高中必修5解三角形单元测试题.doc
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高中必修5解三角形单元测试题.doc
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解三角形单元测试题
一、选择题
1.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地的距离为().
A.10km B.10km C.10km D.10km
2.在△ABC中,若==,则△ABC是().
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.三角形三边长为a,b,c,且满足关系式(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则c边的对角等于().
A.15° B.45° C.60° D.120°
4.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a∶b∶c=1∶∶2,则sinA∶sinB∶sinC=().
A.∶2∶1 B.2∶∶1 C.1∶2∶ D.1∶∶2
5.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则().
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形
6.在△ABC中,a=2,b=2,∠B=45°,则∠A为().
A.30°或150° B.60° C.60°或120° D.30°
7.在△ABC中,关于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1-x2)sinC=0有两个不等的实根,则A为().
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不存在
8.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为().
A. B. C. D.3
9.在△ABC中,=c2,sinA·sinB=,则△ABC一定是().
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
10.根据下列条件解三角形:
①∠B=30°,a=14,b=7;②∠B=60°,a=10,b=9.那么,下面判断正确的是().
A.①只有一解,②也只有一解. B.①有两解,②也有两解.
C.①有两解,②只有一解. D.①只有一解,②有两解.
二、填空题
11.在△ABC中,a,b分别是∠A和∠B所对的边,若a=,b=1,∠B=30°,则∠A的值是 .
12.在△ABC中,已知sinBsinC=cos2,则此三角形是__________三角形.
13.已知a,b,c是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,S是△ABC的面积.若a=4,
b=5,S=5,求c的长度.
14.△ABC中,a+b=10,而cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根,求△ABC周长的最小值.
15.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足sinA∶sinB∶sinC=2∶5∶6.若△ABC的面积为,则△ABC的周长为________________.
16.在△ABC中,∠A最大,∠C最小,且∠A=2∠C,a+c=2b,求此三角形三边之比为.
三、解答题
17.在△ABC中,已知∠A=30°,a,b分别为∠A,∠B的对边,且a=4=b,解此三角形.
(第18题)
18.如图所示,在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米后到达点B,又从点B测得斜度为45°,建筑物的高CD为50米.求此山对于地平面的倾斜角q.
19.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若bcosC=(2a-c)cosB,
(Ⅰ)求∠B的大小;
(Ⅱ)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
20.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证:
=.
参考答案
一、选择题
1.D
解析:
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC
=102+202-2×10×20cos120°
=700.
AC=10.
2.B
解析:
由==及正弦定理,得==,由2倍角的正弦公式得==,∠A=∠B=∠C.
3.C
解析:
由(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
得a2+b2-c2=ab.
∴cosC==.
故C=60°.
4.D
解析:
由正弦定理可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=1∶∶2.
5.D
解析:
△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形.
若△A2B2C2不是钝角三角形,由,得,
那么,A2+B2+C2=-(A1+B1+C1)=,与A2+B2+C2=π矛盾.
所以△A2B2C2是钝角三角形.
6.C
解析:
由=,得sinA===,
而b<a,
∴有两解,即∠A=60°或∠A=120°.
7.A
解析:
由方程可得(sinA-sinC)x2+2xsinB+sinA+sinC=0.
∵方程有两个不等的实根,
∴4sin2B-4(sin2A-sin2C)>0.
由正弦定理==,代入不等式中得b2-a2+c2>0,
再由余弦定理,有2accosA=b2+c2-a2>0.
∴0<∠A<90°.
8.B
解析:
由余弦定理得cosA=,从而sinA=,则AC边上的高BD=.
9.A
解析:
由=c2a3+b3-c3=(a+b-c)c2a3+b3-c2(a+b)=0
(a+b)(a2+b2-ab-c2)=0.
∵a+b>0,
∴a2+b2-c2-ab=0.
(1)
由余弦定理
(1)式可化为
a2+b2-(a2+b2-2abcosC)-ab=0,
得cosC=,∠C=60°.
由正弦定理==,得sinA=,sinB=,
∴sinA·sinB==,
∴=1,ab=c2.将ab=c2代入
(1)式得,a2+b2-2ab=0,即(a-b)2=0,a=b.
△ABC是等边三角形.
10.D
解析:
由正弦定理得sinA=,①中sinA=1,②中sinA=.分析后可知①有一解,∠A=90°;②有两解,∠A可为锐角或钝角.
二、填空题
11.60°或120°.
解析:
由正弦定理=计算可得sinA=,∠A=60°或120°.
12.等腰.
解析:
由已知得2sinBsinC=1+cosA=1-cos(B+C),
即2sinBsinC=1-(cosBcosC-sinBsinC),
∴cos(B-C)=1,得∠B=∠C,
∴此三角形是等腰三角形.
13.或.
解:
∵S=absinC,∴sinC=,于是∠C=60°或∠C=120°.
又c2=a2+b2-2abcosC,
当∠C=60°时,c2=a2+b2-ab,c=;
当∠C=120°时,c2=a2+b2+ab,c=.
∴c的长度为或.
14.10+5.
解析:
由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC,然后运用函数思想加以处理.
∵2x2-3x-2=0,
∴x1=2,x2=-.
又cosC是方程2x2-3x-2=0的一个根,
∴cosC=-.
由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·(-)=(a+b)2-ab,
则c2=100-a(10-a)=(a-5)2+75,
当a=5时,c最小,且c==5,
此时a+b+c=5+5+5=10+5,
∴△ABC周长的最小值为10+5.
15.13.
解析:
由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC=2∶5∶6,可得a∶b∶c=2∶5∶6,于是可设a=2k,b=5k,c=6k(k>0),由余弦定理可得
cosB===,
∴sinB==.
由面积公式S△ABC=acsinB,得
·(2k)·(6k)·=,
∴k=1,△ABC的周长为2k+5k+6k=13k=13.
本题也可由三角形面积(海伦公式)得=,
即k2=,∴k=1.
∴a+b+c=13k=13.
16.6∶5∶4.
解析:
本例主要考查正、余弦定理的综合应用.
由正弦定理得===2cosC,即cosC=,
由余弦定理cosC==.
∵a+c=2b,
∴cosC==,
∴=.
整理得2a2-5ac+3c2=0.
解得a=c或a=c.
∵∠A=2∠C,∴a=c不成立,a=c
∴b===,
∴a∶b∶c=c∶∶c=6∶5∶4.
故此三角形三边之比为6∶5∶4.
三、解答题
17.b=4,c=8,∠C=90°,∠B=60°或b=4,c=4,∠C=30°,∠B=120°.
解:
由正弦定理知==sinB=,b=4.
∠B=60°或∠B=120°∠C=90°或∠C=30°c=8或c=4.
(第18题)
18.分析:
设山对于地平面的倾斜角∠EAD=q,这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC;再在△BCD中,利用正弦定理得到关于q的三角函数等式,进而解出q角.
解:
在△ABC中,∠BAC=15°,AB=100米,
∠ACB=45°-15°=30°.
根据正弦定理有=,
∴BC=.
又在△BCD中,∵CD=50,BC=,∠CBD=45°,∠CDB=90°+q,
根据正弦定理有=.
解得cosq=-1,∴q≈42.94°.
∴山对于地平面的倾斜角约为42.94°.
19.解:
(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosB-cosBsinC,
∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C).
又在三角形ABC中,sin(B+C)=sinA≠0,
∴2sinAcosB=sinA,即cosB=,B=.
(Ⅱ)∵b2=7=a2+c2-2accosB,∴7=a2+c2-ac,
又(a+c)2=16=a2+c2+2ac,∴ac=3,∴S△ABC=acsinB,
即S△ABC=·3·=.
20.分析:
由于所证明的是三角形的边角关系,很自然联想到应用正余弦定理.
解:
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB得
a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB,
∴2(a2-b2)=-2bccosA+2accosB,
=.
由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
∴=
=
=.
故命题成立.
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