届广州市高三年级调研测试理科数学答案.docx
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届广州市高三年级调研测试理科数学答案
2018届广州市高三年级调研测试
理科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1•本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2•对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3•解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数.选择题不给中间分.
•选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
B
A
A
D
D
B
A
C
C
.填空题
13.10
14.4
15.4
16.11
三、解答题
17.
(1)解法1:
由已知,得acosBbcosA2ccosA.
由正弦定理,得sinAcosBsinBcosA2sinCeosA,1分
即sin(AB)2sinCcosA.
因为sin(AB)sin(C)sinC,
所以sinC2sinCcosA.
因为sinC0,所以cosA丄
2
因为0A,所以A-.
3
222222
解法2:
由已知根据余弦定理,得aac——2cbbc―—.
2ac2bc
即b2c2a2bc
所以cosA
222
bca
2bc
6分
1分
3分
5分
因为0A
所以A
(2)解法
1:
由余弦定理
a2b2
e22beeosA,
得be
b2
即(b
e)2
因为
be
2
be
=?
2
所以
(b
e)23(be)24.
4(当且仅当
be2时等号成立).
11分
所以
ABC周长
解法
2:
因为
sinA
e的最大值为6
爲爲2R,且a2,A3,
12分
所以
辽sinB
3
SinC.
3
所以
4.3
3
4胚2
sinBsinC2sinBsinB
33
4sin
10分
B乙,
3
故厶ABC周长a
因为
时,a
3
be的最大值为6.
所以当
be取得最大值6.
12分
18.
(1)证明:
连接BD,交AC于点O,
设PC中点为F,
连接OF,EF.
因为O,F分别为AC,
PC的中点,
所以OFPPA,且OF
1
2pa,
因为DEPPA,且de
2pa,
D
C
B
1分
所以OFPDE,且OF
DE.
所以四边形OFED为平行四边形,所以ODPEF,即BDPEF.
因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD•
因为ABCD是菱形,所以BDAC•
因为PAIACA,所以BD平面PAC.4分
因为BDPEF,所以EF平面PAC.5分
因为FE平面PCE,所以平面PAC平面PCE.6分
(2)解法1:
因为直线PC与平面ABCD所成角为45°,
所以PCA45,所以ACPA2.7分
所以ACAB,故△ABC为等边三角形.
设平面CDE的法向量为mx2,y2,z2
所以二面角PCED的余弦值为「
4
解法2:
因为直线PC与平面ABCD所成角为4丘,且PA平面ABCD,
所以PCA4^,所以ACPA2.7分
数学(理科)试题A第3页共10页
因为AB
因为PA
所以OF
BC2,所以ABC为等边三角形.
由
(1)知PA//OF,
平面ABCD,平面ABCD.
OC平面ABCD,所以OFOB且OFOC.
OC.
以点O为原点,OB,OC,OF分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz(如图).
则O(0,0,0),P(0,1,2),C(0,1,0),D(x3,0,0),E(,3,0,1),
令X2
设平面
y2
11分
1,则
设平面
uuu则CP
3,则法向量
m则
m
令y1
则n
n
Z2
0.
1,.3,0.
设二面角P
CE
D的大小为,
由于
为钝角,
则cos
所以二面角
cos.n,m
PCED的余弦值为
12分
解:
(1)由已知数据可得
5,y
5__
因为(Xix)(yiy)
i1
5
(Xix)
i1
(3)2
(1)2021232
25,
(yi
y)
2
02
02
02
2
所以相关系数r
(Xi
i1
x)(yy)
n
i1
(Xi
n
1
(yi
y)
6
2、一5、、2
0.95•
因为r0.75,所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.6分
(2)记商家周总利润为Y元,由条件可知至少需安装1台,最多安装3台光照控制仪.
1安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元.7分
2安装2台光照控制仪的情形:
当X>70时,只有1台光照控制仪运行,此时周总利润Y=3000-1000=2000元,
当30 故Y的分布列为 Y 2000 6000 P 0.2 0.8 所以EY20000.260000.85200元.9分 3安装3台光照控制仪的情形: 当X>70时,只有1台光照控制仪运行,此时周总利润Y=1X3000-2X1000=1000元, 当50WXW70时,有2台光照控制仪运行,此时周总利润Y=2X3000-1X1000=5000元, 当30 故Y的分布列为 Y 1000 5000 9000 P 0.2 0.7 0.1 所以EY10000.250000.790000.14600元.11分 综上可知,为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪.12分 1c1 20.解: (1)因为椭圆C的离心率为一,所以,即a2c. 2a2 2 又a2b2+c2,得b2=3c2,即b2 所以椭圆C的方程为耸 a 把点1,26代人c中, 3 2 所以椭圆C的方程为乂 4 (2)解法1: 设直线 I的斜率为k, 则直线I的方程为ykx+2, y 由xl ~3 kx 2 y 4 2, 得3k24 1, x212kx0. 设AXa°a BXb』b 则有Xa0,xB 12k 2, 3k24 所以 yB 6k28 3k24 所以 12k6k28 3? 43k24 因为 所以 MO yM1 MA,所以M 在线段OA的中垂线上, 因为yMkxM2,所以Xm 设H(Xh,0) 又直线HM垂直l, 所以kMH 即-一 1 kXh 所以xH 又F10,1 所以 UJIT RB 12k 49k: 4 3k24'3k2 ULUU ,RH iuur 因为F1B UUUL F1H0,所以 12k, 3k24 49k2 3k24 10分 解得k2 11分 所以直线 2V6 I的方程为yx2. 3 12分 解法2: 设直线I的斜率为k,则直线I方程ykx+2, 21.解: (1)函数fX的定义域为0, 当b 2时,fx alnx 2 X,所以1 Fa fx 2 c2xa Ov 4Zk 2X. 1分 x x ①当 ta0时,f 『x0, 所以fx 在0, 卜苗]国]茁+苗 上单调递增, 2分 1 1 12 取X0 ea,则f a 1ea c e 0, 3分 1 (或: 因为0Xoa: 0 e aInx0 2 Xo aInx0 aaln】a e 因为 11,所以 fx0gf10,此时函数fx有一个零点. a0时,令f 解得x ②当 时, 上单调递减; 在0, 要使函数fx有一个零点,则 aIn 综上所述,若函数 所以fX在 a0即a2e. 2 上单调递增. x恰有一个零点,则a2e或a0. 1 (2)因为对任意X1,X2-,e,有f捲fx2e2成立, fx min e 因为 f X1 fx2 fX max f Xmin, 所以 f X fX e 2.… max min 因为a b 0,则ab. bb1bxb1 所以 f X blnx X,所以 f X bbxb1 XX 当0 X 1 时,f x0,当 X 1时, fx0, 1 所以函数fx在-,1上单调递减,在1,e上单调递增, e 因为 eb,所以f max max e.9分 设g b fef 1bb ee e 2b b 0, 则g b bb ee 22ebeb 2 0. 所以 gb 在0, 上单调递增,故 g b g00,所以f : e e 从而fx max febeb 10分 所以beb1e2即ebbe10, 设b=ebbe1b0,贝yb=eb1. 当b0时,b0,所以b在0,上单调递增. 又10,所以ebbe10,即为b1,解得b1.11分 因为b0,所以b的取值范围为0,1.12分 xCOS/,, 22.解: (1)因为曲线G的参数方程为(为参数), x2cos, y2sin. y2sin x2x 因为',则曲线C2的参数方程 yy. 所以C2的普通方程为x2y24 所以C2为圆心在原点,半径为2的圆. 所以C2的极坐标方程为24, 因为5、22,所以圆C2与直线l相离. 所以圆C2上的点M到直线l的距离最大值为dr522,最小值为dr522.…10分 23.解: (1)当a1时,f(x)|x1|.1分 1当x1时,原不等式可化为x12x2,解得x1.2分 1 2当1x—时,原不等式可化为x12x2,解得x1,此时原不等式无解.……3分 2 1 3当x时,原不等式可化为x12x,解得x1.4分 2 综上可知,原不等式的解集为xx1或x1.5分 3a,x3, (2)解法1: ①当a3时,gx2xa3,3xa,6分 a3,xa. 所以函数gx的值域Aa3,3a, 因为[2,1]A,所以a32解得a1.7分 3a1, 3a,xa, ②当a3时,gx2xa3,ax3,8分 a3,x3. 所以函数gx的值域A3a,a3, 因为[2,1]A,所以3a2解得a5.9分 a31, 综上可知,a的取值范围是,1U5,.10分 解法2: 因为|x+a||x+3|x+a(x+3)a3,7分 所以gxf(x)|x+3||x+a||x+3|[|a3|,|a3|]. 所以函数g(x)的值域A[|a3|,|a3|].8分 因为[2,1]A,所以|a3|2解得a1或a5. |a3|1, 所以a的取值范围是,1U5,.10分
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- 广州市 三年级 调研 测试 理科 数学 答案