高考数学理科一轮复习基本不等式及其应用学案有答案.docx
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高考数学理科一轮复习基本不等式及其应用学案有答案
高考数学(理科)一轮复习基本不等式及其应用学案有答案
本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址 学案36 基本不等式及其应用
导学目标:
1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大值问题.
自主梳理
.基本不等式ab≤a+b2
基本不等式成立的条件:
____________.
等号成立的条件:
当且仅当________时取等号.
2.几个重要的不等式
a2+b2≥________.
ba+ab≥____.
ab≤a+b22.
a+b22____a2+b22.
3.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为________,几何平均数为________,基本不等式可叙述为:
________________________________________________.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则
如果积xy是定值p,那么当且仅当________时,x+y有最____值是________.
如果和x+y是定值p,那么当且仅当________时,xy有最____值是__________.
自我检测
.“a>b>0”是“ab<a2+b22”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
c.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知函数f=12x,a、b∈,A=fa+b2,B=f,c=f2aba+b,则A、B、c的大小关系是
A.A≤B≤c
B.A≤c≤B
c.B≤c≤A
D.c≤B≤A
3.下列函数中,最小值为4的函数是
A.y=x+4x
B.y=sinx+4sinx
c.y=ex+4e-x
D.y=log3x+logx81
4.设函数f=2x+1x-1,则f有最________值为________.
5.若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围为________________.
探究点一 利用基本不等式求最值
例1 已知x>0,y>0,且1x+9y=1,求x+y的最小值;
已知x<54,求函数y=4x-2+14x-5的最大值;
若x,y∈且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
变式迁移1 已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是
A.72
B.4
c.92
D.5
探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用
例2 已知a>0,b>0,a+b=1,求证:
≥9.
变式迁移2 已知x>0,y>0,z>0.
求证:
yx+zxxy+zyxz+yz≥8.
探究点三 基本不等式的实际应用
例3 某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层XX平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x.
写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;
该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?
最少值是多少?
变式迁移3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在XX年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知XX年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完.
将XX年的利润y表示为促销费t的函数.
该企业XX年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大?
.a2+b2≥2ab对a、b∈R都成立;a+b2≥ab成立的条件是a,b∈R+;ba+ab≥2成立的条件是ab>0,即a,b同号.
2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件,并且和为定值时,积有最大值,积为定值时,和有最小值.
3.使用基本不等式求最值时,若等号不成立,应改用单调性法.一般地函数y=ax+bx,当a>0,b<0时,函数在,上是增函数;当a<0,b>0时,函数在,上是减函数;当a>0,b>0时函数在-ba,0,0,ba上是减函数,在-∞,-ba,ba,+∞上是增函数;当a<0,b<0时,可作如下变形:
y=--ax+-bx来解决最值问题.
一、选择题
.设a>0,b>0,若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为
A.8
B.4
c.1
D.14
2.已知不等式1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为
A.2
B.4
c.6
D.8
3.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是
A.2
B.22
c.4
D.5
4.一批货物随17列货车从A市以akm/h的速度匀速直达B市,已知两地铁路线长400km,为了安全,两列车之间的距离不得小于a202km,那么这批货物全部运到B市,最快需要
A.6h
B.8h
c.10h
D.12h
5.设x,y满足约束条件3x-y-6≤0x-y+2≥0x≥0,y≥0,若目标函数z=ax+by的最大值为12,则2a+3b的最小值为
A.256
B.83
c.113
D.4
二、填空题
6.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是________.
7.在平面直角坐标系xoy中,过坐标原点的一条直线与函数f=2x的图象交于P,Q两点,则线段PQ长的最小值是________.
8.已知f=32x-3x+2,当x∈R时,f恒为正值,则k的取值范围为__________________.
三、解答题
9.已知0<x<43,求x的最大值;
点在直线x+2y=3上移动,求2x+4y的最小值.
0.经观测,某公路段在某时段内的车流量y与汽车的平均速度v之间有函数关系y=920vv2+3v+1600.
在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大?
最大车流量为多少?
为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?
1.某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每千克原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料400千克,每次购买的原材料当天即开始使用.
设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式;
求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小,并求出这个最小值.
学案36 基本不等式及其应用
自主梳理
.a>0,b>0 a=b 2.2ab 2 ≤
3.a+b2 ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.x=y 小 2p x=y 大 p24
自我检测
.A 2.A 3.c
4.大 -22-1 5.[15,+∞)
课堂活动区
例1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式,构造出基本不等式的形式再进行求解.基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条件.
解 ∵x>0,y>0,1x+9y=1,
∴x+y=1x+9y
=yx+9xy+10≥6+10=16.
当且仅当yx=9xy时,上式等号成立,又1x+9y=1,
∴x=4,y=12时,min=16.
∵x<54,∴5-4x>0.
y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3
≤-25-4x•15-4x+3=1,
当且仅当5-4x=15-4x,
即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,ymax=1.
由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,
∴2y+8x=1.
∴x+y=8x+2y=10+8yx+2xy
=10+24yx+xy
≥10+2×2×4yx•xy=18,
当且仅当4yx=xy,即x=2y时取等号.
又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6.
∴当x=12,y=6时,x+y取最小值18.
变式迁移1 c [∵a+b=2,∴a+b2=1.
∴1a+4b==52+≥52+22ab•b2a=92,故y=1a+4b的最小值为92.]
例2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到,也会给解决问题提供简捷的方法.
在不等式证明时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转化是否有误的一种方法.
证明 方法一 因为a>0,b>0,a+b=1,
所以1+1a=1+a+ba=2+ba.
同理1+1b=2+ab.
所以=
=5+2≥5+4=9.
所以≥9.
方法二 =1+1a+1b+1ab
=1+a+bab+1ab=1+2ab,
因为a,b为正数,a+b=1,
所以ab≤2=14,于是1ab≥4,2ab≥8,
因此≥1+8=9.
变式迁移2 证明 ∵x>0,y>0,z>0,
∴yx+zx≥2yzx>0,
xy+zy≥2xzy>0,
xz+yz≥2xyz>0.
∴yx+zxxy+zyxz+yz
≥8yz•xz•xyxyz=8.
当且仅当x=y=z时等号成立.
所以≥8.
例3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为:
由题设写出函数→变形转化→利用基本不等式→求得最值→结论
2.在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点:
先理解题意,设变量,一般把要求最值的变量定为函数;建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数最值问题;在定义域内求函数最值;正确写出答案.
解 依题意得
y=+2160×10000XXx
=560+48x+10800x.
∵x>0,∴48x+10800x
≥248×10800=1440,
当且仅当48x=10800x,即x=15时取到“=”,
此时,平均综合费用的最小值为560+1440=XX.
答 当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为XX元.
变式迁移3 解 由题意可设3-x=kt+1,
将t=0,x=1代入,得k=2.∴x=3-2t+1.
当年生产x万件时,
∵年生产成本=年生产费用+固定费用,
∴年生产成本为32x+3=323-2t+1+3.
当销售x时,年销售收入为
50%323-2t+1+3+12t.
由题意,生产x万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,得年利润y=-t2+98t+352t+1.
y=-t2+98t+352t+1=50-t+12+32t+1
≤50-2t+12×32t+1=50-216=42,
当且仅当t+12=32t+1,即t=7时,ymax=42,
∴当促销费投入7万元时,企业的年利润最大.
课后练习区
.B [因为3a•3b=3,所以a+b=1,
a+1b=1a+1b=2+ba+ab
≥2+2ba•ab=4,当且仅当ba=ab即a=b=12时,“=”成立.]
2.B [不等式1x+ay≥9对任意正实数x,y恒成立,则1+a+yx+axy≥a+2a+1≥9,
∴a≥2或a≤-4.
∴正实数a的最小值为4.]
3.c [因为1a+1b+2ab≥21ab+2ab
=21ab+ab≥4,当且仅当1a=1b且1ab=ab,
即a=b=1时,取“=”号.]
4.B [第一列货车到达B市的时间为400ah,由于两列货车的间距不得小于a202km,所以第17列货车到达时间为400a+16•a202a=400a+16a400≥8,当且仅当400a=16a400,即a=100km/h时成立,所以最快需要8h.]
5.A
6.18
解析 由x>0,y>0,2x+y+6=xy,得
xy≥22xy+6,
即2-22xy-6≥0,
∴•≥0.
又∵xy>0,∴xy≥32,即xy≥18.
故xy的最小值为18.
7.4
解析 过原点的直线与f=2x交于P、Q两点,则直线的斜率k>0,设直线方程为y=kx,由y=kx,y=2x,得x=2k,y=2k或x=-2k,y=-2k,
∴P,Q或P,Q.
∴|PQ|=2k+2k2+2k+2k2
=22k+1k≥4.
8.
解析 由f>0得32x-•3x+2>0,解得k+1<3x+23x,而3x+23x≥22,∴k+1<22,k<22-1.
9.解 ∵0<x<43,∴0<3x<4.
∴x=13≤133x+4-3x22=43,
当且仅当3x=4-3x,即x=23时,“=”成立.
∴当x=23时,x的最大值为43.
已知点在直线x+2y=3上移动,∴x+2y=3.
∴2x+4y≥22x4y=22x+2y=223=42.
当且仅当2x=4y,x+2y=3,即x=32,y=34时,“=”成立.
∴当x=32,y=34时,2x+4y的最小值为42.
0.解 y=920vv2+3v+1600=920v+1600v+3≤
9202v×1600v+3=92083≈11.08.
当v=1600v,即v=40千米/小时时,车流量最大,最大值为11.08千辆/小时
据题意有920vv2+3v+1600≥10,
化简得v2-89v+1600≤0,即≤0,
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内.
1.解 每次购买原材料后,当天用掉的400千克原材料不需要保管费,第二天用掉的400千克原材料需保管1天,第三天用掉的400千克原材料需保管2天,第四天用掉的400千克原材料需保管3天,…,第x天用掉最后的400千克原材料需保管天.
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用
y1=400×0.03×[1+2+3+…+]
=6x2-6x.
由可知,购买一次原材料的总费用为6x2-6x+600+1.5×400x,
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
y=1x+1.5×400=600x+6x+594.
∴y≥2600x•6x+594=714,
当且仅当600x=6x,即x=10时,取等号.
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小,且最小为714元.
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