复合函数求导法-教案.doc
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教学内容备注
2.2.2复合函数求导法
教学要求:
理解并熟练掌握复合函数求导法,会用反函数求导数
教学内容:
一、复习提问:
1、导数的基本公式2、导数的四则运算法则
上一节介绍了函数的定义、导数的四则运算法则、基本初等函数求导公式,并能求出了一些简单函数的导数。
但是求常见的初等函数的导数时,往往需要借助于求导法则,本节就将介绍这些求导法则。
二、复合函数的求导法则
1、比如求函数的导数。
错误解答:
正确解答:
对比一下,答案错误的原因是把当成了自变量。
我们先把复合函数进行分解为。
1、求复合函数的导数可分两步:
第一步(关键步骤):
先将复合函数分为若干个简单函数,辨明各函数的中间变量和自变量。
第二步:
逐一分步求导。
复合函数求导法则:
设函数在点处可导,在点处可导,则复合函数在点处可导,且有或
证明设变量有改变量,相应地,变量有改变量,从而有改变量.由于可导,所以
,
即.
现在利用复合函数求导法则求的导数:
,(中间变量为,自变量为),即
(对求导)(对求导)(回代)
如果复合函数的复合层次较多,法则4可以推广到有限多个复合步骤构成的复合函数求导。
推论设函数,,都是可导函数,则复合函数也可导,且或
注意:
表示复合函数对自变量的导数,如=
表示复合函数对中间变量的导数而=
求复合函数的导数时,关键要分清复合函数的复合过程,认清中间变量。
例1设函数,求。
解:
因为是由复合而成的,所以
复合函数求导法步骤:
第一步(关键步骤):
将复合函数写成或分解为简单函数,辨明各步求导中函数与自变量各是什么?
第二步:
再逐层分步求导.
当然熟练以后可以不必写出中间变量U、V,U和V写在心上。
由内到外,层层求导。
例2求函数的导数.
解法1分解成三个简单函数:
,,.
回代
=
应用
.
应用
解法2
应用
.
注:
解法2把中间变量记在心上而没写出来.
例3求函数的导数.
解
应用复合函数求导法则
练习求下列函数的导数
12.3.4.
1解:
对于既有四则运算,又有复合运算的初等函数,则利用相应的求导法则.
应用运算法则
例4求函数的导数.
解
.
例5求函数的导数.
解
求导时,若能对函数先化简,可使求导运算简便
例6求函数的导数“先化简,再求导”
解:
先分母有理化,则
然后求导,得
练习求的导数
三.反函数求导法则
函数的反函数:
。
一般说的是指,写出来就是,即是函数,是自变量;但是对于如果指的是,写出来就是,即是函数,是自变量。
例7设函数,证明:
.
证明因为的反函数在内既单调,又可导,而且.
所以由定理得.特别地,当时,.
例8证明:
,.
证明因为在内严格单调、可导,且,所以其反函数在内严格单调、可导,且有.
同理可得.
练习证明:
.
证明因为在内严格单调、可导,且,所以其反函数在内严格单调、可导,且有.
同理可得.
作业
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