高考数学理科一轮复习讲义第2章 函数导数及其应用 第10讲文档格式.docx
- 文档编号:6544999
- 上传时间:2023-05-06
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:294.77KB
高考数学理科一轮复习讲义第2章 函数导数及其应用 第10讲文档格式.docx
《高考数学理科一轮复习讲义第2章 函数导数及其应用 第10讲文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学理科一轮复习讲义第2章 函数导数及其应用 第10讲文档格式.docx(13页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
(4)函数f(x)=e-x的导数是f′(x)=e-x.( )
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.小题热身
(1)下列函数求导运算正确的个数为( )
①(3x)′=3xlog3e;
②(log2x)′=;
③(e1-x)′=e1-x;
④′=x.
A.1B.2C.3D.4
答案 A
解析 ①中,(3x)′=3xln3,错误;
②中,(log2x)′=,正确;
③中,(e1-x)′=-e1-x,错误;
④中,′==-,错误,因此求导运算正确的个数为1.
(2)有一机器人的运动方程为s=t2+(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为( )
A.B.C.D.
答案 D
解析 s′=′=2t-,当t=2时,s′=2×
2-=,所以该机器人在t=2时的瞬时速度为.
(3)函数f(x)=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为( )
A.10B.5C.-1D.-
解析 ∵f(x)=x3+4x+5,
∴f′(x)=3x2+4,
∴f′
(1)=7,即切线的斜率为7,
又f
(1)=10,故切点坐标为(1,10),
∴切线的方程为y-10=7(x-1),
当y=0时,x=-,切线在x轴上的截距为-.
(4)曲线y=在x=处的切线方程为________.
答案 y=-x+
解析 因为y′=′=,
当x=时,y′==-,
所以曲线y=在x=处的切线方程为
y-=-,
整理得y=-x+.
题型 导数的运算
1.(2019·
湖南十二校联考)若函数f(x)=lnx-f′(-1)x2+3x-4,则f′
(1)=________.
答案 8
解析 因为f′(x)=-2f′(-1)x+3,
所以f′(-1)=-1+2f′(-1)+3,
解得f′(-1)=-2,所以f′
(1)=1+4+3=8.
2.求下列函数的导数:
(1)y=(2x2-1)(3x+1);
(2)y=x-sin2xcos2x;
(3)y=excosx;
(4)y=.
解
(1)因为y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,
所以y′=18x2+4x-3.
(2)因为y=x-sin2xcos2x,所以y=x-sin4x,
所以y′=1-cos4x×
4=1-2cos4x.
(3)y′=(excosx)′=(ex)′cosx+ex(cosx)′
=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx).
(4)y′=′
=
=.
1.谨记一个原则
先化简解析式,使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商,再求导.
2.熟记求导函数的五种形式及解法
(1)连乘积形式:
先展开化为多项式的形式,再求导;
(2)分式形式:
观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;
(3)对数形式:
先化为和、差的形式,再求导;
(4)根式形式:
先化为分数指数幂的形式,再求导;
(5)三角形式:
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.
3.求复合函数的导数的一般步骤
(1)确定复合关系.注意内层函数通常为一次函数.
(2)由外向内逐层求导.如举例说明2(4)中对ln(2x+1)的求导.
求下列函数的导数:
(1)y=lnx+;
(2)y=;
(3)y=(x2+2x-1)e2-x.
解
(1)y′=′=(lnx)′+′=-.
(2)y′=′==.
(3)y′=(x2+2x-1)′e2-x+(x2+2x-1)(e2-x)′
=(2x+2)e2-x+(x2+2x-1)·
(-e2-x)
=(3-x2)e2-x.
题型 导数的几何意义
角度1 求切线方程
1.过点(1,-2)且与y=x3-3x相切的直线方程为( )
A.y=-2或9x+4y-1=0
B.y=-2
C.9x+4y+1=0
D.y=0或9x+4y+1=0
解析 y′=3x2-3,设切点坐标为(x0,x-3x0),此时在切点处的斜率为y′|x=x=3x-3,所以切线方程为y-(x-3x0)=(3x-3)(x-x0),将点(1,-2)代入切线方程,整理得2x-3x+1=0,即(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=1或x0=-,分别代入切线方程可得y=-2或9x+4y-1=0.
2.(2018·
全国卷Ⅱ)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为________.
答案 y=2x
解析 y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.
角度2 求切点坐标(多维探究)
3.(2019·
广州模拟)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为( )
A.(0,0)B.(1,-1)
C.(-1,1)D.(1,-1)或(-1,1)
解析 f′(x)=(x3+ax2)′=3x2+2ax,
由题意得f′(x0)=-1,x0+f(x0)=0,
所以
由①知x0≠0,故②可化为1+x+ax0=0,所以ax0=-1-x代入①得3x+2(-1-x)=-1,即x=1,
解得x0=±
1.
当x0=1时,a=-2,f(x0)=x+ax=-1;
当x0=-1时,a=2,f(x0)=x+ax=1,
所以点P的坐标为(1,-1)或(-1,1).
条件探究 在举例说明3中增加条件“a>
0”,若曲线y=f(x)在点Q(x1,f(x1))处的切线与直线x+4y=0垂直,求点Q的坐标.
解 由举例说明3知f(x)=x3+2x2,
f′(x)=3x2+4x.
由题意得f′(x1)=4,所以3x+4x1=4,
解得x1=-2或x1=,
f(-2)=(-2)3+2×
(-2)2=0,
f=3+2×
2=,
所以点Q的坐标为(-2,0)或.
角度3 求参数的值(范围)
4.(2018·
成都诊断)若曲线y=f(x)=lnx+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.(0,+∞)D.[0,+∞)
解析 f′(x)=+2ax=(x>
0),根据题意有f′(x)≥0(x>
0)恒成立,所以2ax2+1≥0(x>
0)恒成立,即2a≥-(x>
0)恒成立,所以a≥0,故实数a的取值范围为[0,+∞).
5.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b=________.
答案 1
解析 由题意知,y=x3+ax+b的导数y′=3x2+a,
则由此解得k=2,a=-1,b=3,
∴2a+b=1.
求切线方程问题的两种类型及方法
(1)求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程:
点P(x0,y0)为切点,切线斜率为k=f′(x0),有唯一的一条切线,对应的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).如举例说明2.
(2)求“过”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)的切线方程:
切线经过点P,点P可能是切点,也可能不是切点,这样的直线可能有多条.如举例说明1,解决问题的关键是设切点,利用“待定切点法”,即:
①设切点A(x1,y1),则以A为切点的切线方程为y-y1=f′(x1)(x-x1);
②根据题意知点P(x0,y0)在切线上,点A(x1,y1)在曲线y=f(x)上,得到方程组求出切点A(x1,y1),代入方程y-y1=f′(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
1.曲线f(x)=2x-ex与y轴的交点为P,则曲线在点P处的切线方程为( )
A.x-y+1=0B.x+y+1=0
C.x-y-1=0D.x+y-1=0
答案 C
解析 因为f(0)=2×
0-e0=-1,所以点P的坐标为(0,-1).
因为f′(x)=(2x-ex)′=2-ex,所以f′(0)=2-e0=1,
所以曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y-(-1)=1·
(x-0),整理得x-y-1=0.故选C.
2.若曲线y=x2与曲线y=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a=( )
A.1B.C.-1D.2
解析 y′=′=,
y′=(alnx)′=,
由题意得
由①得s2=ae代入②得t=.
代入③得=alns,s=,
所以()2=ae,a=1.
3.已知函数f(x)=e2x-2ex+ax-1,曲线y=f(x)上存在两条斜率为3的切线,则实数a的取值范围为( )
A.(3,+∞)B.
C.D.(0,3)
答案 B
解析 f(x)=e2x-2ex+ax-1的导函数为f′(x)=2e2x-2ex+a,由题意可得2e2x-2ex+a=3的解有两个,即有2=,即为ex=+或ex=-,即有7-2a>
0且7-2a<
1,解得3<
a<
.
高频考点 导数的几何意义及其应用
考点分析 导数的几何意义为高考热点内容,考查题型多为选择、填空题,也可能出现在解答题中.常见的命题角度有:
(1)求切线方程;
(2)确定切点坐标;
(3)已知切线问题求参数;
(4)切线的综合应用.
[典例1] (2018·
全国卷Ⅰ)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x
解析 因为函数f(x)是奇函数,所以a-1=0,解得a=1,所以f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.
[典例2] 设函数g(x)=x3+x2+3lnx+b(b∈R),若曲线y=g(x)在x=1处的切线过点(0,-5),则b=( )
解析 g′(x)=3x2+5x+,则g′
(1)=11,又g
(1)=+b,故曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-=11(x-1),由该切线过点(0,-5),得b=.
[典例3] 如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )
A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3x
C.y=x3-xD.y=x3+x2-2x
解析 设所求函数解析式为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),
由题意知
解得∴f(x)=x3-x2-x.
方法指导 1.一个核心要素,求切线方程的核心要素是切点的横坐标x0,因为x0可“一点两代”,代入到原函数,即可得切点的纵坐标f(x0),代入到导函数中可得切线的斜率f′(x0)=k.一点一斜率即可用点斜式写出切线的方程.
2.一个易错点,在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点,“在某点处的切线”意味着该点即为切点,而“过某点的切线”意味着该点有可能是切点,有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考数学理科一轮复习讲义第2章 函数导数及其应用 第10讲 高考 数学 理科 一轮 复习 讲义 函数 导数 及其 应用 10