初中数学竞赛专题选讲-勾股定理Word文件下载.doc
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n),那么m2-n2,2mn, m2+n2是一组勾股数。
②如果k是大于1的奇数,那么k,,是一组勾股数。
③如果k是大于2的偶数,那么k,,是一组勾股数。
④如果a,b,c是勾股数,那么na, nb, nc (n是正整数)也是勾股数。
5.熟悉勾股数可提高计算速度,顺利地判定直角三角形。
简单的勾股数有:
3,4,5;
5,12,13;
7,24,25;
8,15,17;
9,40,41。
二、例题
例1.已知线段a a a 2a 3aa
求作线段a a
分析一:
a==2a
∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二:
a=
∴a是以3a为斜边,以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图(略)
例2.四边形ABCD中∠DAB=60,∠B=∠D=Rt∠,BC=1,CD=2
求对角线AC的长
解:
延长BC和AD相交于E,则∠E=30
∴CE=2CD=4,
在Rt△ABE中
设AB为x,则AE=2x
根据勾股定理x2+52=(2x)2,x2=
在Rt△ABC中,AC===
例3.已知△ABC中,AB=AC,∠B=2∠A
求证:
AB2-BC2=AB×
BC
证明:
作∠B的平分线交AC于D,
则∠A=∠ABD,
∠BDC=2∠A=∠C
∴AD=BD=BC
作BM⊥AC于M,则CM=DM
AB2-BC2=(BM2+AM2)-(BM2+CM2)
=AM2-CM2=(AM+CM)(AM-CM)
=AC×
AD=AB×
BC
例4.如图已知△ABC中,AD⊥BC,AB+CD=AC+BD
求证:
AB=AC
证明:
设AB,AC,BD,CD分别为b,c,m,n
则c+n=b+m,c-b=m-n
∵AD⊥BC,根据勾股定理,得
AD2=c2-m2=b2-n2
∴c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)
(c+b)(c-b)=(m+n)((c-b)
(c+b)(c-b)-(m+n)(c-b)=0
(c-b){(c+b)-(m+n)}=0
∵c+b>
m+n,∴c-b=0即c=b
∴AB=AC
例5.已知梯形ABCD中,AB∥CD,AD>BC
AC>BD
作DE∥AC,DF∥BC,交BA或延长线于点E、F
ACDE和BCDF都是平行四边形
∴DE=AC,DF=BC,AE=CD=BF
作DH⊥AB于H,根据勾股定理
AH=,FH=
∵AD>BC,AD>DF
∴AH>FH,EH>BH
DE=,BD=
∴DE>BD
即AC>BD
例6.已知:
正方形ABCD的边长为1,正方形EFGH内接于ABCD,AE=a,AF=b,且SEFGH=
求:
的值
(2001年希望杯数学邀请赛,初二)
根据勾股定理
a2+b2=EF2=SEFGH=;
①
∵4S△AEF=SABCD-SEFGH ∴ 2ab= ②
①-②得 (a-b)2= ∴=
三、练习
1.以下列数字为一边,写出一组勾股数:
①7,__,__ ②8,__,__ ③9,__,__
④10,__,__ ⑤11,__,__ ⑥12,__,__
2.根据勾股数的规律直接写出下列各式的值:
①252-242=__, ②52+122=__,
③=___,④=___
3.△ABC中,AB=25,BC=20,CA=15,CM和CH分别是中线和高。
那么S△ABC=__,CH=__,MH=___
4. 梯形两底长分别是3和7,两对角线长分别是6和8,则S梯形=___
5.已知:
△ABC中,AD是高,BE⊥AB,BE=CD,CF⊥AC,CF=BD
AE=AF
6.已知:
M是△ABC内的一点,MD⊥BC,ME⊥AC,MF⊥AB,
且BD=BF,CD=CE
AE=AF
7.在△ABC中,∠C是钝角,a2-b2=bc 求证∠A=2∠B
8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。
(用反证法)
9.已知直角三角形三边长均为整数,且周长和面积的数值相等,求各边长
10等腰直角三角形ABC斜边上一点P,求证:
AP2+BP2=2CP2
11.已知△ABC中,∠A=Rt∠,M是BC的中点,E,F分别在AB,AC
ME⊥MF
EF2=BE2+CF2
12.Rt△ABC中,∠ABC=90,∠C=60,BC=2,D是AC的中点,从D作DE⊥AC与CB的延长线交于点E,以AB、BE为邻边作矩形ABEF,连结DF,则DF的长是____。
(2002年希望杯数学邀请赛,初二试题)
13.△ABC中,AB=AC=2,BC边上有100个不同的点p1,p2,p3,…p100,
记mi=APi2+BPi×
PiC(I=1,2……,100),则m1+m2+…+m100=____
(1990年全国初中数学联赛题)
练习题参考答案
3. 150,12,35
4. 24(作CE∥BD交AB延长线E)
5.利用勾股定理证明AE,AF的平方都等于m2+n2+AD2
6.利用勾股定理:
AE2=……,AF2=……
7.作CD⊥AB于D,
∵bc=a2-b2=BD2-AD2=(BD+AD)(BD-AD)∴b=BD-AD……
8.(用反证法)设a,b,c都是奇数,那么a2,b2,c2也都是奇数,
∴a2+b2是偶数,而c2是奇数,这与a2+b2=c2相矛盾,
故这种假设不能成立,
∴a,b,c中至少有一个数是偶数
9. 正整数解有
答:
各边长是5,12,13或6,8,10
11.延长EM到N,使MN=EM,连结CN,
显然△MNC≌△MEB,NC=BE,NF=EF……
12. 可证DF=DE=2,
13. 400(mi=4)
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