函数的单调性与求函数的最值.doc
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函数的单调性与最值
复习:
按照列表、描点、连线等步骤画出函数的图像.
图像在轴的右侧部分是上升的,当在区间[0,+)上取值时,随着的增大,相应的值也随着增大,如果取∈[0,+),得到,,那么当<时,有<.这时就说函数=在[0,+)上是增函数.
图像在轴的左侧部分是下降的,当在区间[0,+)上取值时,随着的增大,相应的值反而随着减小,如果取∈[0,+),得到,,那么当<时,有。
这时就说函数=在[0,+)上是减函数.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象
描述
在单调区间上增函数的图象是上升的
在单调区间上减函数的图象是下降的
(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做f(x)的单调区间.
注意:
(1)函数的单调性也叫函数的增减性;
(2)注意区间上所取两点x1,x2的任意性;
(3)函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。
(4)若函数在其定义内的两个区间、上都是单调增(减)函数,一般不能认简单地认为在区间上是增(减)函数.例如在区间上是减函数,在区间上也是减函数,但不能说它在定义域上是减函数.
(3)用定义法判断函数的单调性:
①定义域取值;任取x1,x2∈D,且x1 ②作差;作差f(x1)-f(x2); ③变形;通常是因式分解和配方; ④定符号;即判断差f(x1)-f(x2)的正负 ⑤下结论.指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性 例1证明函数在(0,+)上是减函数. 证明: 设,是(0,+)上的任意两个实数,且<, 则-=-=, 由,∈(0,+),得>0, 又由<,得->0,于是->0,即> ∴在(0,+)上是减函数. 练习: 讨论函数在[-1,0]的单调性. 在[-1,0]上任取x1,x2且x1 则, 从而-== ∵∴另外,恒有 ∵-1≤x1 ∴在[-1,0]上f(x)为增函数 2.基本函数的单调性 例: 讨论函数在(-2,2)内的单调性. 解: ∵,对称轴 ∴若,则在(-2,2)内是增函数; 若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若,则在(-2,2)内是减函数. 3.判断函数的单调性的常见结论 ①设任意x1,x2∈[a,b],且x1<x2,那么 ⇔f(x)在[a,b]上是增函数; ⇔f(x)在[a,b]上是减函数. ②设任意x1,x2∈[a,b],那么 ⇔f(x)在[a,b]上是增函数; ⇔f(x)在[a,b]上是减函数. ③(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数; (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数. 【梳理·总结】 (1)函数与的单调性相反; (2)当函数恒为正或恒有负时,与函数的单调性相反; (3)函数与函数(为常数)的单调性相同; (4)当(为常数)时,与的单调性相同;当(为常数)时,与的单调性相反; (5)函数、都是增(减)函数,则仍是增(减)函数; (6)若且与都是增(减)函数,则也是增(减)函数;若且与都是增(减)函数,则也是减(增)函数; (7)设,若在定义域上是增函数,则、、都是增函数. 例: 求函数y=的单调区间. 4.关于分段函数的单调性 (1)若函数,在区间上是增函数,在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在区间上一定是增函数,需补充条件: (2)若函数,在区间上是减函数,在区间上是减函数,则在区间上不一定是减函数,若使得在区间上一定是减函数,需补充条件: 例: 已知函数若对任意x1,x2,都有成立,则实数a的取值范围是( ) A.(0,]B.(0,1)C.[,1)D.(0,3) 5.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 . ①对于任意x∈I,都有f(x)≤M; ①对于任意x∈I,都有f(x)≥M; ②存在x0∈I,使得f(x0)=M ②存在x0∈I,使得f(x0)=M. 结论 M为最大值,记作 M为最小值,记作 例: f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为__________;f(x)max=________. 6.利用函数的单调性求最值 例题: 已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f (1)=-. (1)求证: f(x)在R上是减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. (1)证明: 令,则;再令,则应有,从而在上任取,则. 又时,,从而,即, 由定义可知函数在上的减函数. (2)函数是上的减函数,在区间上也是减函数.从而可知在区间上,最大,最小. 即在上的最大值为2,最小值为-2. 练习: 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x)-f(y).,且当x>1时,f(x)<0. (1)求f (1)的值; (2)判断f(x)的单调性; (3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2. (1)f (1)=f(1/1)=f (1)-f (1)=0。 (2)当0 故f单调减。 (3)f(3)=-1,f(3)=f(9/3)=f(9)-f(3),f(9)=-2而f(|x|)<-2=f(9),且f(x)单调减,所以|x|>9,x>9或x<-9 7.导数与函数的单调性 (1)导数的几何意义: 函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点P处的切线的斜率是,切线方程为 (2)函数的导数与函数的单调性的关系: 设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内>0,那么函数y=f(x)在这个区间内为增函数;如果在这个区间内<0,那么函数y=f(x)在这个区间内为减函数。 (3)几种常见函数的导数 ①;②;③;④ (4)导数的运算法则 ①.②.③. 8.求可导函数的单调区间的一般步骤和方法: ①确定函数的定义域; ②计算导数, ③令,解此不等式,求出递增区间; 令<0,解此不等式,求出递增区间; 例: 函数是减函数的区间为() (A)(B)(C)(D) 答案: D 解析: 练习: (1)函数的单调减区间是__________. 答案: 解析: 首先考虑定义域及知, (2)求函数的单调区间,并绘出图像。 解: 函数定义域为 令,得或. ∴函数的单调递增区间为和; 令,得且, ∴函数的单调递减区间是和. 基础练习: 1.在区间上为增函数的是 () A. B. C. D. 答案: B提示: A为常函数,C在上是增函数,在上是减函数,而D在区间上为减函数. 2.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 () A.y=2x+1 B.y=3x2+1 C.y= D.y=2x2+x+1 答案: C 3.函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数,则f (1)等于 () A.-7 B.1 C.17 D.25 答案: D 4.已知在区间上是增函数,则的范围是() A.B.C.D. 答案: B提示: 对称轴. 5.函数的递增区间依次是 ()A. B. C. D. 答案: D 6.函数在和都是增函数,若,且那么() A. B. C. D.无法确定 答案: D 7.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+5)的递增区间是 () A.(3,8) B.(-7,-2) C.(-2,3) D.(0,5) 答案: B 8.已知函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内() A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有唯一的实根 答案: A 9.已知函数若对任意x1,x2,都有成立,则实数a的取值范围是( ) A.B.C.D.(1,2) 答案: C 10.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题: ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0; ③>0; ④<0. 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.(填序号) 11.函数的递减区间是 答案: (-¥,-3)提示: 借助复合函数的单调性加以判断. 12.已知函数y=f(x)在R上是减函数,A(0,-2)、B(-3,2)在其图象上,则不等式-2 综合练习: 1.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图像上的两点,那么不等式|f(x+1)|<1的解集的补集是 () A.(-1,2) B.(1,4) C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1)∪[2,+∞) 2.已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f (1)的实数x的取值范围是( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 3.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 解析: f(x)=由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2 4.已知在实数集上是减函数,若,则下列正确的是() A. B. C. D. 答案: D提示: 且在实数集上是减函数,从而知,从而选D. 5.f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f()=f(x)-f(y). (1)求f (1)的值; (2)若f (2)=1,解不等式f(x+3)-f()<2. 【解】 (1)令,从而得f (1)=; (2)∵,. 因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数, 所以原不等式f(x+3)-()<f(4) 解得. 从而原不等式的解集为 6.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1. (1)求证: f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3. (1)设x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0. ∴f(x2)>f(x1).即f(x)是R上的增函数. (2)∵f(4)=f(2+2)=f (2)+f (2)-1=5,∴f (2)=3,∴原不等式可化为f()<f (2), ∵f(x)是R上的增函数, ∴<2,解: .
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- 函数 调性