省会检测江西省南昌市高考数学一模试卷理科.doc
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2018年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,B={x|x=2n+1,n∈Z},则A∩B=( )
A.(﹣∞,4] B.{1,3} C.{1,3,5} D.[1,3]
2.欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(α﹣13°)=( )
A. B. C. D.
4.已知奇函数f'(x)是函数f(x)(x∈R)是导函数,若x>0时f'(x)>0,则( )
A.f(0)>f(log32)>f(﹣log23) B.f(log32)>f(0)>f(﹣log23)
C.f(﹣log23)>f(log32)>f(0) D.f(﹣log23)>f(0)>f(log32)
5.设不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx经过区域M内的点,则实数k的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.平面内直角三角形两直角边长分别为a,b,则斜边长为,直角顶点到斜边的距离为,空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直,三个侧面的面积分别为S1,S2,S3,类比推理可得底面积为,则三棱锥顶点到底面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示,图中网格是单位正方形,那么组合体的侧视图的面积为( )
A.6+ B. C. D.8
8.执行如图程序框图,则输出的n等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.函数f(x)=(﹣π≤x≤π)的图象大致为( )
A. B. C. D.
10.已知具有线性相关的五个样本点A1(0,0),A2(2,2),A3(3,2),A4(4,2),A5(6,4),用最小二乘法得到回归直线方程l1:
y=bx+a,过点A1,A2的直线方程l2:
y=mx+n,那么下列4个命题中,
①m>b,a>n;②直线l1过点A3;③
④.(参考公式,)
正确命题的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.设函数,若f(x)的最大值不超过1,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.已知椭圆,O为坐标原点,A,B是椭圆上两点,OA,OB的斜率存在并分别记为kOA、kOB,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.展开式中的常数项为 .
14.平面向量,,若有,则实数m= .
15.在圆x2+y2=4上任取一点,则该点到直线x+y﹣2=0的距离d∈[0,1]的概率为 .
16.已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处,以v公里/小时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处,若,则v= .
三、解答题(本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12.00分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,满足S4=2a4﹣1,S3=2a3﹣1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bn=log2(an•an+1),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:
.
18.(12.00分)某校为了推动数学教学方法的改革,学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班,每班各40人,甲班按原有模式教学,乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验,将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数,两个班学生的平均成绩均在[50,100],按照区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,绘制成如下频率分布直方图,规定不低于80分(百分制)为优秀.
(1)完成表格,并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”;
甲班
乙班
总计
大于等于80分的人数
小于80分的人数
总计
(2)从乙班[70,80),[80,90),[90,100]分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈,从中选三位同学发言,记来自[80,90)发言的人数为随机变量X,求X的分布列和期望.
附:
K2=,
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
k0
2.706
3.841
5.024
19.(12.00分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=AP=AD=3,AC∩BD=O,过O点作平面α平行于平面PAB,平面α与棱BC,AD,PD,PC分别相交于点E,F,G,H.
(1)求GH的长度;
(2)求二面角B﹣FH﹣E的余弦值.
20.(12.00分)已知抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y2=﹣4.
(1)求抛物线方程;
(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且AD⊥EF,求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.
21.(12.00分)已知函数f(x)=ln(ax)+bx在点(1,f
(1))处的切线是y=0.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)当恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数).
22.(10.00分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C的极坐标方程;
(2)若直线l1,l2的极坐标方程分别为,,设直线l1,l2与曲线C的交点为O,M,N,求△OMN的面积.
23.已知f(x)=|2x+3a2|.
(1)当a=0时,求不等式f(x)+|x﹣2|≥3的解集;
(2)对于任意实数x,不等式|2x+1|﹣f(x)<2a成立,求实数a的取值范围.
2018年江西省南昌市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,B={x|x=2n+1,n∈Z},则A∩B=( )
A.(﹣∞,4] B.{1,3} C.{1,3,5} D.[1,3]
【分析】先解出集合A={0,1,2,3,4},然后可判断1,3∈B,进行交集的运算即可求出A∩B.
【解答】解:
A={0,1,2,3,4};
对于集合B:
n=0时,x=1;n=1时,x=3;
即1,3∈B;
∴A∩B={1,3}.
故选:
B.
【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念,以及交集的运算.
2.欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,表示的复数位于复平面中的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【分析】直接由欧拉公式eix=cosx+isinx,可得=cos=,则答案可求.
【解答】解:
由欧拉公式eix=cosx+isinx,可得=cos=,
∴表示的复数位于复平面中的第一象限.
故选:
A.
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查数学转化思想方法,是基础题.
3.已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(α﹣13°)=( )
A. B. C. D.
【分析】根据三角函数的定义求出sinα和cosα,结合两角和差的正弦公式和余弦公式进行化简即可.
【解答】解:
∵r=|OP|==1,
∴sinα==cos47°,cosα==sin47°,
则sin(α﹣13°)=sinαcos13°﹣cosαsin13°=cos47°cos13°﹣sin47°sin13°=cos(47°+13°)=cos60°=,
故选:
A.
【点评】本题主要考查三角函数的化简和求解,利用三角函数的定义结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键.
4.已知奇函数f'(x)是函数f(x)(x∈R)是导函数,若x>0时f'(x)>0,则( )
A.f(0)>f(log32)>f(﹣log23) B.f(log32)>f(0)>f(﹣log23)
C.f(﹣log23)>f(log32)>f(0) D.f(﹣log23)>f(0)>f(log32)
【分析】判断f(x)的单调性和奇偶性,再判断大小关系.
【解答】解:
∵f′(x)是奇函数,且x>0时f'(x)>0,
∴当x<0时,f′(x)<0,
∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
∵﹣f′(﹣x)=f′(x),
∴f(﹣x)=f(x),
∴f(x)是偶函数.
∵log23>log32>0,
∴f(﹣log23)=f(log23)>f(log32)>f(0).
故选:
C.
【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用,属于中档题.
5.设不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx经过区域M内的点,则实数k的取值范围为( )
A. B. C. D.
【分析】画出不等式组对应的可行域,由于函数y=kx的图象是过点O(0,0),斜率为k的直线l,故由图即可得出其范围.
【解答】解:
由不等式组,作出可行域如图,
如图.因为函数y=kx的图象是过点O(0,0),
且斜率为k的直线l,
由图知,当直线l过点A(1,2)时,
k取最大值:
2,
当直线l过点B(2,1)时,k取最小值:
,
故实数k的取值范围是[,2].
故选:
C.
【点评】本题考查简单线性规划,利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大值与最小值.这是一道灵活的线性规划问题,还考查了数形结合的思想,属中档题.
6.平面内直角三角形两直角边长分别为a,b,则斜边长为,直角顶点到斜边的距离为,空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直,三个侧面的面积分别为S1,S2,S3,类比推理可得底面积为,则三棱锥顶点到底面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
【分析】三棱锥P﹣ABC,PA,PB,PC两两垂直,P在底面的射影为H,设PA=a,PB=b,PC=c,运用三棱锥的体积公式和等积法,计算可得所求距离.
【解答】解:
如图三棱锥P﹣ABC,PA,PB,PC两两垂直,
P在底面的射影为H,
设PA=a,PB=b,PC=c,
可得S1=ab,S2=bc,S3=ca,
可得abc=2,
由题意可得底面积为,
由等积法可得×abc=PH•,
可得PH==,
故选:
C.
【点评】本题考查类比推理的应用,注意平面与空间的区别和联系,考查等积法的运用,属于中档题.
7.已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示,图中网格是单位正方形,那么组合体的侧视图的面积为( )
A.6+ B. C. D.8
【分析】几何体为圆台和三棱锥的组合体,根据三视图的对应关系计算侧视图面积.
【解答】解:
由正视图和俯视图可知几何体为下部为圆台,上部为三棱锥,
其中圆台的上下底面半径分别为1,2,高为2,三棱锥的高为2,底面为等腰三角形,
由俯视图可知底面等腰三角形底边的高为,
故侧视图下部分为上下底分别为2,4,高为2的梯形,上部分为底边为,高为2的三角形,
∴侧视图的面积为×(2+4)×2+=.
故选:
B.
【点评】本题考查了简单组合体的结构特征与三视图,属于中档题.
8.执行如图程序框图,则输出的n等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】由已知中的程序语句可知:
该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:
模拟程序的运行,可得
n=0,x=,
a=﹣sin,
不满足条件a=,执行循环体,n=1,x=π,a=sinπ=0,
不满足条件a=,执行循环体,n=2,x=,a=sin=,
不满足条件a=,执行循环体,n=3,x=,a=sin=,
满足条件a=,退出循环,输出n的值为3.
故选:
C.
【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.
9.函数f(x)=(﹣π≤x≤π)的图象大致为( )
A. B. C. D.
【分析】利用函数的奇偶性排除选项B,通过特殊点的位置排除选项D,利用特殊值的大小,判断选项即可.
【解答】解:
函数是奇函数,排除选项B;
x=时,y=>0,排除选项D,
x=时,y=,∵>,
所以排除选项C.
故选:
A.
【点评】本题考查函数的图象的判断,函数的奇偶性以及特殊点的位置,是判断函数的图象的常用方法.
10.已知具有线性相关的五个样本点A1(0,0),A2(2,2),A3(3,2),A4(4,2),A5(6,4),用最小二乘法得到回归直线方程l1:
y=bx+a,过点A1,A2的直线方程l2:
y=mx+n,那么下列4个命题中,
①m>b,a>n;②直线l1过点A3;③
④.(参考公式,)
正确命题的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】首先求得a,b,m,n的值,然后结合所给的数据验证所给的算式是否成立即可.
【解答】解:
由题意可得:
,
则:
,
线性回归方程l1为:
,
直线l2的方程为:
y=x,
故:
b=0.6,a=0.2,m=1,n=0,说法①正确;
3×0.6+0.2=2,则直线l1过A3,说法②正确;
,,说法③错误;
,,说法④错误;
综上可得:
正确命题的个数有2个.
故选:
B.
【点评】本题考查线性回归方程及其应用,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题.
11.设函数,若f(x)的最大值不超过1,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
【分析】讨论x<a+1时,x≥a+1时,由指数函数、绝对值函数的单调性,可得最大值,解不等式即可得到所求范围.
【解答】解:
当x<a+1时,f(x)=()|x﹣a|在(﹣∞,a)递增,
[a,a+1)递减,可得x=a处取得最大值,且为1;
当x≥a+1时,f(x)=﹣a﹣|x+1|,
当a+1≥﹣1,即a≥﹣2时,f(x)递减,可得﹣a﹣|a+2|≤1,
解得a≥﹣;
当a+1<﹣1,即a<﹣2时,f(x)在x=﹣1处取得最大值,且为﹣a≤1,
则a∈∅.
综上可得a的范围是[﹣,+∞).
故选:
A.
【点评】本题考查分段函数的最值的求法,注意运用分类讨论思想方法,以及指数函数和绝对值函数的单调性,考查运算能力,属于中档题.
12.已知椭圆,O为坐标原点,A,B是椭圆上两点,OA,OB的斜率存在并分别记为kOA、kOB,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【分析】设椭圆的参数方程,根据直线的斜率公式,求得α=+β,利用两点之间的距离公式,求得|OA|2+|OB|2=36,根据基本不等式求得即可求得的最小值.
【解答】解:
设A(2cosα,2sinα),B(2cosβ,2sinβ),α∈[0,2π),β∈[0,2π),
由kOA•kOB==﹣,整理得:
cosαsinβ+sinαsinβ=0,即cos(α﹣β)=0,则α﹣β=,
α=+β,
则A(2cos(+β),2sin(+β)),即A(﹣2sinβ,2cosβ),
∴|OA|2=24sin2β+12cos2β=12(1+sin2β),|OB|2=12(1+cos2β),
则|OA|2+|OB|2=36,|OA|•|OB|≤=18,当且仅当|OA|=|OB|,即sinβ=±,β=或β=,
≥≥=,当且仅当|OA|=|OB|,即sinβ=±,β=或β=,
综上可知:
的最小值,
故选:
C.
【点评】本题考查椭圆的参数方程,直线的斜率公式,基本不等式的应用,考查转化思想,属于难题.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.展开式中的常数项为 4 .
【分析】分别求出(x+2)3的展开式中含x的项及常数项,再由多项式乘多项式求解.
【解答】解:
(x+2)3的通项公式为=.
取3﹣r=1,得r=2.
∴(x+2)3的展开式中含x的项为12x,
取3﹣r=0,得r=3.
∴(x+2)3的展开式中常数项为8,
∴展开式中的常数项为12﹣8=4.
故答案为:
4.
【点评】本题考查二项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,是基础题.
14.平面向量,,若有,则实数m= ±2 .
【分析】根据平面向量的模长公式与数乘向量,列方程求出m的值.
【解答】解:
向量,,
若,
则(2﹣)•(5,2m)=,
∴2﹣=0,
化简得m2=4,
解得m=±2.
故答案为:
±2.
【点评】本题考查了平面向量的模长公式与数乘向量应用问题,是基础题.
15.在圆x2+y2=4上任取一点,则该点到直线x+y﹣2=0的距离d∈[0,1]的概率为 .
【分析】由题意画出图形,由弧长公式求出在圆x2+y2=4上任取一点,该点到直线x+y﹣2=0的距离d∈[0,1]的弧的长度,再由测度比为长度比得答案.
【解答】解:
如图,
直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=4相切于D,
且OD=2,作与直线x+y﹣2=0平行的直线交圆于AB,
由O到直线AB的距离OC=1,半径OA=2,可得,
∴劣弧的长度为,
而圆的周长为4π,
∴在圆x2+y2=4上任取一点,则该点到直线x+y﹣2=0的距离d∈[0,1]的概率为.
故答案为:
.
【点评】本题考查几何概型,考查直线与圆位置关系的应用,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题.
16.已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处,以v公里/小时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处,若,则v= 100 .
【分析】如图所示:
AB=150,AC=200,B=α,C=β,根据解三角形可得3sinα=4sinβ,①,又cosα=cosβ,②,求出cosβ=,cosα=,求出BC的距离,即可求出速度
【解答】解:
如图所示:
AB=150,AC=200,B=α,C=β,
在Rt△ADB中,AD=ABsinα=150sinα,BD=ABcosα
在Rt△ADC中,AD=ACsinα=200sinβ,CD=ACcosβ
∴150sinα=200sinβ,
即3sinα=4sinβ,①,
又cosα=cosβ,②,
由①②解得sinβ=,cosβ=,sinα=,cosα=
∴BD=ABcosα=150×=90,CD=ACcosβ=200×=160,
∴BC=BD+CD=90+160=250,
∴v==100,
故答案为:
100.
【点评】本题考查了解三角形的问题,以及三角函数的关系,属于基础题
三、解答题(本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12.00分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,满足S4=2a4﹣1,S3=2a3﹣1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bn=log2(an•an+1),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:
.
【分析】
(1)设{an}的公比为q,由S4﹣S3=a4得,2a4﹣2a3=a4,从而q=2.由S3=2a3﹣1,求出a1=1.由此{an}的通项公式.
(2)由,得,由.
【解答】解:
(1)设{an}的公比为q,由S4﹣S3=a4得,2a4﹣2a3=a4,
所以,所以q=2.又因为S3=2a3﹣1,
所以a1+2a1+4a1=8a1﹣1,所以a1=1.所以.
证明:
(2)由
(1)知,
所以,
所以
=.
【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解,利用裂项求和法是解决本题的关键.
18.(12.00分)某校为了推动数学教学方法的改革,学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班,每班各40人,甲班按原有模式教学,乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验,将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数,两个班学生的平均成绩均在[50,100],按照区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]进行分组,绘制成如下频率分布直方图,规定不低于80分(百分制)为优秀.
(1)完成表格,并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”;
甲班
乙班
总计
大于等于80分的人数
小于80分的人数
总计
(2)从乙班[70,80),[80,90),[90,100]分数段中,按分层抽样随机抽取7名学生座谈,从中选三位同学发言,记来自[80,90)发言的人数为随机变量X,求X的分布列和期望.
附:
K2=,
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
k0
2.706
3.841
5.024
【分析】
(1)依题意求出K2≈3.333>2.706,从而有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.
(2)从乙班[70,80),[80,90),[90,100]分数段中抽人数分别为2,3,2,依题意随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和数学期望.
【解答】解:
(1)依题意得,
有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.
(2)从乙班[70,80),[80,90),[90,100]分数段中抽人数分别为2,3,2,
依题意随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
,
,
∴X的分布列为:
X
0
1
2
3
P
∴.
【点评】本题考查独立性检验的应用,考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.
19.(12.00分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=AP=AD=3,AC∩BD=O,过O点作平面α平行于平面PAB,平面α与棱BC,AD,PD,PC分别相交于点E,F,G,H.
(1)求GH的长度;
(2)求二面角B﹣FH﹣E的余弦值.
【分析】
(1)法一:
推导出EF∥AB,EH∥BP,FG∥AP,从而△BOC∽△DOA,且,连接HO,则有HO∥PA,过点H作HN∥EF交FG于N,由此能求出GH.
法二:
由面面平行的性质定理,得EF∥AB,EH∥BP,FG∥AP,作HN∥BC,HN∩PB=N,GM∥AD,HN∥GM,HN=GM,故四边形GMNH为矩形,即GH=MN,由此能求出GH.
(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B﹣FH﹣E的余弦值.
【解答】解:
(1)解法一:
因为α∥平面PAB,平面α∩平面ABCD=EF,O∈EF,
平面PAB∩平面ABCD=AB,所以EF∥AB,同理EH∥
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