高中数学必修五解三角形测试题及答案.docx
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高中数学必修五解三角形测试题及答案
(数学5必修)第一章:
解三角形
[基础训练A组]
一、选择题
1.在△中,若C
900,a
6,B
300,则c
b等于()
A.1B.1C.23D.23
2.若A为△的内角,则下列函数中一定取正值的是()
A.sinA
B.
cosA
C.
tanA
D.1tanA
3.在△中,角
A,B均为锐角,且
cosA
sinB,则△的形状是()
A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
4.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为
600,则底边长为()
A.2B.3
2
C.3D.23
5.在△ABC中,若b2asinB,则A等于()
A.300或600
B.450或600
C.1200或600
D.300或1500
6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()
A.900
二、填空题
B.1200
C.1350
D.1500
1.在Rt△中,C
900,则
sinAsinB的最大值是。
2.在△中,若a2
b2bc
c2,则A。
3.在△中,若b
2,B
300,C
1350,则a。
4.在△中,若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13,则C。
5.在△中,AB
三、解答题
62,C
300,则ACBC的最大值是。
1.在△中,若
acosA
bcosB
ccosC,则△的形状是什么?
2.在△中,求证:
a
b
bc(cosBab
cosA)a
3.在锐角△中,求证:
sinA
sinB
sinC
cosA
cosB
cosC。
4.在△中,设ac
2b,AC
求sinB的值。
3
(数学5必修)第一章:
解三角形
[综合训练B组]
一、选择题
1.在△中,
A:
B:
C
1:
2:
3,则
a:
b:
c等于()
A.1:
2:
3B.3:
2:
1C.1:
3:
2D.2:
3:
1
2.在△中,若角B为钝角,则sinBsinA的值()
A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定
3.在△中,若
A2B,则a等于()
A.2bsinA
B.
2bcosA
C.
2bsinB
D.2bcosB
4.在△中,若
lgsinA
lgcosB
lgsinC
lg2,则△的形状是()
A.直角三角形B.等边三角形C.不能确定D.等腰三角形
5.在△中,若(a
b
c)(b
c
a)
3bc,则A()
A.900B.
6.在△中,若a
1
600
7,b
1
C.1350
8,cosC
1
D.1500
13
,则最大角的余弦是()
14
1
A.B.C.D.
5678
7.在△中,若tan
ABab
2ab
,则△的形状是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
二、填空题
1.若在△中,
A60,b
1,S
0
ABC
3,则
sin
ab
AsinB
c。
sinC
2.若
A,B是锐角三角形的两内角,则
tanAtanB1(填>或<)。
3.在△中,若
sinA
2cosBcosC,则tanB
tanC。
4.在△中,若a
9,b
10,c
12,则△的形状是。
5.在△中,若a
3,b
2,c
62则A。
2
6.在锐角△中,若a
2,b
3,则边长c的取值范围是。
三、解答题
1.在△中,A
0
120,cb,a
21,S
ABC
3,求b,c。
2.在锐角△中,求证:
tanA
tanB
tanC1。
3.在△中,求证:
sinA
sinB
sinC
4
cosAcosBcosC。
222
4.在△中,若AB
1200,则求证:
a
bc
b1。
ac
5.在△中,若
acos2Cccos2A3b,则求证:
ac2b
222
(数学5必修)第一章:
解三角形
[提高训练C组]
一、选择题
1.A为△的内角,则
sinAcosA的取值范围是()
A.(
2,2)
B.
(
2,2)
C.(1,2]
D.[
2,2]
2.在△中,若C
900,则三边的比
ab等于()
c
A.2cosAB
2
B.
2cosAB
2
C.
2sinAB
2
D.
2sinAB
2
3.在△中,若a
7,b
3,c
8,则其面积等于()
A.12B.
21C.28D.63
2
4.在△中,
C900,00
A450,则下列各式中正确的是()
A.sinA
cosAB.sinB
cosAC.sinA
cosBD.sinB
cosB
5.在△中,若(a
c)(ac)
b(b
c),则A()
A.900
B.600
C.1200
D.1500
tanAa2
6.在△中,若2
,则△的形状是()
tanBb
A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形
二、填空题
1.在△中,若
sinA
sin
B,则A一定大于B,对吗?
填(对或错)
2.在△中,若
cos2A
cos2B
cos2C
1,则△的形状是。
3.在△中,∠C是钝角,设x
sinC,y
sinA
sin
B,z
cosA
cosB,
则x,y,z的大小关系是。
4.在△中,若ac
2b,则
cosA
cosC
cosAcosC
1
sin
3
AsinC。
5.在△中,若
2
lgtanB
lgtanA
lgtanC,则B的取值范围是。
6.在△中,若b2
ac,则
cos(AC)
cosB
cos2B的值是。
三、解答题
1.在△中,若
(a2
b2)sin(AB)
(a2
b2)sin(A
B),请判断三角形的形状。
2.如果△内接于半径为R的圆,且
2R(sin2A
sin2C)
(2a
b)sinB,
求△的面积的最大值。
3.已知△的三边ab
c且ac
2b,AC
,求a:
b:
c
2
4.在△中,若(abc)(abc)3ac,且tanA
tanC
3
3,AB边上的高为
43,求角
A,B,C的大小与边
a,b,c的长
(数学5必修)第一章[基础训练A组]
一、选择题
1btan300,batan300
a
23,c2b
44,cb23
20A,sinA0
3cosA
4作出图形
sin(
2
A)
sinB,2
A,B都是锐角,则
2
AB,AB,C
22
5b2asinB,sinB
2sin
Asin
B,sinA
1,A
2
0
0
30或150
5282721
6设中间角为,则
二、填空题
1
cos,600,1800
2582
11
600
1200为所求
1.sin
2
AsinB
sin
AcosA
sin2A
22
b2c2a21
2.1200cosAA,1020
2bc2
3.6
2A150,ab,a
bsinA
4sinA
4sin150462
sinA
sinB
sinB4
4.1200
a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13,
令a7k,b
8k,c
13k
cosC
a2b2c22ab
1,C
2
1200
ACBCABACBCAB
5.4,,
ACBC
sinBsinAsinCsinBsinAsinC
2(62)(sinA
sinB)4(62)sin
ABcosAB22
三、解答题
4cosAB2
4,(ACBC)max4
1.解:
acosAbcosBccosC,sin
AcosA
sin
BcosB
sinCcosC
sin2A
sin2B
sin2C,2sin(
AB)cos(
AB)2sin
CcosC
cos(AB)cos(AB),2cosAcosB0
cosA
0或cosB
0,得A或B
22
所以△是直角三角形。
2.证明:
将
cosB
a2c2
2ac
b2
,cosA
b2c2
2bc
a2
代入右边
22222222
得右边
c(acbbca)2a2b
2abc
2abc
2ab
a2b2
ab
左边,
abba
∴abc(ba
cosBb
cosA)a
3.证明:
∵△是锐角三角形,∴
AB,即22
A
B0
2
∴sinA
sin(2
B
,即)
sinA
coBs;同理sinB
coCs;sinC
coAs
∴sinA
sinB
sinC
cosA
cosB
cosC
4.解:
∵ac
2b,∴sinA
sinC
2sinB,即2sin
A
CcosAC
4sin
BcosB,
2222
∴sinB
1cosAC
3B
,而0
B13
∴cos,
22242224
∴sinB
2sin
B
B
cos2
31339
22448
参考答案(数学5必修)第一章[综合训练B组]
一、选择题
1A,B,C
a:
b:
c
sin
A:
sin
B:
sinC
1:
3:
2
1:
3:
2
632222
2AB
AB,且A,
B都是锐角,sinA
sin(
B)
sinB
3sinA
sin2B
2sin
BcosB,a
2bcosB
4lg
sinA
lg2,
sinA
2,sinA
2cosBsinC
cosBsinCcosBsinC
sin(BC)2cosBsinC,sin
BcosC
cosBsinC0,
sin(BC)0,BC,等腰三角形
5(abc)(bca)3bc,(bc)2a2
3bc,
b2c2
a23bc,coAs
b2c2a2
2bc
1A,600
2
6c2
a2b22
acbosC
9,c,3B为最大角,
cosB1
7
2cosABsinAB
7tanABab
sinA
sinB
22,
2ab
sinA
sinB
2sin
ABcosAB22
tanAB2
tanAB2
tanAB2
tanAB2
0,或tanAB1
2
所以AB或AB
2
二、填空题
239
1.
3
SABC
113
bcsinAc
222
3c,
a42,
a13,13
sinA
abca
siBnsCinsAin
13239
33
2
sin(B)
2.AB
AB,即
tanA
tan(B)2
cosBsinB
22
1
,tanA
taBn
1
tanB
2cos(B)2
taAntBan1
3.2
tanB
taCn
sinB
cosB
siCn
coCs
sinB
coCscBossCin
BsinC()
A2sin
cosB
coCs
1sinA2
sAin
4.锐角三角形C为最大角,cosC0C,为锐角
5.600
cosA
b2c2a22
843
4
3311
2bc
226222(31)2
2
a2b2
c213c2
6.(5,13)
a2c2
b2,4
c29,5
c213,5c13
c2b2
a2c
294
三、解答题
1
1.解:
SABC
bcsinA
2
3,bc4,
222
abc2
bcos
A,bc,5而cb
所以b1,c4
2.证明:
∵△是锐角三角形,∴
AB,即22
A
B0
2
∴sinA
sin(2
B
,即)
sinA
coBs;同理sinB
coCs;sinC
coAs
∴sinAsinBsinC
cosAcosBcosC,
sinAsinBsinC1
∴tanA
tanB
tanC1
cosAcosBcosC
3.证明:
∵sinA
sinB
sinC
2sin
ABcosAB22
sin(AB)
ABABABAB
2sincos2sincos2222
ABABAB
2sin(coscos)222
C
s
2c
A
os
B
c
2
A
s
2
cB
os
2
C
cos
2
2
2
2coos
4co
∴sinAsinBsinC4cosAcosBcosC
2
aba2
4.证明:
要证1,只要证
22
acb2bc
21,
bcacabbcacc
即a2
b2c2ab
而∵AB
1200,∴C
600
2
cosC
a2b2
2ab
c,a2b2c2
2abcos600ab
∴原式成立。
5.证明:
∵acos2C
ccos2A3b
∴sinA
222
1coCssiCn1coAs3Bsin222
即sinA
siAncCossCin
Csin
AcosB
∴sinA
siCnsiAn(C
)3Bs
即sinAsiCn2sBi,n∴ac2b
参考答案(数学5必修)第一章[提高训练C组]
一、选择题
1sinA
coAs2sAin(),4
而0A,A
52sin(A)1
44424
2abc
sinA
sinC
sinB
sinA
siBn
ABABAB
2sincos2cos
222
3cosA
1,A
600,S
ABC
1bcsinA63
22
4AB
900则sinA
cosB,sinB
cosA,00
A450,
sinA
coAs,450
B900,sinB
cosB
5a2c2
b2b,cb2
c2a2
cbocs1
A
2
A1200
sinAcoBs2siAncBosAsin
62,,siAncoAssBin
Bcos
cosAsiBnsiBncAosBsin
sin
A2sinB2
A,2
或B2
A2B2
二、填空题
ab
1.对
sinA
sinB,则
2R2R
1
abAB
2
2.直角三角形
(1cosA21coBs2)cAosB()1,
2
1(cos2A
2
cos2B)cos2(AB)0,
cos(AB)cos(
AB)cos2(AB)0
cosAcosBcosC0
3.xyz
AB,A2
B,siAncBos,Bsin
2
Aycosz,
cab,sinC
sinA
siBnx,
yx,yz
4.1sinA
ACACACAC
2sincos4sincos2222
siCn2sBin
cosAC2cosAC,cosAcosC3sinAsinC
222222
12A2C
则sinAsinC4sinsin
322
cosA
cosC
cosAcosC
1
sin
3
AsinC
(1cosA)(1cosC)14sin2
Asin2C
22
2sin2A2sin2C4sin2Asin2C11
2222
2tanA
tanC
5.[,)
32
tanB
tan
AtanC,tanB
tanA
tan(AC)
taCn
tan
AtanC1
tanB
taAn(C
)tan2B1
tan3B
tanB
tanA
tanC
2
tanAtanC
2tanB
tan3B
3tan
B,tanB
0tanB3B
3
2
6.1b
2
ac,sinB
sin
AsinC,
cosA(C)
cosB
co2sB
cosAcosC
sin
AsinC
cosB
12sin2B
cosAcosCcosAcosC
sinAsinCsinAsinC
cosBcosB
12sin1
AsinC
cos(AC)cosB11
三、解答题
a2b2
sin(AB)a2sinAcosBsin2A
1.解:
22
22
ab
cosB
sin(AB)bcosAsinBsinB
siAn
cosA
sinA2siBn2AsiBn
2B或22AB2
∴等腰或直角三角形
2.解:
2RsinA
sinA
2RsinC
sinC
(2ab)sinB,
asin
AcsinC
(2ab)sin
B,a2c2
2abb2,
222
abc
2ab,cosC
a2b2c2
2ab
2,C450
2
csinC
2R,c2RsinC
2R,a2b22R2
2R2
2ab,
2R2
2aba2b2
2ab,ab
22
1222R2
SabsinCab,24422
Smax
21R2
2
另法:
S
1absinC2ab22RsinA
2RsinB
244
22RsinA4
2RsinB
2R2sinAsinB
2R21
2
[cos(AB)cos(AB)]
2
2R1[cos(AB)2]
22
2
2R(12)
22
S21R2
此时AB取得等号
3.解:
sin
max
A
2
sinC
2sin
B,2sin
ACcosAC22
4sin
ACcosAC22
sinB
1cosAC
2,cosB
14,sinB
2sin
BcosB7
222424224
AC,ACB,A3
B,CB
24242
sinA
sin(3B)sin3cosBcos3sinB71
4444
sinC
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