高中数学必修五解三角形专题.docx
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解三角形
【知识要点】
1.正弦定理:
===2R(2R为△ABC外接圆的直径).
变形:
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.
sinA=,sinB=,sinC=.
2.余弦定理:
a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.
推论:
cosA=,cosB=,cosC=.
3.三角形面积公式:
4.三角形中的常用结论
(1)三角形内角和定理:
A+B+C=π,
(2)A>B>C⇔a>b>c⇔sinA>sinB>sinC.
5.仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线__________的角叫仰角,在水平线______的角叫俯角(如图①).
6.方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
7.方向角
相对于某一方向的水平角(如图③).
图③
(1)北偏东α°:
指北方向向东旋转α°到达目标方向.
(2)东北方向:
指北偏东45°或东偏北45°.
(3)其他方向角类似.
一、选择题:
1.在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c等于( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,b=,c=3,B=300,则a等于()
A.B.12C.或2D.2
3.已知△ABC的周长为9,且,则cosC的值为 ()
A. B.C. D.
4.在△ABC中,bcosA=acosB,则三角形为()
A.直角三角形B.锐角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
5.在中,已知,则为()
A.30B.45C.60D.120
6.△ABC中,,,,则最短边的边长等于()ABCD
7.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()
A90°B120°C135°D150°
8.△ABC中,,则△ABC一定是()
A直角三角形B钝角三角形
C等腰三角形D等边三角形
9.△ABC中,,,,则等于()
ABC或D或
10.在△ABC中,a2=b2+c2+bc,则A等于()
A.60°B.45°C.120D.30°
11.在△ABC中,a=2,A=30°,C=45°,则△ABC的面积S△ABC等于()
A.B.2C.+1D.(+1)
12.已知△ABC的三边长,则△ABC的面积为()
A. B. C. D.
13.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列,它们的对角分别是A、B、C,则sinAsinC等于()
A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B
14.△ABC中,若c=,则角C的度数是()
A.60° B.120° C.60°或120° D.45°
15.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为()
A.B.C.D.
二、填空题
1.已知在△ABC中,a=10,b=5,A=45°,则B=.
2.在△ABC中,a=1,b=1,C=120°则c=.
3.在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC为;若a2=b2+c2,则△ABC为;若a2<b2+c2且b2<a2+c2且c2<a2+b2,则△ABC为.
4.在△ABC中,sinA=2cosBsinC,则三角形为
5.在中,角的对边分别是,若成等差数列,的面积为,则____.
6.在△ABC中,B=,C=3,B=30°,则A=
7.在△ABC中,a+b=12,A=60°,B=45°,则a=,b=
8.在等腰三角形ABC中,已知sinA∶sinB=1∶2,底边BC=10,则△ABC的周长是。
9.在△ABC中,已知,,,则边长。
10.在△ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.
三、解答题
1.已知在△ABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a、b和B.
2.已知△ABC的三边长a=3,b=4,c=,求三角形的最大内角.
3.已知在△ABC中,∠A=45°,a=2,c=,解此三角形.
4.已知△ABC的面积,解此三角形.
5.在△ABC中,a=,b=2,c=+1,求A、B、C及S△.
6.在锐角三角形中,边a、b是方程x2-2x+2=0的两根,角A、B满足:
2sin(A+B)-=0,求角C的度数,边c的长度及△ABC的面积。
7.如图1,甲船在A处,乙船在A处的南偏东45°方向,距A有9海里并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向航行,若甲船以28海里/时的速度航行,应沿什么方向,用多少小时能尽快追上乙船?
图1
A
B
C
北
45°
15°
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