据的相关系数,现分别求出两组数据的两个变量的平均数,利用相关系数的个数代入求出结果,进行比较.
【解答】解:
∵变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),
(11.8,3),(12.5,4),(13,5),
=11.72
∴这组数据的相关系数是r=,
变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),
(11.8,3),(12.5,2),(13,1)
,
∴这组数据的相关系数是﹣0.3755,
∴第一组数据的相关系数大于零,第二组数据的相关系数小于零,
故选C.
【点评】本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系,当相关系数为正时,表示两个变量正相关,也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系.
7.(5分)(2011•江西)观察下列各式:
55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为( )
A.3125 B.5625 C.0625 D.8125
【考点】归纳推理.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】根据所给的以5为底的幂的形式,在写出后面的几项,观察出这些幂的形式是有一定的规律的每四个数字是一个周期,用2011除以4看出余数,得到结果.
【解答】解:
∵55=3125,56=15625,57=78125,
58=390625,59=1953125,510=9765625,511=48828125…
可以看出这些幂的最后4位是以4为周期变化的,
∵2011÷4=502…3,
∴52011的末四位数字与57的后四位数相同,是8125,
故选D.
【点评】本题考查归纳推理,考查幂的周期性,这种题目的解法一般是看出式子的变化规律,根据规律做出要求的结果.
8.(5分)(2011•江西)已知α1,α2,α3是三个相互平行的平面,平面α1,α2之间的距离为d1,平面α2,α3之前的距离为d2,直线l与α1,α2,α3分别相交于P1,P2,P3.那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;空间中直线与平面之间的位置关系.菁优网版权所有
【专题】综合题.
【分析】由已知中α1,α2,α3是三个相互平行的平面,平面α1,α2之间的距离为d1,平面α2,α3之前的距离为d2,直线l与α1,α2,α3分别相交于P1,P2,P3,结合面面平行的性质,我们分别判断“P1P2=P2P3”⇒“d1=d2”及“d1=d2”⇒“P1P2=P2P3”的真假,结合充要条件的定义,即可得到答案.
【解答】解:
由已知中α1,α2,α3是三个相互平行的平面,
且平面α1,α2之间的距离为d1,平面α2,α3之前的距离为d2,
又由直线l与α1,α2,α3分别相交于P1,P2,P3.
则“P1P2=P2P3”⇒“d1=d2”为真命题
且“d1=d2”⇒“P1P2=P2P3”是真命题
故“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的充分必要条件
故选C.
【点评】判断充要条件的方法是:
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.
9.(5分)(2011•江西)若曲线C1:
x2+y2﹣2x=0与曲线C2:
y(y﹣mx﹣m)=0有四个不同的交点,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣,) B.(﹣,0)∪(0,) C.[﹣,] D.(﹣∞,﹣)∪(,+∞)
【考点】圆的一般方程;圆方程的综合应用.菁优网版权所有
【专题】压轴题;数形结合.
【分析】由题意可知曲线C1:
x2+y2﹣2x=0表示一个圆,曲线C2:
y(y﹣mx﹣m)=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0,把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径,由图象可知此圆与y=0有两交点,由两曲线要有4个交点可知,圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点,根据直线y﹣mx﹣m=0过定点,先求出直线与圆相切时m的值,然后根据图象即可写出满足题意的m的范围.
【解答】解:
由题意可知曲线C1:
x2+y2﹣2x=0表示一个圆,化为标准方程得:
(x﹣1)2+y2=1,所以圆心坐标为(1,0),半径r=1;
C2:
y(y﹣mx﹣m)=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0,
由直线y﹣mx﹣m=0可知:
此直线过定点(﹣1,0),
在平面直角坐标系中画出图象如图所示:
直线y=0和圆交于点(0,0)和(2,0),因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件.
当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时,圆心到直线的距离d==r=1,
化简得:
m2=,解得m=±,
而m=0时,直线方程为y=0,即为x轴,不合题意,
则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时,m∈(﹣,0)∪(0,).
故选B.
【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系,考查了数形结合的数学思想,是一道中档题.本题的突破点是理解曲线C2:
y(y﹣mx﹣m)=0表示两条直线.
10.(5分)(2011•江西)如图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M,N在大圆内所绘出的图形大致是( )
A. B. C. D.
【考点】函数的图象与图象变化.菁优网版权所有
【专题】压轴题;数形结合.
【分析】根据已知中直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.我们分析滚动过程中,M,N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数,及点M,N运动的规律,并逐一对四个答案进行分析,即可得到答案.
【解答】解:
如图,由题意可知,小圆O1总与大圆O相内切,且小圆O1总经过大圆的圆心O.
设某时刻两圆相切于点A,此时动点M所处位置为点M′,则大圆圆弧与小圆点M转过的圆弧相等.
以切点A在如图上运动为例,记直线OM与此时小圆O1的交点为M1,记∠AOM=θ,则∠OM1O1=∠M1OO1=θ,故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ.
大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ,小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ,即l1=l2,
∴小圆的两段圆弧与圆弧长相等,故点M1与点M′重合,
即动点M在线段MO上运动,同理可知,此时点N在线段OB上运动.
点A在其他象限类似可得,M、N的轨迹为相互垂直的线段.
观察各选项,只有选项A符合.故选A.
【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化,其中分析出M,N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数,以及点M转过的弧长与切点转过的弧长相等是解答本题的关键.
二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)
11.(5分)(2011•江西)已知==2,•=﹣2,则与的夹角为 .
【考点】数量积表示两个向量的夹角.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】利用向量的运算律将向量的等式展开,利用向量的平方等于向量模的平方,求出两个向量的数量积;利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦,求出夹角.
【解答】解:
设两个向量的夹角为θ
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为
【点评】本题考查向量的运算律、考查向量模的性质:
向量模的平方等于向量的平方、考查利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦.
12.(5分)(2011•江西)小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于,则去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 .
【考点】几何概型.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】根据题意,计算可得圆的面积为π,点到圆心的距离大于的面积为,此点到圆心的距离小于的面积为,由几何概型求概率即可.
【解答】解:
圆的面积为π,点到圆心的距离大于的面积为,
此点到圆心的距离小于的面积为,
由几何概型得小波周末不在家看书的概率为P=
故答案为:
【点评】本题考查几何概型问题,属基础知识的考查.
13.(5分)(2011•江西)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 10 .
【考点】程序框图.菁优网版权所有
【专题】图表型.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:
该程序的作用是利用循环计算并输出S值.模拟程序的运行过程,用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到最终的输出结果.
【解答】解:
程序在运行过程中各变量的值如下表示:
S
n
是否继续循环
循环前
0
1
第一圈
0
2
是
第二圈
3
3
是
第三圈
5
4
是
第四圈
10
5
否
此时S值为10.
故答案为:
10.
【点评】本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式:
当型循环结构和直到型循环结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题.
14.(5分)(2011•江西)若椭圆的焦点在x轴上,过点(1,)做圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是 .
【考点】椭圆的标准方程.菁优网版权所有
【专题】计算题;压轴题.
【分析】设出切点坐标,利用切点与原点的连线与切线垂直,列出方程得到AB的方程,将右焦点坐标及上顶点坐标代入AB的方程,求出参数c,b;利用椭圆中三参数的关系求出a.,求出椭圆方程.
【解答】解:
设切点坐标为(m,n)则
即
∵m2+n2=1
∴m
即AB的直线方程为2x+y﹣2=0
∵线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点
∴2c﹣2=0;b﹣2=0
解得c=1,b=2
所以a2=5
故椭圆方程为
故答案为
【点评】本题考查圆的切线的性质、椭圆中三参数的关系:
a2=b2+c2
15.(5分)(2011•江西)
(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为p=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 (x﹣2)2+(y﹣1)2=5 .
(2)(不等式选做题)对于实数x,y,若|x﹣1|≤1,|y﹣2|≤1,则|x﹣2y+1|的最大值为 5 .
【考点】简单曲线的极坐标方程;绝对值不等式.菁优网版权所有
【专题】计算题;压轴题.
【分析】
(1)把曲线的极坐标方程ρ=2sinθ+4cosθ两边同时乘以ρ,再把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入化简.
(2)先由条件得到0≤x≤2,1≤y≤3,再根据|x﹣2y+1|≤|x|+2|y|+1,求得|x﹣2y+1|的最大值.
【解答】解:
(1)∵曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,∴ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ,
∴x2+y2=2y+4x,∴(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.故答案为:
(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.
(2)|x﹣1|≤1,|y﹣2|≤1,即0≤x≤2,1≤y≤3,
则|x﹣2y+1|=|x﹣1﹣2y+4﹣2|≤|x﹣1|+2|y﹣2|+2≤1+2×1+2=5,∴|x﹣2y+1|的最大值为5,
故答案为:
5.
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,以及绝对值不等式的性质的应用.
三、解答题(共6小题,满分75分)
16.(12分)(2011•江西)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定位3500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2800元,否则月工资定为2100元,今X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.
(1)求X的分布列;
(2)求此员工月工资的期望.
【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.菁优网版权所有
【专题】计算题;应用题.
【分析】
(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,由古典概型分别求出概率,列出分布列即可.
(2)由
(1)可知此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100,Y取每个值时对应
(1)中的X取某些值的概率,列出Y的分布列,求期望即可.
【解答】解:
(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)==
P(X=1)==
P(X=2)==
P(X=3)==
P(X=4)==
(2)此员工月工资Y的所有可能取值有3500、2800、2100,
P(Y=3500)=P(X=4)==
P(Y=2800)=P(X=3)==
P(Y=2100)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=
EY==2280
【点评】本题考查古典概型、组合数、离散型随机变量及分布列,考查利用所学知识解决问题的能力.
17.(12分)(2011•江西)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1﹣sin
(1)求sinC的值
(2)若a2+b2=4(a+b)﹣8,求边c的值.
【考点】余弦定理;半角的三角函数;正弦定理.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】
(1)利用二倍角公式将已知等式化简;将得到的式子平方,利用三角函数的平方关系求出sinC.
(2)利用求出的三角函数的值将角C的范围缩小,求出C的余弦;将已知等式配方求出边a,b;利用余弦定理求出c
【解答】解:
(1)∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
(2)由得
即
∴
∵a2+b2=4(a+b)﹣8
∴(a﹣2)2+(b﹣2)2=0
∴a=2,b=2
由余弦定理得
∴
【点评】本题考查三角函数的二倍角公式、同角三角函数的平方关系、考查三角形中的余弦定理.
18.(12分)(2011•江西)已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3.
(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}唯一,求a的值.
【考点】等比数列的性质;等比数列的通项公式.菁优网版权所有
【专题】计算题;方程思想.
【分析】
(1)设等比数列{an}的公比为q,根据“b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3.且{bn}为等比数列,由等比中项,可解得公比,从而求得通项.
(2)由
(1)知(2+aq)2=(1+a)(3+aq2)整理得:
aq2﹣4aq+3a﹣1=0,易知方程有一零根,从而求得结果.
【解答】解:
(1)设等比数列{an}的公比为q,
又∵b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3.且{bn}为等比数列,
且b1=2,b2=2+q,b3=3+q2,
∴(2+q)2=2(3+q2)
∴q=2±
∴
(2)由
(1)知(2+aq)2=(1+a)(3+aq2)
整理得:
aq2﹣4aq+3a﹣1=0
∵a>0,∴△=4a2+4a>0
∵数列{an}唯一,∴方程必有一根为0,得a=.
【点评】本题主要考查等比数列的通项,等比中项及方程思想,属中档题.
19.(12分)(2011•江西)设f(x)=﹣x3+x2+2ax
(1)若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.
(2)当0<a<2时,f(x)在[1,4]的最小值为﹣,求f(x)在该区间上的最大值.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】
(1)利用函数递增,导函数大于0恒成立,求出导函数的最大值,使最大值大于0.
(2)求出导函数的根,判断出根左右两边的导函数的符号,求出端点值的大小,求出最小值,列出方程求出a,求出最大值.
【解答】解:
(1)f′(x)=﹣x2+x+2a
f(x)在存在单调递增区间
∴f′(x)≥0在有解
∵f′(x)=﹣x2+x+2a对称轴为
∴递减
∴f′(x)<f′()=+2a,
由0<+2a,
解得a>﹣.
(2)当0<a<2时,△>0;
f′(x)=0得到两个根为;(舍)
∵
∴时,f′(x)>0;时,f′(x)<0
当x=1时,f
(1)=2a+;当x=4时,f(4)=8a<f
(1)
当x=4时最小∴=解得a=1
所以当x=时最大为
【点评】本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值.
20.(13分)(2011•江西)P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:
上一点,M,N分别是双曲线E的左右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足,求λ的值.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的简单性质.菁优网版权所有
【专题】计算题;综合题;压轴题;整体思想.
【分析】
(1)根据P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:
上一点,代入双曲线的方程,M,N分别是双曲线E的左右顶点,直线PM,PN的斜率之积为,求出直线PM,PN的斜率,然后整体代换,消去x0,y0,再由c2=a2+b2,即可求得双曲线的离心率;
(2)根据过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线,写出直线的方程,联立直线与双曲线的方程,消去y,得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理,及A,B,C为双曲线上的点,注意整体代换,并代入,即可求得λ的值.
【解答】解:
(1)∵P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:
上一点,
∴,①
由题意又有,②
联立①、②可得a2=5b2,c2=a2+b2,
则e=,
(2)联立,得4x2﹣10cx+35b2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1•x2=,
设=(x3,y3),,
即
又C为双曲线上一点,即x32﹣5y32=5b2,
有(λx1+x2)2﹣5(λy1+y2)2=5b2,
化简得:
λ2(x12﹣5y12)+(x22﹣5y22)+2λ(x1x2﹣5y1y2)=5b2,
又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以x12﹣5y12=5b2,x22﹣5y22=5b2,
而x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5(x1﹣c)(x2﹣c)
=﹣4x1x2+5c(x1+x2)﹣5c2=﹣4+5c﹣5c2=﹣35b2=•6b2﹣35b2=10b2,
得λ2+4λ=0,解得λ=0或﹣4.
【点评】此题是个难题.本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力.其中问题
(2)考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,
21.(14分)(2011•江西)
(1)如图,对于任一给定的四面体A1A2A3A4,找出依次排列的四个相互平行的α1,α2,α3,α4,使得Ai∈αi(i=1,2,3,4),且其中每相邻两个平面间的距离都相等;
(2)给定依次排列的四个相互平行的平面α1,α2,α3,α4,其中每相邻两个平面间的距离都为1,若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足:
Ai
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