数学ⅱ人教新资料第二章检测231直线与平面垂直的判定.docx
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数学ⅱ人教新资料第二章检测231直线与平面垂直的判定
数学ⅱ人教新资料第二章检测2-3-1直线与平面垂直的判定
【一】选择题
①假如一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和那个平面垂直、
②过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直、
③假如三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面、
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面、
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内、
A、2个B、3个C、4个D、5个
2、假如一条直线垂直于一个平面内的:
①三角形的两边;
②梯形的两边;
③圆的两条直径;
④正六边形的两条边、
那么能保证该直线与平面垂直()
A、①③B、①②
C、②④D、①④
3、下面条件中,能判定直线l⊥α的是()
A、l与平面α内的两条直线垂直
B、l与平面α内的许多条直线垂直
C、l与平面α内的某一条直线垂直
D、l与平面α内的任意一条直线垂直
4、在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与AA1垂直的面的个数是()
A、1B、2C、3D、6
5、直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,那么直线b与平面α所成的角等于()
A、40°B、50°
C、90°D、150°
6、以下条件中,能使直线m⊥平面α的是()
A、m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α
B、m⊥b,b∥α
C、m∩b=A,b⊥α
D、m∥b,b⊥α
7、m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,那么以下命题中正确的选项是()
A、m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α∥β
B、α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n
C、m⊥α,m⊥n⇒n∥α
D、n∥m,n⊥α⇒m⊥α
8、(2017-2018·吉安高二检测)如图,四棱锥的侧棱长与底面边长基本上2,且SO⊥平面ABCD,O为底面的中心,那么侧棱与底面所成的角为()
A、75°B、60°
C、45°D、30°
9、(2017-2018·武安中学高二检测)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,那么BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()
A.
B.
C.
D.
10、(09·四川文)如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,那么以下结论正确的选项是()
A、PB⊥AD
B、平面PAB⊥平面PBC
C、直线BC∥平面PAE
D、直线PD与平面ABC所成的角为45°
[答案]D
【二】填空题
11、l,m,n是不同的直线,α,β,γ是不同的平面,给出以下说法:
①假设m∥l,且l⊥α,那么m⊥α;
②假设m∥l,且l∥α,那么m∥α;
③假设α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,那么l∥m∥n;
④假设α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,n∥β,那么m∥l.
其中表述正确的有________、
12、PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,假设PC⊥BD,那么平行四边形ABCD一定是________、
13、如图,△ABC为等腰直角三角形,P为空间一点,且AC=BC=5
,PC⊥AC,PC⊥BC,PC=5,AB的中点为M,那么PM与平面ABC所成的角为________、
14、如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的选项是________、
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥BD;
③AC1⊥平面CB1D1;
④异面直线AD与CB1所成的角为60°.
【三】解答题
15、如下图,PA垂直于⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过点A作AE⊥PC于点E.求证:
AE⊥平面PBC.
[分析]只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可,AE⊥PC,再证AE⊥BC,那么可证AE垂直于平面PBC.
16、如下图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD,PA=5,AB=4,AD=3.求直线PC与平面ABCD所成的角、
[分析]找到PC在平面ABCD上的射影AC,那么∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角、
17、如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2
,BC=6.
求证:
BD⊥平面PAC.
18、(09·广东文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图、
(1)求该安全标识墩的体积;
(2)证明:
直线BD⊥平面PEG.
详解答案
1[答案]C
[解析]②③④⑤正确,①中当这许多条直线都平行时,结论不成立、
2[答案]A
[解析]三角形的两边,圆的两条直径一定是相交直线,而梯形的两边,正六边形的两条边不一定相交,因此保证直线与平面垂直的是①③.
3[答案]D
4[答案]B
[解析]仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直、
5[答案]B
[解析]依照两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.
6[答案]D
[解析]见课本P65例1.
7[答案]D
[解析]B中,m,n可能异面,C中n可能在α内,A中,m,n可能不相交、
8[答案]C
9[答案]D
[解析]取B1D1中点O,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
∵A1B1=B1C1=2,∴C1O⊥B1D1,
又C1O⊥BB1,C1O⊥平面BB1D1D,
∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角,
在Rt△BOC1中,C1O=
,BC1=
=
,
∴sin∠OBC1=
.
10[解析]设AB长为1,由PA=2AB得PA=2,
又ABCDEF是正六边形,因此AD长也为2,
又PA⊥平面ABC,因此PA⊥AD,
因此△PAD为直角三角形、
∵PA=AD,∴∠PDA=45°,
∴PD与平面ABC所成的角为45°,应选D.
11[答案]①④
[解析]①中,两条平行直线m,l中一条直线l垂直于平面α,那么另一条直线m也垂直于平面α,因此①正确;②中,还可能m⊂α,因此②错误;③中,还可能l,m,n相交于一点,因此③错误;④中,依照直线与平面平行的性质定理能够证明m∥l,因此④正确、
12[答案]菱形
[解析]由于PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
因此PA⊥BD.
又PC⊥BD,且PC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,PC∩PA=P,因此BD⊥平面PAC.
又AC⊂平面PAC,因此BD⊥AC.
又四边形ABCD是平行四边形,因此四边形ABCD是菱形、
13[答案]45°
[解析]由PC⊥AC,PC⊥BC,AC∩BC=C,知PC⊥平面ACB,因此∠PMC为PM与平面ABC所成的角、
又∵M是AB的中点,∴CM=
AB=5.
又PC=5,∴∠PMC=45°.
14[答案]④
[解析]由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,那么BD∥平面CB1D1,因此①正确;
由于BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,
因此BD⊥平面ACC1,因此AC1⊥BD.
因此②正确;
能够证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,
因此AC1⊥平面CB1D1,因此③正确;
由于AD∥BC,那么∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,因此④错误、
15[证明]∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC.
而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
又∵AE⊂平面PAC,∴BC⊥AE.
又∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC.
[点评]利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是:
①在那个平面内找两条直线,使它和直线垂直;②确定那个平面内的两条直线是相交直线;③依照判定定理得出结论、
16[解析]如图,连接AC,因为PA⊥平面ABCD,那么AC是PC在平面ABCD上的射影,
因此∠PCA是PC与平面ABCD所成的角、
在△PAC中,PA⊥AC,PA=5,AC=
=
=5.
那么∠PCA=45°,
即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.
[点评]求斜线与平面所成的角的步骤:
(1)作图:
作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角),作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足(有时能够是两垂足)作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中量有关,才能便于计算、
(2)证明:
证明某平面角确实是斜线与平面所成的角、
(3)计算:
通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算、
17[证明]∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴BD⊥PA.
∵∠BAD和∠ABC基本上Rt∠,
∴tan∠ABD=
=
,tan∠BAC=
=
,
∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.
∴∠AEB=90°,即BD⊥AC,
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
18[解析]
(1)该安全标识墩的体积为:
V=VP-EFGH+VABCD-EFGH=
×402×60+402×20=32000+32000
=64000(cm3)
(2)如图,连接EG、HF及BD,EG与HF相交于O,连接PO.由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面EFGH,
∴PO⊥HF,
又EG⊥HF,且BD∥HF∴BD⊥GE又PO∩EG=0,
∴BD⊥PO,∴BD⊥平面PEG.
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