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大一下高数下册知识点
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高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
(一)向量线性运算
定理1:
设向量a≠0,则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数λ,使
ab=λ
、线性运算:
加减法、数乘;1
、空间直角坐标系:
坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;2
b(ba)a,b,baa)(,,,;3、利用坐标做向量的运算:
设zyx
zxy
aaa)(,ab)b,ab,aab(a,zyx,;则zyzyxx
、向量的模、方向角、投影:
4
222xrzy)向量的模:
1;
222))两点间的距离公式:
(xz))2AB(zx(yy121122
,)方向角:
非零向量与三个坐标轴的正向的夹角3
cosyx,cos,cos)方向余弦:
4z
rrr222cos1coscos
acosPrja其中5)投影:
a的夹角。
与为向量uu,
(二)数量积,向量积
bcosbaa1、数量积:
2aaa)1baba0)21
----
-----
ababbabazyxyxz
cba、向量积:
2
a,b,cabsin符合右手规则,方向:
大小:
0)
aa1
a//bab0)2
ijk
aabaazxy
bbbzyx
aabb运算律:
反交换律
(三)曲面及其方程
S:
f(x,y,z)0、曲面方程的概念:
1
、旋转曲面:
2
0C:
f(y,z)yoz,面上曲线
22)0zxf(y,y轴旋转一周:
绕
22,z)0yxf(z轴旋转一周:
绕
、柱面:
3
F(x,y)0
zF(x,y)
0轴,准线为表示母线平行于的柱面
0z
、二次曲面4
2
----
-----
2yx22z2ab)椭圆锥面:
1222xyz21a22b)椭球面:
2c2
22xyz21a22ac旋转椭球面:
2
22yxz21a22b)单叶双曲面:
3c2
22yxz21a22bc)双叶双曲面:
42
22yxza2b)椭圆抛物面:
52xy22z
a2b)双曲抛物面(马鞍面):
62
22xy1a2b)椭圆柱面:
72
22xy12ab)双曲柱面:
82
2xay)抛物柱面:
9
(四)空间曲线及其方程
F(x,y,z)0
、一般方程:
1
G(x,y,z)0
3
----
-----
xx(t)xacost
yy(t),如螺旋线:
、参数方程:
2ytasin
z(t)zzbt
3、空间曲线在坐标面上的投影
F(x,y,z)0H(x,y)0
xoyz上的投影,消去,得到曲线在面
0G(x,y,z)z0
(五)平面及其方程
x)B(yy)C(zz)0A(x、点法式方程:
1000
y,z)(xn(A,B,C),过点法向量:
000
AxByCzD0、一般式方程:
2
xyz1
acb截距式方程:
n,B,C)n,B,C)(A(A,、两平面的夹角:
,322121211
ACABCB221112cos22222BACCBA2
111222
AABCCB022121112
ACB111//12ACB222
P(x,z)AxCzD0,yBy到平面、点4的距离:
0000
AxByCzD000d222BAC
(六)空间直线及其方程
4
----
-----
AxByCzD01111
、一般式方程:
1
AxByCzD02222
xxyyzz000、对称式(点向式)方程:
2mnp
y,z)s(x(m,n,p)方向向量:
,过点000
xmtx0
yy、参数式方程:
3nt0
zptz0
s,n,p)s,n,p)(m(m,,4、两直线的夹角:
22112121
mmnppn212211cos
22222m2ppnmn221211
mnnpp0mLL22111221
mnp111L//L21mnp222
5、直线与平面的夹角:
直线与它在平面上的投影的夹角,
AmBnCpsin22222nBACm2p
L//AmBnCp0
ABCLm
n
p
第九章多元函数微分法及其应用
(一)基本概念
1、距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,
闭区域,有界集,无界集。
维空间内的点集)定义:
设n、多元函数:
(212RD是的一个非空子集,称映
5
----
-----
射f:
D→R为定义在D上的n元函数。
当n≥2时,称为多元函数。
记为U=f(x,x,?
,x),(x,x,?
,x)∈D。
n1n122
3、二次函数的几何意义:
由点集D所形成的一张曲面。
如z=ax+by+c的图形
22+y为一张平面,而的图形是旋转抛物线。
z=x
4、极限:
(1)定义:
设二元函数f(p)=f(x,y)的定义域D,p0(x0,y0)是D的聚
点D,如果存在函数A对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点p(x,y)∈D∩∪(p0,δ)时,都有Ⅰf(p)-AⅠ=Ⅰf(x,y)-AⅠ﹤ε成立,那么就称常数A
为函数f(x,y)当(x,y)→(x,y)时的极限,记作00
limf(x,y)A
(x,y)(x,y)00
多元函数的连续性与不连续的定义
5、有界闭合区域上二元连续函数的性质:
(1)在有界闭区域D上的多元连续函数,必定在D上有界,且能取得它的最大值和最小值;
(2)在有界区域
D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
6、偏导数:
设有二元函数z=f(x,y),点(x,y)是其定义域D内一点。
把y固定在y000而让x在x0有增量△x,相应地函数z=f(x,y)有增量(称为对x/y的偏增量)如果△z与△x/△y之比当△x→0/△y→0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x/y的偏导数记作
6
----
-----
f(x)f(x,y)
x,y0000)f(x,ylim0x0xx0
f(x,y,y)f(xy)0000)(x,yflim0y0y0y
7、混合偏导数定理:
如果函数的两个二姐混合偏导数和f(x,y)在D(x,y)fyxxy内连续,那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。
coscosfff其中为、方向导数:
的方向角。
l8yxl
9、全微分:
如果函数z=f(x,在(x,y)处的全增量△z=f(x△x,y△y)-f(x,y)y)
可以表示为△z=A△x+B△y+o(ρ),其中A、B不依赖于△x,△y,仅与x,y有关,
当Ρ→0,此时称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微分,A△x+B△y称为函数
在点(x,y)处的全微分,记为z=f(x,y)zzdydxdz
xy
(二)性质
1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
12
偏导数连续函数可微偏导数存在必要条件充分条件
4
2定义
3
函数连续
微分法
ux)定义:
1
z
)复合函数求导:
链式法则2
7
----
-----
vyv(x,y)f(u,v),u
u(x,y),v
z
,则若
zuzzvzzuvz
,vxyu
xv
u
yyx
3)隐函数求导:
两边求偏导,然后解方程(组)
(三)应用
1、极值
zf(x,y)1)无条件极值:
求函数的极值
f0x
0f(x,y),令求出所有驻点,对于每一个驻点解方程组y00
Af(x,y)Bf(x,y)Cf(x,y),,,0xy0yy000xx0
2BA0AC0,函数有极小值,①若,
2B00AAC,函数有极大值;若,
2BAC0②若,函数没有极值;
2BAC0③若,不定。
zf(x,y)(x,y)0下的极值)条件极值:
求函数在条件2
L(x,y)f(x,y)(x,y)令:
———Lagrange函数
L0x
L0解方程组y
(x,y)0
2、几何应用
1)曲线的切线与法平面
xx(t)
y(t),则,y,z)(对应参数为t)处的M(x上一点曲线:
y0000
z(t)z8
----
-----
xxzzyy000
)x(t切线方程为:
)z(ty(t)000
)(x)0)(zzy(t)(yy)z(tx)x(t法平面方程为:
000000
)曲面的切平面与法线2
:
F(x,y,z)0处的切平面方程为:
y,z)M(x上一点曲面,则000
)0(x,y,z)(zz,z)(xx)F(x,y,z)(yy)FF(x,y000y0000000z0x0
xxzzyy000法线方程为:
),y,z(xF(x,y,z)
F),y,zF(x00x0000y00z0
重积分第十章
(一)二重积分
n)limf(f(x,y)d,、定义:
1kkk0
Dk1
条)62、性质:
(
、几何意义:
曲顶柱体的体积。
3
、计算:
4
)直角坐标1
(x)(x,y)(x)yD12,
bxa
(x)b2f(x,y)dxdyf(x,y)dydx
(x)a1D
(y)(y)x12(x,y)D,ycd
9
----
-----
d(y)
2dyf(x,y)dxdyf(x,y)dx
(y)c1
D
2)极坐标
()()21D(,)
(
)2f(
cos,sin)f(x,y)dxdydd
)(1
D
(二)三重积分nf(,,)vlim1f(x,y,z)dv、定义:
kkkk0k12、性质:
3、计算:
1)直角坐标z(x,y)2f(x,y,z)dvdxdyf(x,y,z)dz“先一后二”-------------D(x,y)z1bdzf(x,y,z)dxdyf(x,y,z)dv“先二后
DaZ一”2)柱面坐标xcos
siny,z)dddzf(cos,sinf(x,y,z)dv,
zz
3)球面坐标
10
----
-----
xrsincos
sinyrsin
rcosz
2sindrddsin,rcos)rf(rsinf(x,y,z)dvcos,rsin
(三)应用
f(x,y),(x,y)DS:
z的面积:
曲面
z2))dxdyzA1((2
Dyx
第十二章无穷级数
(一)常数项级数
1、定义:
uuuuu)无穷级数:
1n2n31
n1
Sn
部分和:
uuuuu,n32k1n
1k
u,u正项级数:
0nn
n1
nu,u01)交错级数:
(nn
n1SlimS)级数收敛:
若2存在,则称级数u收敛,否则称级数u发散nnn
nn1n1
3)绝对收敛:
u收敛,则u绝对收敛;nnn1n1
11
----
-----
条件收敛:
u收敛,而u发散,则u条件收敛。
nnnn1n1n1
定理:
若级数u绝对收敛,则u必定收敛。
nnn1n1
2、性质:
1)级数的每一项同乘一个不为零的常数后,不影响级数的收敛性;
(ab)收敛且,其和为nnσ,,则分别收敛于和s与2)级数a与bnn
n1n1n1
s+σ
3)在级数中任意加上、去掉或改变有限项,级数仍然收敛;
4)级数收敛,任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。
5)必要条件:
级数u收敛即limu0.nn
nn1
3、审敛法
u,u正项级数:
0nn
n1SlimS)定义:
1存在;n
n
2)u收敛S有界;nn
n1
v(n1,2,3,)u为正项级数,且v,u)比较审敛法:
nn3nn1n1n
v收敛,则u收敛;若u发散,则v发散.若nnnn
n1n1n1n1
mnm时,v为正项级数,若存在正整数,当,)比较法的推论:
u4nn
n1n1
mnmukv时,,当,而v收敛;若存在正整数u收敛,则nnnn
n11n
12
----
-----
ukv,而v发散,则u发散.nnnn
n1n1
p);②比较大小;1/np级数做题步骤:
①找比较级数(等比数列,调和数列,
③是否收敛。
5)比较法的极限形式:
设u,v为正项级数,nn
n1n1
u)unlim1,而收敛;ll(0)若(v收敛,则nn
vnn1nn1uunnlimlim20或)若(v发散,则u发散.,而nnvvnnnnn1n1lu
liml1时,级数,则当uu收6)比值法:
为正项级数,设nnn1
nunn11n
1时,级l1lu发散;当时,级数数敛;则当u可能收敛也可能发散.nn
n11nlnl,则当ulim1为正项级数,设u时,级数u7)根值法:
收敛;nnn
nn1n1
1时,级l1l数发散;当时,级数则当uu可能收敛也可能发散.nn
n1n1
limnu0limnu为正项级数,若8)极限审敛法:
u或,则级nnn
nnn1
p1p)limnu,则级数u收敛.,使得ll(0发散;若存在u数nnn
nn1n1
交错级数:
u0满足:
nu(n)1,2,3,,,uun1
(1)莱布尼茨审敛法:
交错级数:
nnn
n1
nlimuu收敛。
且0
(1),则级数nn
nn1
任意项级数:
uu绝对收敛,则收敛。
nn
n1n1
13
----
-----
收敛,q
1
naq常见典型级数:
几何级数:
发散,q1n0
收敛,p11p级数:
-p
n发散,p1n1
(二)函数项级数
、定义:
函数项级数1,收敛域,收敛半径,和函数;u(x)nn1
n2xa、幂级数:
n
n0
1,0
aR0,n1lim收敛半径的求法:
,则收敛半径ann,0
14
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