选修45第一节绝对值不等式+Word版文档格式.docx
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考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
绝对值不等式的解法
[典例] 解下列不等式:
(1)|2x+1|-2|x-1|>
0.
(2)|x+3|-|2x-1|<
+1.
绝对值不等式的常用解法
[方法技巧]
(1)基本性质法:
对a∈R+,|x|<
a⇔-a<
x<
a,
a⇔x<
-a或x>
a.
(2)平方法:
两边平方去掉绝对值符号.
(3)零点分区间法:
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.求不等式|x-1|-|x-5|<
2的解集.
2.解不等式x+|2x+3|≥2.
3.已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.
(1)证明:
-3≤f(x)≤3;
(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.
4.已知函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>
0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.
突破点
(二) 绝对值三角不等式
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
绝对值三角不等式定理
(1)定理1:
如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理2:
如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
证明绝对值不等式
[例1] 已知x,y∈R,且|x+y|≤,|x-y|≤,
求证:
|x+5y|≤1.
证明绝对值不等式的三种主要方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明.
(2)利用三角不等式||a|-|b||≤|a±
b|≤|a|+|b|进行证明.
(3)转化为函数问题,利用数形结合进行证明.
绝对值不等式的恒成立问题
[例2] 设函数f(x)=x+|x-a|.
(1)当a=2017时,求函数f(x)的值域;
(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>
x-f(x)恒成立时a的取值范围.
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]设函数f(x)=+|x-a|(a>
0).
f(x)≥2;
(2)若f(3)<
5,求a的取值范围.
2.[考点二](2017·
保定模拟)设函数f(x)=|x-1|+|x-a|(a∈R).
(1)当a=4时,求不等式f(x)≥5的解集;
(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立,求a的取值范围.
3.[考点一]已知函数f(x)=ax2+x-a的定义域为[-1,1].
(1)若f(0)=f
(1),解不等式|f(x)-1|<
ax+;
(2)若|a|≤1,求证:
|f(x)|≤.
4.[考点一](2017·
开封模拟)设函数f(x)=|x-a|,a<
f(x)+f≥2;
(2)若不等式f(x)+f(2x)<
的解集非空,求a的取值范围.
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2016·
全国乙卷)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>
1的解集.
2.(2016·
全国丙卷)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
3.(2015·
新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>
(1)当a=1时,求不等式f(x)>
1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
4.(2013·
新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
5.(2012·
新课标全国卷)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
1.已知函数f(x)=|x+m|-|5-x|(m∈R).
(1)当m=3时,求不等式f(x)>
6的解集;
(2)若不等式f(x)≤10对任意实数x恒成立,求m的取值范围.
2.(2017·
郑州模拟)设函数f(x)=|x+2|-|x-1|.
(1)求不等式f(x)>
(2)若关于x的不等式f(x)+4≥|1-2m|有解,求实数m的取值范围.
3.(2017·
长春模拟)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.
(1)解不等式f(x)>
1;
(2)当x>
0时,函数g(x)=(a>
0)的最小值大于函数f(x),试求实数a的取值范围.
4.设函数f(x)=|kx-1|(k∈R).
(1)若不等式f(x)≤2的解集为,求k的值;
(2)若f
(1)+f
(2)<
5,求k的取值范围.
5.已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.
(1)解不等式:
|g(x)|<
5;
(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.
6.设函数f(x)=|2x-1|-|x+4|.
f(x)>
0;
(2)若f(x)+3|x+4|≥|a-1|对一切实数x均成立,求a的取值范围.
7.已知函数f(x)=|2x-a|+a(其中a为常数).
(1)若集合{x|-4≤x≤3}是关于x的不等式f(x)≤6的解集的子集,求实数a的取值范围;
(2)在
(1)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m-f(-n)成立,求实数m的取值范围.
8.已知函数f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式f(x)<
4-|x-1|;
(2)已知m+n=1(m,n>
0),若|x-a|-f(x)≤+(a>
0)恒成立,求实数a的取值范围.
第二节不等式的证明
本节重点突破1个知识点:
不等式的证明.
突破点 不等式的证明
1.基本不等式
定理1:
如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
定理2:
如果a,b>0,那么≥,当且仅当a=b时,等号成立,即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.
定理3:
如果a,b,c∈R+,那么≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.
2.比较法
(1)作差法的依据是:
a-b>0⇔a>b.
(2)作商法:
若B>0,欲证A≥B,只需证≥1.
3.综合法与分析法
(1)综合法:
一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立.
(2)分析法:
从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义,公理或已证明的定理,性质等),从而得出要证的命题成立.
比较法证明不等式
[例1] 设a,b是非负实数,求证:
a2+b2≥(a+b).
作差比较法证明不等式的步骤
(1)作差;
(2)变形;
(3)判断差的符号;
(4)下结论.其中“变形”是关键,通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式,再结合不等式的性质判断出差的正负.
综合法证明不等式
[例2] 已知a,b,c>
0且互不相等,abc=1.试证明:
++<++.
综合法证明时常用的不等式
(1)a2≥0.
(2)|a|≥0.
(3)a2+b2≥2ab,它的变形形式有:
a2+b2≥2|ab|;
a2+b2≥-2ab;
(a+b)2≥4ab;
a2+b2≥(a+b)2;
≥2.
(4)≥,它的变形形式有:
a+≥2(a>
0);
+≥2(ab>
+≤-2(ab<
分析法证明不等式
[例3] (2017·
沈阳模拟)设a,b,c>
0,且ab+bc+ca=1.求证:
(1)a+b+c≥;
(2)++≥(++).
分析法的应用
当所证明的不等式不能使用比较法,且和重要不等式(a2+b2≥2ab)、基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.
1.[考点三]已知a>
b>
c,且a+b+c=0,求证:
<
2.[考点一]已知a≥b>
0,求证:
2a3-b3≥2ab2-a2b.
3.[考点二]已知a,b,c,d均为正数,且ad=bc.
若a+d>
b+c,则|a-d|>
|b-c|;
(2)t·
=+,求实数t的取值范围.
全国甲卷)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<
(1)求M;
(2)证明:
当a,b∈M时,|a+b|<
|1+ab|.
2.(2015·
新课标全国卷Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>
cd,则+>
+;
(2)+>
+是|a-b|<
|c-d|的充要条件.
3.(2014·
新课标全国卷Ⅰ)若a>
0,b>
0,且+=.
(1)求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?
并说明理由.
新课标全国卷Ⅱ)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ac≤;
(2)++≥1.
[课时达标检测]基础送分题——高考就考那几点,练通就能把分捡
1.已知函数f(x)=|x+3|+|x-1|,其最小值为t.
(1)求t的值;
(2)若正实数a,b满足a+b=t,求证:
+≥.
2.设不等式-2<
|x-1|-|x+2|<
0的解集为M,a,b∈M.
;
(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.
广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)=|x-m|+|x|,m∈N*,存在实数x使f(x)<
2成立.
(1)求实数m的值;
(2)若α,β≥1,f(α)+f(β)=4,求证:
+≥3.
4.
(1)已知a,b都是正数,且a≠b,求证:
a3+b3>
a2b+ab2;
(2)已知a,b,c都是正数,求证:
≥abc.
5.已知x,y∈R,且|x|<
1,|y|<
1.
6.(2017·
长沙模拟)设α,β,γ均为实数.
|cos(α+β)|≤|cosα|+|sinβ|,|sin(α+β)|≤|cosα|+|cosβ|;
(2)若α+β+γ=0,证明:
|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1.
7.(2017·
重庆模拟)设a,b,c∈R+且a+b+c=1.
(1)2ab+bc+ca+≤;
(2)++≥2.
8.(2017·
贵阳模拟)已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证:
++≥3.
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- 选修 45 第一节 绝对值 不等式 Word