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复合函数求导练习题
复合函数求导练习题
一.选择题(共26小题)
1.设,则f′
(2)=( )
A.B.C.D.
2.设函数f(x)=g(x)+x+lnx,曲线y=g(x)在点(1,g
(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为( )
A.y=4xB.y=4x﹣8C.y=2x+2D.
3.下列式子不正确的是( )
A.(3x2+cosx)′=6x﹣sinxB.(lnx﹣2x)′=ln2
C.(2sin2x)′=2cos2xD.()′=
4.设f(x)=sin2x,则=( )
A.B.C.1D.﹣1
5.函数y=cos(2x+1)的导数是( )
A.y′=sin(2x+1)B.y′=﹣2xsin(2x+1)
C.y′=﹣2sin(2x+1)D.y′=2xsin(2x+1)
6.下列导数运算正确的是( )
A.(x+)′=1+B.(2x)′=x2x﹣1C.(cosx)′=sinxD.(xlnx)′=lnx+1
7.下列式子不正确的是( )
A.(3x2+xcosx)′=6x+cosx﹣xsinxB.(sin2x)′=2cos2x
C.D.
8.已知函数f(x)=e2x+1﹣3x,则f′(0)=( )
A.0B.﹣2C.2e﹣3D.e﹣3
9.函数的导数是( )
A.B.
C.D.
10.已知函数f(x)=sin2x,则f′(x)等于( )
A.cos2xB.﹣cos2xC.sinxcosxD.2cos2x
11.y=esinxcosx(sinx),则y′(0)等于( )
A.0B.1C.﹣1D.2
12.下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.((2x+3)2)′=2(2x+3)D.(e2x)′=e2x
13.若,则函数f(x)可以是( )
A.B.C.D.lnx
14.设,则f2013(x)=( )
A.22012(cos2x﹣sin2x)B.22013(sin2x+cos2x)
C.22012(cos2x+sin2x)D.22013(sin2x+cos2x)
15.设f(x)=cos22x,则=( )
A.2B.C.﹣1D.﹣2
16.函数的导数为( )
A.B.
C.D.
17.函数y=cos(1+x2)的导数是( )
A.2xsin(1+x2)B.﹣sin(1+x2)C.﹣2xsin(1+x2)D.2cos(1+x2)
18.函数y=sin(﹣x)的导数为( )
A.﹣cos(+x)B.cos(﹣x)C.﹣sin(﹣x)D.﹣sin(x+)
19.已知函数f(x)在R上可导,对任意实数x,f'(x)>f(x);若a为任意的正实数,下列式子一定正确的是( )
A.f(a)>eaf(0)B.f(a)>f(0)C.f(a)<f(0)D.f(a)<eaf(0)
20.函数y=sin(2x2+x)导数是( )
A.y′=cos(2x2+x)B.y′=2xsin(2x2+x)
C.y′=(4x+1)cos(2x2+x)D.y′=4cos(2x2+x)
21.函数f(x)=sin2x的导数f′(x)=( )
A.2sinxB.2sin2xC.2cosxD.sin2x
22.函数的导函数是( )
A.f'(x)=2e2xB.
C.D.
23.函数的导数为( )
A.B.
C.D.
24.y=sin(3﹣4x),则y′=( )
A.﹣sin(3﹣4x)B.3﹣cos(﹣4x)C.4cos(3﹣4x)D.﹣4cos(3﹣4x)
25.下列结论正确的是( )
A.若,B.若y=cos5x,则y′=﹣sin5x
C.若y=sinx2,则y′=2xcosx2D.若y=xsin2x,则y′=﹣2xsin2x
26.函数y=的导数是( )
A.B.
C.D.
二.填空题(共4小题)
27.设y=f(x)是可导函数,则y=f()的导数为 .
28.函数y=cos(2x2+x)的导数是 .
29.函数y=ln的导数为 .
30.若函数,则的值为 .
参考答案与试题解析
一.选择题(共26小题)
1.(2015春•拉萨校级期中)设,则f′
(2)=( )
A.B.C.D.
【解答】解:
∵f(x)=ln,令u(x)=,则f(u)=lnu,
∵f′(u)=,u′(x)=•=,
由复合函数的导数公式得:
f′(x)=•=,
∴f′
(2)=.
故选B.
2.(2014•怀远县校级模拟)设函数f(x)=g(x)+x+lnx,曲线y=g(x)在点(1,g
(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为( )
A.y=4xB.y=4x﹣8C.y=2x+2D.
【解答】解:
由已知g′
(1)=2,而,
所以f′
(1)=g′
(1)+1+1=4,即切线斜率为4,
又g
(1)=3,
故f
(1)=g
(1)+1+ln1=4,
故曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y﹣4=4(x﹣1),即y=4x,
故选A.
3.(2014春•永寿县校级期中)下列式子不正确的是( )
A.(3x2+cosx)′=6x﹣sinxB.(lnx﹣2x)′=ln2
C.(2sin2x)′=2cos2xD.()′=
【解答】解:
由复合函数的求导法则
对于选项A,(3x2+cosx)′=6x﹣sinx成立,故A正确
对于选项B,成立,故B正确
对于选项C,(2sin2x)′=4cos2x≠2cos2x,故C不正确
对于选项D,成立,故D正确
故选C
4.(2014春•晋江市校级期中)设f(x)=sin2x,则=( )
A.B.C.1D.﹣1
【解答】解:
因为f(x)=sin2x,所以f′(x)=(2x)′cos2x=2cos2x.
则=2cos(2×)=﹣1.
故选D.
5.(2014秋•阜城县校级月考)函数y=cos(2x+1)的导数是( )
A.y′=sin(2x+1)B.y′=﹣2xsin(2x+1)
C.y′=﹣2sin(2x+1)D.y′=2xsin(2x+1)
【解答】解:
函数的导数y′=﹣sin(2x+1)(2x+1)′=﹣2sin(2x+1),
故选:
C
6.(2014春•福建月考)下列导数运算正确的是( )
A.(x+)′=1+B.(2x)′=x2x﹣1C.(cosx)′=sinxD.(xlnx)′=lnx+1
【解答】解:
根据导数的运算公式可得:
A,(x+)′=1﹣,故A错误.
B,(2x)′=lnx2x,故B错误.
C,(cosx)′=﹣sinx,故C错误.
D.(xlnx)′=lnx+1,正确.
故选:
D
7.(2013春•海曙区校级期末)下列式子不正确的是( )
A.(3x2+xcosx)′=6x+cosx﹣xsinxB.(sin2x)′=2cos2x
C.D.
【解答】解:
因为(3x2+xcosx)′=6x+cosx﹣xsinx,所以选项A正确;
(sin2x)′=2cos2x,所以选项B正确;
,所以C正确;
,所以D不正确.
故选D.
8.(2013春•江西期中)已知函数f(x)=e2x+1﹣3x,则f′(0)=( )
A.0B.﹣2C.2e﹣3D.e﹣3
【解答】解:
∵f′(x)=2e2x+1﹣3,∴f′(0)=2e﹣3.
故选C.
9.(2013春•黔西南州校级月考)函数的导数是( )
A.B.
C.D.
【解答】解:
∵函数,
∴y′=3cos(3x+)×3=,
故选B.
10.(2013春•东莞市校级月考)已知函数f(x)=sin2x,则f′(x)等于( )
A.cos2xB.﹣cos2xC.sinxcosxD.2cos2x
【解答】解:
由f(x)=sin2x,则f′(x)=(sin2x)′=(cos2x)•(2x)′=2cos2x.
所以f′(x)=2cos2x.
故选D.
11.(2013秋•惠农区校级月考)y=esinxcosx(sinx),则y′(0)等于( )
A.0B.1C.﹣1D.2
【解答】解:
∵y=esinxcosx(sinx),
∴y′=(esinx)′cosx(sinx)+esinx(cosx)′(sinx)+esinx(cosx)(sinx)′
=esinxcos2x(sinx)+esinx(﹣sin2x)+esinx(cos2x)
∴y′(0)=0+0+1=1
故选B
12.(2012秋•珠海期末)下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.((2x+3)2)′=2(2x+3)D.(e2x)′=e2x
【解答】解:
因为,所以选项A不正确;
,所以选项B正确;
((2x+3)2)′=2(2x+3)•(2x+3)′=4(2x+3),所以选项C不正确;
(e2x)′=e2x•(2x)′=2e2x,所以选项D不正确.
故选B.
13.(2012秋•朝阳区期末)若,则函数f(x)可以是( )
A.B.C.D.lnx
【解答】解:
;
;
;
.
所以满足的f(x)为.
故选A.
14.(2012秋•庐阳区校级月考)设,则f2013(x)=( )
A.22012(cos2x﹣sin2x)B.22013(sin2x+cos2x)
C.22012(cos2x+sin2x)D.22013(sin2x+cos2x)
【解答】解:
∵f0(x)=sin2x+cos2x,∴f1(x)==2(cos2x﹣sin2x),f2(x)==22(﹣sin2x﹣cos2x),
f3(x)==23(﹣cos2x+sin2x),f4(x)==24(sin2x+cos2x),…
通过以上可以看出:
fn(x)满足以下规律,对任意n∈N,.
∴f2013(x)=f503×4+1(x)=22012f1(x)=22013(cos2x﹣sin2x).
故选:
B.
15.(2011•潜江校级模拟)设f(x)=cos22x,则=( )
A.2B.C.﹣1D.﹣2
【解答】解:
∵f(x)=cos22x=
∴=﹣2sin4x
∴
故选D.
16.(2011秋•平遥县校级期末)函数的导数为( )
A.B.
C.D.
【解答】解:
∵
∴
∴=
故选D
17.(2011春•南湖区校级月考)函数y=cos(1+x2)的导数是( )
A.2xsin(1+x2)B.﹣sin(1+x2)C.﹣2xsin(1+x2)D.2cos(1+x2)
【解答】解:
y′=﹣sin(1+x2)•(1+x2)′=﹣2xsin(1+x2)
故选C
18.(2011春•瑞安市校级月考)函数y=sin(﹣x)的导数为( )
A.﹣cos(+x)B.cos(﹣x)C.﹣sin(﹣x)D.﹣sin(x+)
【解答】解:
∵函数y=sin(﹣x)可看成y=sinu,u=﹣x复合而成且yu′=(sinu)′=cosu,
∴函数y=sin(﹣x)的导数为y′=yu′ux′=﹣cos(﹣x)=﹣sin[﹣(﹣x)]=﹣sin(+x)
故答案选D
19.(2011春•龙港区校级月考)已知函数f(x)在R上可导,对任意实数x,f'(x)>f(x);若a为任意的正实数,下列式子一定正确的是( )
A.f(a)>eaf(0)B.f(a)>f(0)C.f(a)<f(0)D.f(a)<eaf(0)
【解答】解:
∵对任意实数x,f′(x)>f(x),
令f(x)=﹣1,则f′(x)=0,满足题意
显然选项A成立
故选A.
20.(2010•永州校级模拟)函数y=sin(2x2+x)导数是( )
A.y′=cos(2x2+x)B.y′=2xsin(2x2+x)
C.y′=(4x+1)cos(2x2+x)D.y′=4cos(2x2+x)
【解答】解:
设y=sinu,u=2x2+x,
则y′=cosu,u′=4x+1,
∴y′=(4x+1)cosu=(4x+1)cos(2x2+x),
故选C.
21.(2010•祁阳县校级模拟)函数f(x)=sin2x的导数f′(x)=( )
A.2sinxB.2sin2xC.2cosxD.sin2x
【解答】解:
将y=sin2x写成,
y=u2,u=sinx的形式.
对外函数求导为y′=2u,
对内函数求导为u′=cosx,
故可以得到y=sin2x的导数为
y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x
故选D
22.(2010春•朝阳区期末)函数的导函数是( )
A.f'(x)=2e2xB.
C.D.
【解答】解:
对于函数,
对其求导可得:
f′(x)===;
故选C.
23.(2009春•房山区期中)函数的导数为( )
A.B.
C.D.
【解答】解:
令y=3sint,t=2x﹣,则y′=(3sint)′•(2x﹣)′=3cos(2x﹣)•2=,
故选A.
24.(2009春•瑞安市校级期中)y=sin(3﹣4x),则y′=( )
A.﹣sin(3﹣4x)B.3﹣cos(﹣4x)C.4cos(3﹣4x)D.﹣4cos(3﹣4x)
【解答】解:
由于y=sin(3﹣4x),
则y′=cos(3﹣4x)×(3﹣4x)′=﹣4cos(3﹣4x)
故选D
25.(2006春•珠海期末)下列结论正确的是( )
A.若,B.若y=cos5x,则y′=﹣sin5x
C.若y=sinx2,则y′=2xcosx2D.若y=xsin2x,则y′=﹣2xsin2x
【解答】解:
函数的导数为,,∴A错误
函数y=cos5x的导数为:
y′=﹣5sin5x,∴B错误
函数y=sinx2的导数为:
y′=2xcosx,,∴C正确
函数y=xsin2x的导数为:
y′=sin2x+2xcos2x,∴D错误
故选C
26.函数y=的导数是( )
A.B.
C.D.
【解答】解:
由复合函数的求导法则可得,•[ln(x2+1)]′ln2
=(1+x2)′ln2
=•ln2
故选A
二.填空题(共4小题)
27.(2013春•巨野县校级期中)设y=f(x)是可导函数,则y=f()的导数为 y′=f′() .
【解答】解:
设y=f(u),u=,
则y′=f'(u),u′=,
∴y′=f′()
故答案为:
y′=f′().
28.(2013春•吴兴区校级月考)函数y=cos(2x2+x)的导数是 ﹣(4x+1)sin(2x2+x) .
【解答】解:
y′=﹣(4x+1)sin(2x2+x),
故答案为﹣(4x+1)sin(2x2+x).
29.(2012•洞口县校级模拟)函数y=ln的导数为 .
【解答】解:
y′=()′=•()′=•.
=•=
故答案为:
30.(2009春•雁塔区校级期中)若函数,则的值为 .
【解答】解:
由
故
=
故答案为:
.
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