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等差数列练习
等差数列练习精选
【例1】等差数列前10项的和为140,其中,项数为奇数的各项的和为
125,求其第6项.
解依题意,得
a1+a3+a5+a7+a9=5a1+20d=125
解得a1=113,d=—22.
•••其通项公式为
an=113+(n—1)•(—22)=—22n+135
•-a6=—22X6+135=3
说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a「d,再求其他的•这种
先求出基本元素,再用它们去构成其他元素的方法,是经常用到的一种方法.在
本课中如果注意到a6=a1+5d,也可以不必求出an而
2a1+9d=28
直接去求a6,所列方程组化简后可得相减即得a1+5d=3,
a1+4d=25
即a6=3•可见,在做题的时候,要注意运算的合理性•当然要做到这一
点,必须以对知识的熟练掌握为前提.
【例2】在两个等差数列2,5,8,…,197与2,7,12,…,197
中,求它们相同项的和.
解由已知,第一个数列的通项为an=3n—1;第二个数列的通项为bN=5N—3
若am=bN,则有3n—1=5N—3
若满足n为正整数,必须有N=3k+1(k为非负整数).又2<5N—3<197,即卩1 N=1,4,7,…,40n=1,6,11,…,66 •两数列相同项的和为 2+17+32+…+197=1393 又14=5a+3b, a=1,b=3 •••首项为1,公差为2 n(n1) 又Sn=门厲+厂 n(n1) •-2500=n+•2•-n=50 2 nd 2 nd 2 5 解之,得nd二一 11 由①,有(2n+1)d=1 1 由④,⑤,解得d二一, 11 ■-共插入10个数. 【例5】在等差数列{an}中,设前m项和为Sm,前n项和为Sn,且Sm一Sn,m^n,求Sm+n. 1 解•Sm+n 一(m+n)a1+(m+n)(m+n—1)d 1 一(m+n)[a1+-(m+n—1)d] 且Sm一Sn, 1 …ma1+-m(m—1)d一na1+—n(n—1)d 整理得(m—n)a1+£(m—n)(m+n_1)=0 1 即(m—n)[a1+(m+n—1)d]=0 1 由mHn,知a1+2(m+n—1)d—0 二Sm+n一0 【例6】已知等差数列{an}中,S3=21,S6=64,求数列{|an|}的前n 项和Tn. 分析等差数列前n项和Sn=na1+n(;°d,含有两个未知数a1, d,已知S3和S6的值,解方程组可得a1与d,再对数列的前若干项的正 负性进行判断,则可求出Tn来. 解设公差为d,由公式Sn一nq+n^n1)d 3a1+3d=21得 ba1+15d=24 解方程组得: d一一2,一9 二an=9+(n-1)(n-2)=—2n+11 11 由an=-2n+11>0得nv二5.5,故数列{an}的前5项为正, 2 其余各项为负•数列{an}的前n项和为: •••当nW5时,Tn=-n2+10n 当n>6时,Tn=S5+|Sn—S5|=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn •Tn=2(—25+50)—(—n2+10n)=n2-10n+50 2 戸Tn=—n+10nnW5 即;n€N* n—10n+50n>6 说明根据数列{an}中项的符号,运用分类讨论思想可求{|an|}的前n 项和. 【例7】在等差数列{an}中,已知%+为+a12+a〔5=34,求前20项 之和. 解法一由玄6十a9+a12+a〔5=34 得4a〔+38d=34 又S20=20&1+ 20X19 =20a1+190d =5(4a1+38d)=5X34=170 (a1+a20)X20 解法一S20=-=10(a1+a20) 由等差数列的性质可得: a6+a〔5=a9+a〔2=+a? 。 .•+玄20=17 S? o=170 【例8】已知等差数列{an}的公差是正数,且a3•a7=—12,a4+a6=- 4,求它的前20项的和S20的值. 解法一设等差数列{an}的公差为d,则d>0,由已知可得 (a,+2d)(a,+bd)=—12① a1+3d+a,+5d=—4② 由②,有a,=—2—4d,代入①,有d2=4 再由d>0,得d=2a〔=—10 最后由等差数列的前n项和公式,可求得S20=180 解法二由等差数列的性质可得: 玄4+a6=a3+a7即a3+a7=一4 又a3•a7=—12,由韦达定理可知: a3,a7是方程x2+4x—12=0的二根 解方程可得x1=—6,x2=2 •••d>0.{an}是递增数列 --玄3=—6,a? =2 a? a3 d=一-=2,a1=—10,S20=18073 【例9】等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若 A•1 C. 299 2 B・一 3 200D. 301 分析该题是将亟与Sn发生联系,可用等差数列的前n项 b100Tn3n1 和公式Sn=n(a1+an)把前n项和的值与项的值进行联系. n2 解法一 VSn n(a1an) 2, Tn n(b1bn) 2 •Sn a1 an •a1 an 2n "Tn b1 bn b1 bn 3n1 ■2a100=a1+a199, 2b100=b1+b199 a〔00a〔a〔992x199199 b100Sb1993X199+1299 解法二利用数列{an}为等差数列的充要条件: Sn=an2+ bn ..Sil2n •Tn3n1 可设Sn=2n2k,Tn=n(3n+1)k .OkSnSn12n2k2(n1)2k …bnTnTn1n(3n1)k(n1)[3(n1)1]k 4n22n1 6n23n1 .証2X1001199 …b1003X1001299 说明该解法涉及数列{an}为等差数列的充要条件Sn=an2+bn,由 已知邑竝,将Sn和Tn写成什么? 若写成Sn=2nk,Tn=(3n+1)k,Tn3n1 k是常数,就不对了. 【例10】解答下列各题: (2)在19与89中间插入几个数,使它们与这两个数组成等差数列,并且此数列各项之和为1350,求这几个数; (3)已知: 等差数列{aj中,a4+a〔5+玄仃=50,求S20; ⑷已知: 等差数列{an}中,an=33—3n,求Sn的最大值. 分析与解答 173 (1)a6=a2+(6—2)dd==—5 4 ag=a6+(9—6)d=—17+3X(—5)=—32 ⑻+a”2)(n+2) ■-Sn+2 ⑵a1=19,an+2=89,Sn+2=1350 2 2X1350 …n+2==25n=23 19+89 (3)■/a4+a6+a〔5+a仃=50 又因它们的下标有4+17=6+15=21 二a4+a17=a6+a15=25 a17)250 (a1+a20)X20 S20=1-10X(a4 (4)■/an=33—3n•a〔=30 (5) 证设这个数列的第n项为an,前n项和为Sn. 当n》2时,an=Sn一Sn_1 •••an=(4n2+3n)—[4(n—1)2+3(n—1)] =8n一1 当n=1时,a1=S1=4+3=7 由以上两种情况可知,对所有的自然数n,都有an=8n—1 又an+1—an=[8(n+1)—1]—(8n—1)=8 •这个数列是首项为7,公差为8的等差数列. 说明这里使用了“an=sn—Sn-1”这一关系.使用这一关系时,要注意,它只在n>2时成立.因为当n=1时,Sn「nSo,而S0是没有定义的.所以,解题时,要像上边解答一样,补上n=1时的情况. 【例12】证明: 数列{an}的前n项之和Sn=an2+bn(a、b为常数)是这 个数列成为等差数列的充分必要条件. 证 由Sn=an2+bn,得 当n》2时,an=Sn—Sn-1 =an2+bn—a(n—1)2—b(n—1) =2na+b—a a1=S1=a+b •••对于任何n€N,an=2na+b—a 且an—an-1=2na+(b—a)—2(n—1)a—b+a =2a(常数) •-{an}是等差数列. n(n1) Sn=na! +d 若令Q二a,贝Vai—^=b,即卩 22 Sn=an2+bn 综上所述,Sn=an2+bn是{an}成等差数列的充要条件. 说明由本题的结果,进而可以得到下面的结论: 前n项和为Sn=an2+ bn+c的数列是等差数列的充分必要条件是c=0.事实上,设数列为{un},则: 充分性c=0Sn=an2+bn{un}是等差数列. 必要性{Un}是等差数列Sn=an2+bnc=0. 【例13】等差数列{an}的前n项和Sn=m,前m项和Sm=n(m>n), 求前m+n项和Sm+n. 解法一设{an}的公差d 按题意,则有 Sm=mai+m^d=n =—(m+n) 解法二设Sx=Ax2+Bx(x€N) Am2+Bm=n① An2+Bn=m② ①—②,得A(m2—n2)+B(m—n)=n—m ■/m^n/•A(m+n)+B=—1 故A(m+n)2+B(m+n)=—(m+n) 即Sm+n=—(m+n) 说明a1,d是等差数列的基本元素,通常是先求出基本元素,再 解决其它问题,但本题关键在于求出了a1+mn1d=—1,这种设而不 12 解的“整体化”思想,在解有关数列题目中值得借鉴.解法二中,由于是 等差数列,由例22,故可设Sx=Ax2+Bx.(x€N) 【例14】在项数为2n的等差数列中,各奇数项之和为75,各偶数项之 和为90,末项与首项之差为27,则n之值是多少? 解TS偶项—S奇项=nd •••nd=90—75=15 又由a2n—a1=27,即(2n—1)d=27 nd=15 •n=5 (2n—1)d=27 【例15】在等差数列{an}中,已知a1=25,S9=S17,问数列前多少项 和最大,并求出最大值. 解法一建立Sn关于n的函数,运用函数思想,求最大值. 根据题意: 17X169X8 S仃一17印+2d,S9—9a〔+2d -a〔=25,S^=S9解得d=—2 •Sn=25n+(—2)=—n? +26n=—(n—13)2+169 •••当n=13时,Sn最大,最大值S13=169 解法二因为a1=25>0,d=—2v0,所以数列{an}是递减等 差数列,若使前n项和最大,只需解a°0,可解出n. n+1 an+1w0 -ai=25,S9=Si7 •9X25+^8d=17X25+17从16d,解得d=—2 22 ••an=25+(n—1)(—2)=—2n+27 —2n+27>0n<13.5 二n=13 —2(n+1)+27>0n>12.5 即前13项和最大,由等差数列的前n项和公式可求得S13=169. 解法三利用s9=s17寻找相邻项的关系. 由题意Sg=S[7得a〔o+a〔1+a〔2+…+a〔7=0 而a[°+a17=an+a〔6=a12+a[5=a13+a^ •a13+a14=0,a13=一a14•0,引4三0 •-S13=169最大. 解法四根据等差数列前n项和的函数图像,确定取最大值时的n. •-{an}是等差数列 •可设Sn=An2+Bn 2—1所示 二次函数y=Ax2+Bx的图像过原点,如图3. 八y 7°9IT 图3.2-1 •S9=S17, 对称轴x=9+17=13 2 •••取n=13时,S13=169最大
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