高考理科数学江西卷.doc
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高考理科数学江西卷.doc
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2012年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)
数学(理科)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至2页,第II卷第3至第4页。
满分150分,考试时间120分钟。
考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答题无效。
3.考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式:
锥体体积公式V=Sh,其中S为底面积,h为高。
第I卷
一.选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为
A.5 B.4 C.3 D.2
2.下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为
A.y= B.y= C.y=xex D.y=
3.若函数f(x)=则f(f(10))=
A.lg101 B.2 C.1 D.0
4.若tanθ+=4,则sin2θ=
A. B. C. D.
5.下列命题中,假命题为
A.存在四边相等的四边形不是正方形
B.z1,z2∈C,z1+z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数
C.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y至少有一个大于1
D.对于任意n∈N+,++…+都是偶数
6.观察下列各式:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=
A.28 B.76 C.123 D.199
7.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=
A.2 B.4 C.5 D.10
8.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:
亩)分别为
A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50
9.样本(x1,x2,…,xn)的平均数为,样本(y1,y2,…,ym)的平均数为().若样本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数=α+(1-α),其中0<α<,则n,m的大小关系为
A.n
10.如右图,已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0 第Ⅱ卷 注: Ⅱ卷共2页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。 若在试题卷上作答,答案无效。 二.填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分。 11.计算定积分(x2+sinx)dx= . 12.设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5= . 13.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 . 14.下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 . 三、选做题: 请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共5分. 15. (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为 . (2)(不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为 . 四.解答题: 本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+kn(其中k∈N+),且Sn的最大值为8. (1)确定常数k,并求an; (2)求数列的前n项和Tn. 17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin-csin=a. (1)求证: B-C=; (2)若a=,求△ABC的面积. 18.如图,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0). (1)求V=0的概率; (2)求V的分布列及数学期望EV. 19.在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O. (1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长; (2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值. 20.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=·(+)+2. (1)求曲线C的方程; (2)动点Q(x0,y0)(-2 是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数? 若存在,求t的值;若不存在,说明理由. 21.若函数h(x)满足 ①h(0)=1,h (1)=0;②对任意a∈[0,1],有h(h(a))=a;③在(0,1)上单调递减. 则称h(x)为补函数.已知函数h(x)=(λ>-1,p>0). (1)判断函数h(x)是否为补函数,并证明你的结论; (2)若存在m∈[0,1],使h(m)=m,称m是函数h(x)的中介元.记p=(n∈N+)时h(x)的中介元为xn,且Sn=xi,若对任意的n∈N+,都有Sn<,求λ的取值范围; (3)当λ=0,x∈(0,1)时,函数y=h(x)的图像总在直线y=1-x的上方,求p的取值范围. 答案参考解析 1.C 由已知,得{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3}, 所以集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为3. 2.D 因为y=的定义域为{x|x≠0}, 而y=的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},y=的定义域为{x|x>0},y=xex的定义域为R,y=的定义域为{x|x≠0},故D项正确. 3.B ∵f(10)=lg10=1, ∴f(f(10))=f (1)=12+1=2. 4.D ∵tanθ+=4, ∴+=4. ∴=4,即=4. ∴sin2θ=. 5.B 选项A中,四边相等的空间四边形显然不是正方形,故选项A为真命题;选项B中,z1,z2∈C,“z1+z2为实数”⇐“z1,z2互为共轭复数”,但“z1+z2为实数”“z1,z2互为共轭复数”,故选项B为假命题;选项C中,假设x,y均小于等于1,则x+y≤2,这与x+y>2相矛盾,故选项C为真命题;选项D中,+++…+=2n,显然2n是偶数,故选项D为真命题. 6.C 利用归纳法: a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123. 规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和. 7.D (用向量法)将△ABC的各边均赋予向量, 则= = = = = =-6=42-6=10. 8.B 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩、y亩,总利润为z万元, 则z关于x,y的关系式为z=4x×0.55-1.2x+6y×0.3-0.9y=x+0.9y,且x,y满足约束条件为 画可行域,如图所示: 设l0: y=-x,将l0上下平移可知, 当直线z=x+0.9y过点A(30,20)(注: 可联立方程组解得点A的坐标)时,z取最大值,因此当总利润z最大时,x=30,y=20,即黄瓜的种植面积为30亩,韭菜的种植面积为20亩. 9.A 由已知,得x1+x2+…+xn=n,y1+y2+…+ym=m, ===α+(1-α), 整理,得(-)[αm+(α-1)n]=0, ∵, ∴αm+(α-1)n=0,即=. 又0<α<,∴0<<1,∴0<<1. 又n,m∈N+,∴n 10.A 设截面与SB,SD,AD,AB分别交于点M,N,P,F,取SC的中点Q,连结BQ,DQ, 如图,过M作MT∥AB,VS-ABCD=, 由相似性知,VS-EMN=x3, VS-TNM=x3, V棱柱TNM-APF=x2-2x3. (1)当0 Vx'=x(3x-2),图象如图. 由Vx'的图象可知,当0 (2)当≤x<1时,Vx=(1-x)3,Vx'=-(1-x)2,图象如图. 由Vx'的图象可知,当≤x<1时,Vx减小的速度先快后慢,综合 (1), (2)知选A. 11. (x2+sinx)dx=x3-cosx=. 12.35 ∵{an},{bn}均是等差数列,根据等差数列的性质a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1, ∴a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2×21-7=35. 13. 因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点, 所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c. 又因为|AF1|,|F1F2|,|BF1|成等比数列, 所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2, 所以离心率e==. 14. 3 当T=0,k=1时,sin>sin,所以a=1,T=1,k=2; 当T=1,k=2时,sin 当T=1,k=3时,sin 当T=1,k=4时,sin>sin,所以a=1,T=2,k=5; 当T=2,k=5时,sin>sin,所以a=1,T=3,k=6. 此时k≥6,所以输出T=3. 15. (1)ρ=2cosθ (2) 16.解: (1)当n=k∈N+时,Sn=-n2+kn取最大值,即8=Sk=-k2+k2=k2, 故k2=16,因此k=4, 从而an=Sn-Sn-1=-n(n≥2). 又a1=S1=,所以an=-n. (2)因为bn==, Tn=b1+b2+…+bn=1+++…++, 所以Tn=2Tn-Tn=2+1++…+-=4--=4-. 17. (1)证明: 由bsin-csin=a, 应用正弦定理,得 sinBsin-sinCsin=sinA, sinB- sinC=, 整理得sinBcosC-cosBsinC=1, 即sin(B-C)=1, 由于0 (2)解: B+C=π-A=,因此B=,C=, 由a=,A=,得b==2sin,c==2sin, 所以△ABC的面积S=bcsinA=sinsin=cossin=. 18.解: (1)从6个点中随机选取3个点总共有=20种取法,选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有=12种,因此V=0的概率为P(V=0)==. (2)V的所有可能取值为0,,,,,因此V的分布列为 V 0 P 由V的分布列可得 EV=0×+×+×+×+×=. 19. (1)证明: 连接AO,在△AOA1中,作OE⊥AA1于点E, 因为AA1∥BB1,得OE⊥BB1, 因为A1O⊥平面ABC,所以A1O⊥BC. 因为AB=AC,OB=OC,得AO⊥BC, 所以BC⊥平面AA1O,所以BC⊥OE, 所以OE⊥平面BB1C1C. 又AO==1,AA1=,得AE==. (2)解: 如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2), 由=得点E的坐标是, 由 (1)得平面BB1C1C的法向量是=, 设平面A1B1C的法向量n=(x,y,z), 由得 令y=1,得x=2,z=-1,即n=(2,1,-1), 所以cos<,n>==, 即平面BB1C1C与平面A1B1C的夹角的余弦值是. 20.解: (1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y), |+|=, ·(+)=(x,y)·(0,2)=2y, 由已知得=2y+2, 化简得曲线C的方程: x2=4y. (2)假设存在点P(0,t)(t<0)满足条件, 则直线PA的方程是y=x+t,PB的方程是y=x+t. 曲线C在Q处的切线l的方程是y=x-,它与y轴的交点为F. 由于-2 ①当-1 ②当t≤-1时,≤-1<,≥1>, 所以l与直线PA,PB一定相交. 分别联立方程组 解得D,E的横坐标分别是xD=,xE=, 则xE-xD=(1-t), 又|FP|=--t,有S△PDE=·|FP|·|xE-xD|=·, 又S△QAB=·4·=, 于是=· =·. 对任意x0∈(-2,2),要使为常数,即只须t满足 解得t=-1.此时=2, 故存在t=-1,使得△QAB与△PDE的面积之比是常数2. 21.解: (1)函数h(x)是补函数.证明如下: ①h(0)==1,h (1)==0; ②对任意a∈[0,1],有 h(h(a))=h===a; ③令g(x)=(h(x))p,有 g'(x)= =, 因为λ>-1,p>0,所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0, 所以函数g(x)在(0,1)上单调递减,故函数h(x)在(0,1)上单调递减. (2)当p=(n∈N+)时,由h(x)=x,得λ+2-1=0.(*) (ⅰ)当λ=0时,中介元xn=; (ⅱ)当λ>-1且λ≠0时, 由(*)得=∈(0,1)或=∉[0,1];得中介元xn=. 综合(ⅰ)(ⅱ),对任意的λ>-1,中介元为xn=(n∈N+), 于是,当λ>-1时, 有Sn= =<, 当n无限增大时,无限接近于0,Sn无限接近于, 故对任意的n∈N+,Sn<成立等价于,即λ∈[3,+∞). (3)当λ=0时,h(x)=(1-xp,中介元为xp=, (ⅰ)当0 所以点(xp,h(xp))不在直线y=1-x的上方,不符合条件; (ⅱ)当p>1时,依题意只须(1-xp>1-x在x∈(0,1)时恒成立, 也即xp+(1-x)p<1在x∈(0,1)时恒成立, 设φ(x)=xp+(1-x)p,x∈[0,1], 则φ'(x)=p[xp-1-(1-x)p-1], 由φ'(x)=0得x=,且当x∈时,φ'(x)<0,当x∈时,φ'(x)>0, 又因为φ(0)=φ (1)=1,所以当x∈(0,1)时,φ(x)<1恒成立. 综上,p的取值范围是(1,+∞).
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