构造等差数列或等比数列(公开课)Word格式文档下载.doc
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令,则,且
是以为公比的等比数列,
∴.
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差,然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例3
设是首项为1的正项数列,且,(n∈N*),求数列的通项公式an.
由题设得.
∵,,∴.
∴
.
例4
数列中,,且,(n∈N*),求通项公式an.
∴(n∈N*)
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例5
数列中,,前n项的和,求.
,
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决.
例6
设正项数列满足,(n≥2).求数列的通项公式.
两边取对数得:
,,设,则
是以2为公比的等比数列,.
,,,
例7
已知数列中,,n≥2时,求通项公式.
∵,两边取倒数得.
可化为等差数列关系式.
求数列通项公式的十种方法
一、公式法
例1已知数列满足,,求数列的通项公式。
两边除以,得,则,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。
评注:
本题解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式。
二、累加法
例2已知数列满足,求数列的通项公式。
由得则
所以数列的通项公式为。
本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。
例3已知数列满足,求数列的通项公式。
所以
例4已知数列满足,求数列的通项公式。
两边除以,得,
则,故
因此,
则
本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。
三、累乘法
例5已知数列满足,求数列的通项公式。
因为,所以,则,故
所以数列的通项公式为
本题解题的关键是把递推关系转化为,进而求出,即得数列的通项公式。
例6(2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列满足,求的通项公式。
因为 ①
所以 ②
用②式-①式得
故
所以 ③
由,,则,又知,则,代入③得。
所以,的通项公式为
本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,从而可得当的表达式,最后再求出数列的通项公式。
四、待定系数法
例7已知数列满足,求数列的通项公式。
设 ④
将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入④式得 ⑤
由及⑤式得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故。
本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
例8已知数列满足,求数列的通项公式。
设 ⑥
将代入⑥式,得
整理得。
令,则,代入⑥式得
⑦
由及⑦式,
得,则,
故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,因此,则。
本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。
例9已知数列满足,求数列的通项公式。
设⑧
将代入⑧式,得
,则
等式两边消去,得,
解方程组,则,代入⑧式,得
⑨
由及⑨式,得
则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。
五、对数变换法
例10已知数列满足,,求数列的通项公式。
因为,所以。
在式两边取常用对数得 ⑩
设
将⑩式代入式,得,两边消去并整理,得,则
,故
代入式,得
由及式,
得,
则,
所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此
则。
本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
六、迭代法
例11已知数列满足,求数列的通项公式。
因为,所以
又,所以数列的通项公式为。
本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
即先将等式两边取常用对数得,即,再由累乘法可推知,从而。
七、数学归纳法
例12已知数列满足,求数列的通项公式。
由及,得
由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。
(1)当时,,所以等式成立。
(2)假设当时等式成立,即,则当时,
由此可知,当时等式也成立。
根据
(1),
(2)可知,等式对任何都成立。
本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。
八、换元法
例13已知数列满足,求数列的通项公式。
令,则
故,代入得
即
因为,故
则,即,
可化为,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得。
本题解题的关键是通过将的换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
九、不动点法
例14已知数列满足,求数列的通项公式。
令,得,则是函数的两个不动点。
因为
。
所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则。
本题解题的关键是先求出函数的不动点,即方程的两个根,进而可推出,从而可知数列为等比数列,再求出数列的通项公式,最后求出数列的通项公式。
例15已知数列满足,求数列的通项公式。
令,得,则是函数的不动点。
,
所以数列是以为首项,以为公差的等差数列,则,故。
本题解题的关键是先求出函数的不动点,即方程的根,进而可推出,从而可知数列为等差数列,再求出数列的通项公式,最后求出数列的通项公式。
十、特征根法
例16已知数列满足,求数列的通项公式。
的相应特征方程为,解之求特征根是,所以。
由初始值,得方程组
求得
从而。
本题解题的关键是先求出特征方程的根。
再由初始值确定出,从而可得数列的通项公式。
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