大一下高数下册知识点Word文档格式.docx
- 文档编号:5254024
- 上传时间:2023-05-04
- 格式:DOCX
- 页数:30
- 大小:71.68KB
大一下高数下册知识点Word文档格式.docx
《大一下高数下册知识点Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《大一下高数下册知识点Word文档格式.docx(30页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
f(\'
Xy,z)0
3、柱面:
的柱面
F(x,y)
F(x,y)0表示母线平行于z轴,准线为
z0
4、二次曲面
z2
b2
椭圆锥面:
2
y
2z2
1
椭球面:
22
c
z
旋转椭球面:
3)
单叶双曲面:
2c
双叶双曲面:
5)
椭圆抛物面:
6)
双曲抛物面
(马鞍面)
:
a2
y1b21
7)
椭圆柱面:
2a
8)
双曲柱面:
9)
抛物柱面:
(四)空间曲线及其方程
F(x,y,z)0
1、般方程:
G(x,y,z)0
x(t)
acost
2、参数方程:
y(t),如螺旋线:
asint
z(t)
bt
3、空间曲线在坐标面上的投影
H(x,y)0
F(x,y,z)0
G(x,y,z)0'
消去z,得到曲线在面xoy上的投影
(五)平面及其方程
1、
点法式方程:
A(xX。
)B(yyo)C(zZo)
2、
法向量:
n
(A,B,C),过点(Xo,yo,Zo)
般式方程:
Ax
ByCzD
截距式方程:
—
3、
两平面的夹角:
ni
(A1,B1,C1),n2
(A2,B2,C2),
cos
AA2
B1B2C1C2
Bi2Ci2,AfBf
C;
A|A?
B1B2C1C2
4、
i〃
△旦邑
A2B2C2
点Po(xo,yo,Z0)到平面Ax
By
CzD0的距离:
Ax。
By。
CzoD.A2B2C
(六)空间直线及其方程
A1x
B"
C1z
D1
A2x
B2y
C2z
D2
Xo
yyo
zz°
方程:
m
P
2、对称式(点向式)
方向向量:
S(m,n,p),过点(X。
y。
,z。
)
xx0mt
3、参数式方程:
yy。
nt
ZZopt
4、两直线的夹角:
Si(g,ni,Pi),S2(m2,n2,P2),
m1m2ngp1p2
222
p1\m2n2
P2
Li®
m1m2mn2
P1P20
m2
niPi
n2P2
5、直线与平面的夹角:
直线与它在平面上的投影的夹角,
sin
AmBnCp
L//
AmBnCp0
ABC
L
mnp
第九章多元函数微分法及其应用
(1)基本概念
1、距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。
2、多元函数:
zf(x,y),图形:
3、极限:
limf(x,y)A
(x,y)(X0,y°
4连续:
爲叽。
)"
"
)f(X0,y0)
5、偏导数:
fx(Xo,y。
limf(x。
X,y。
)f(x°
y。
x0x
fy(Xo,y°
lim込上
yo
y)f(x。
,y。
6、方向导数:
fff
——cos——COS其中,为丨的方向角。
ixy
7、梯度:
zf(x,y),则gradf(x°
)fx(x°
y°
)ify(xo,y°
)j
8全微分:
设zf(x,y),则dz-;
dx:
dy
xy
(二)性质
函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
偏导数连续
闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)
微分法
1)定义:
2)复合函数求导:
链式法则
若zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y),则
zzuzvzzuzv
xuxvx,yuyvy
3)隐函数求导:
两边求偏导,然后解方程(组)
(3)应用
1、极值
1)无条件极值:
求函数zf(x,y)的极值
解方程组
fy
求出所有驻点,对于每一个驻点(X。
),
Afxx(Xo
B
fxy(X°
),Cfyy(x0,y°
①若AC
B2
A0,函数有极小值,
若AC
A0,函数有极大值;
②若AC
0,
函数没有极值;
③若AC
不定。
2)条件极值:
求函数zf(x,y)在条件(x,y)0下的极值
令:
L(x,y)f(x,y)(x,y)Lagrange函数
Lx0
解方程组Ly0
(x,y)0
2、几何应用
1)曲线的切线与法平面
xx(t)
曲线:
yy(t),贝S上一点M(Xo,yo,z°
)(对应参数为to)处的
zz(t)
切线方程为:
xXox(to)y(to)
ZZo
Z(to)
法平面方程为:
X(to)(XXo)
y(to)(yy°
)z(t°
)(zz°
)o
2)曲面的切平面与法线
Fx(Xo,y°
Zo)(X
曲面:
F(x,y,z)o,贝q上一点M(x°
yo,zo)处的切平面方程为:
X。
)Fy(Xo,yo,Z0)(yy。
)Fz(x。
,y°
z))(zzo)0
法线方程为:
xXo
zZ°
,z))
Fy(Xo,yo,zo)
Fz(Xo,yo,zo)
第十章重积分
定义:
D
性质:
(6
几何意义
计算:
直角坐标
(x,y)
(一)二重积分
f(X,y)d
lim
o
曲顶柱体的体积。
i(x)
2(X)
f(x,y)dxdy
dx
i(y)
f(k,k)
k1
f(x,y)dy
l(X)
x2(y)yd,
极坐标
d2(y)
cdyI(y)f(X,y)dX
i(
2()
df(cos,sin)d
1()
f(x,y,z)dv
叫f(k,k,k)Vk
0k1
f(xyz)dv
dxdy
Z2(x,y)
f(xyz)dz
后—二
\,J5—4
/、■\6y丁J)j〜
Z1(x,y)
先
f(x,y,z)dv
dz
f(x,y,7)dxdy
“先「
二后一
\7J1>
aDz
\JJJ/J
柱面坐标
f(x,y,z)dvf(cos,sin
z)dd
球面坐标
rsin
重积分
一\二
zrcos
f(x,y,z)dv
f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd
(三)应用
曲面S:
zf(x,y),(x,y)D的面积:
A屮(:
)2(y)2dxdy
第十
早曲线积分与曲面积分
(-
'
)对弧长的曲线积分
Lf(x,y)dsli叫
f(i,i)s
i1
L[f(x,y)(x,y)]ds
Lf(x,y)ds
Lg(x,y)ds.
f(x,y)dslf(x,y)ds
LL1
f(x,y)ds.(L
L2
JL2).
3)在L上,若f(x,y)g(x,y),则Lf(x,y)dsLg(x,y)ds.
4)Ldsl(l为曲线弧L的长度)
3、计算:
x(t),
设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为(t
y(t),
其中(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数,且2(t)2(t)0,则
Lf(x,y)dsf[(t),(t)]J2(t)2(t)dt,()
(二)对坐标的曲线积分
1、定义:
设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧,函数P(x,y),Q(x,y)
在L上有界,定义LP(x,y)dxlim0P(k,QXk,
LQ(x,y)dy
0k
Q(k,k)yk.
向量形式:
LF
dr
LP(x,y)dxQ(x,y)dy
2、性质:
用L表示L的反向弧,
则lF(x,y)drlF(x,y)dr
3、计算:
设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为
(t:
),其中
(t),
(t)
在[
]上具有一
阶连续导数,且
2(t)2(t)
0,则
LP(x,y)dx
Q(x,y)dy
{P[
(t)]
(t)Q[(t),
(t)](t)}dt
4、两类曲线积分之间的关系:
设平面有向曲线弧为L:
z-X>
L上点(x,y)处的切向量的方向角为
cos(t)
2(t)2(t)'
/2(t)2(t)'
则lPdxQdyL(PcosQcos)ds.
(三)格林公式
1、格林公式:
设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数P(x,y),Q(x,y)在
2、G为一个单连通区域,函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数,则
Q
曲线积分PdxQdy在g内与路径无关
曲线积分?
PdxQdy0
P(x,y)dxQ(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分
(四)
对面积的曲面积分
1、定义:
D上具有连续一阶偏导数,则有
-PdxQdy
设为光滑曲面,函数f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,
定义f(x,y,z)dSlimf(i,i,i)Si
0i1
2、计算:
“一单二投三代入”
zz(x,y),(x,y)Dxy,则
f(x,y,z)dSDf[x,y,z(x,y)](1zx2(x,y)Zy2(x,y)dxdy
Dxy
(5)对坐标的曲面积分
1、预备知识:
曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量
2、定义:
设为有向光滑曲面,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在上的有界函数,
定义R(x,y,z)dxdylim。
R(i,i,J(SJxy
同理,P(x,y,z)dydzlim。
P(i,i,J(SJyz
Q(x,y,z)dzdxlim。
R(i,i,J(S)x
3、性质:
1)12,则
PdydzQdzdxRdxdy
PdydzQdzdxRdxdyPdydzQdzdxRdxdy
12
2)表示与取相反侧的有向曲面,贝SRdxdyRdxdy
4、计算:
一一“一投二代三定号”
zz(x,y),(x,y)Dxy,zz(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,R(x,y,z)在
上连续,则R(x,y,z)dxdyDR[x,y,z(x,y)]dxdy,为上侧取“+”,
为下侧取“-”.
5、两类曲面积分之间的关系:
PcosQcosRcos
dS
其中,,为有向曲面在点(x,y,z)处的法向量的方向角。
(6)高斯公式
高斯公式:
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,
的方向取外侧,
函数P,Q,R在
上有连续的一阶偏导数,则有
Rdxdydz-Pdydzz
Qdzdx
Rdxdy
通量与散度
R.
dxdydz:
Pcosz
Qcos
Rcos
量:
向量场A(P,Q,R)通过曲
定侧的通量为:
PdydzQdzdx
Rdxdy
PQ
散度:
divA-
(7)斯托克斯公式
1、斯托克斯公式:
设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与的正向
符合右手法则,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含在内的一个空间域内具有连续
阶偏导数,
则有
dydz——dzdx——dxdy二PdxQdyRdzzxxy
为便于记忆
斯托克斯公式还可写作:
dydz
dzdx
dxdy
环流量与旋度
环流量:
向量场A
-PdxQdy
Rdz
(P,Q,R)沿着有向闭曲线
的环流量为门PdxQdyRdz
…RQPRQP
旋度:
rotA,,
yzzxxy
第十二章无穷级数
(一)常数项级数
1)无穷级数:
UnU1U2U3Un
部分和:
SnUkU1U2U3Un,
正项级数:
5,Un0
n1
交错级数:
(1)nUn,Un0
Un发散
2)级数收敛:
若limSnS存在,则称级数Un收敛,否则称级数
nn1n
3)条件收敛:
Un收敛,而|片|发散;
n1n1
绝对收敛:
|Un|收敛。
2、性质:
1)改变有限项不影响级数的收敛性;
2)级数a.,bn收敛,则(anS)收敛;
n1n1n1
3)级数an收敛,则任意加括号后仍然收敛;
4)必要条件:
级数Un收敛limUn0.(注意:
不是充分条件!
n1n
3、审敛法
Un,Un0
1)定义:
limSnS存在;
2)Un收敛Sn有界;
3)比较审敛法:
Un,Vn为正项级数,且UnVn(n1,2,3,)
Un
若Vn收敛,则Un收敛;
若Un发散,则£
发散.
比较法的推论:
Un,
kVn,而Vn收敛,则
Vn发散,则Un发散.
比较法的极限形式:
Vn为正项级数,若存在正整数m,当nm时,
Un收敛;
若存在正整数m,当n
Un,
Vn为正项级数,若
limU
nV
m时,
l(0
kVn,
Vn收敛,则Un收敛;
若”m
1n1
Vn
0^或lim
Vn发散,
Un发
比值法:
Un为正项级数,设
lim山
nUn
1,则当
I1时,级数
Un收敛;
则当I1时,级数Un发散;
当I
1时,级数
Un可能收敛也可能发散.
根值法:
I,则当I1时,级数Un收敛;
则
1时,级数Un发散;
当I1时,级数
极限审敛法:
n1Un为正项级数,若limnUn
0或limnu
,则级数
发散;
若存在P
1,使得lim
npUnI(0
),则级数
Un收敛.
交错级数:
莱布尼茨审敛法:
(1)nUn
Un0满足:
Un1
Un(n1,2,3,
且nimUn0,则级数1
(1)nUn收敛。
任意项级数:
un绝对收敛,则Un收敛。
收敛,
q|1
常见典型级数:
几何级数:
aq
发散,
iq1
n0
p1
p-级数:
cp
n1【1
(二)函数项级数
函数项级数Un(X),收敛域,收敛半径,和函数;
2、幕级数:
anX
收敛半径的求法:
an1
an
,则收敛半径R0,
3、泰勒级数
f(X)牛xX0)
n0n!
f(n1)()
nimRn(x)nimN(xx0)n10
展开步骤:
(直接展开法)
1)求出f(n)(x),n1,2,3,;
2)求出円化),n0,1,2,;
(n)
3)写出
(Xo)
n!
(x
间接展开法:
(利用已知函数的展开式)
1nx,on!
sinx
1)n
112n
x(2n1)!
cosx
(2n)!
1x
x(1,1);
nn
1)x,x
1,
ln(1
x)
1,1]
1x2
2n
1)x,
(1,1)
(1x)
m(m
(mn1)n!
x(1,1)
傅里叶级数
定义:
正交系:
1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,,sinnx,cosnx函数系中任何不同的两个
函数的乘积在区间[
]上积分为零。
傅里叶级数:
f(x)a0(ancosnxbnsinnx)
2n1
anf(x)cosnxdx(n0,1,2,)
系数:
bhf(x)sinnxdx(n1,2,3,)
2)收敛定理:
(展开定理)
设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:
1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2)在一个周期内只有有限个极值点,
则f(x)的傅里叶级数收敛,且有
ao
ancosnx
f(x),
bnsinnx
f(X)f(X)
傅里叶展开:
f(x)cosnxdx(n
X为连续点
x为间断点
1,2,)
①求出系数:
bn
f(x)sinnxdx(n
1,2,3,)
②写出傅里叶级数
f(x)
亚(ancosnx
bnsinnx);
③根据收敛定理判定收敛性。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 大一 下高数 下册 知识点