函数的图像第一课时 3Word文档格式.docx
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5.如果长期观察这样的气温图象,我们就能得到更多信息,掌握更多气温变化规律.
本节课我们一起来探究用描点法画出一些简单函数的图象,能根据函数图象所提供的信息获取函数的性质.
[设计意图] 利用旧知导入新课,学生比较容易接受和进一步学习新知.
导入二:
[过渡语] 我们在前面学习了函数意义,并掌握了函数关系式的确立.但有些函数问题很难用函数关系式表示出来,然而可以通过图来直观反映.例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系.即使对于能列式表示的函数关系,如果也能画图表示则会使函数关系更清晰.
如图,这是2014年3月23日上证指数走势图,你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的?
学生说出自己的观察情况.
图中,有一个直角坐标系,它的横轴表示时间;
它的纵轴表示上证指数.这一指数曲线实质上给出了3月23日的指数与时间的函数关系.例如,14:
30的指数是1746.26,表现在指数曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是(14:
30,1746.26).实质上也就是说,当时间是14:
30时,对应的函数值是1746.26.
上面指数走势图是用图象表示函数的一个实际例子.我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息.
[设计意图] 挖掘和利用现实生活中与函数图象有关的背景,让学生在观察中认识、理解函数的图象.
1.函数的图象
思路一
我们先来看这样一个问题:
正方形的边长x与面积S的函数关系是什么?
其中自变量x的取值范围是什么?
计算并填写下表:
x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
S
学生计算发现:
函数关系式为S=x2,因为x代表正方形的边长,所以自变量x>
0,将每个x的值代入函数关系式即可求出对应的S值.
教师启发:
好!
如果我们在直角坐标系中,将你所填表格中的自变量x及对应的函数值S当作一个点的横坐标与纵坐标,即可在坐标系中得到一些点.
大家思考一下,表示x与S的对应关系的点有多少个?
如果全在坐标纸中描出的话是什么样子?
可以讨论一下,然后发表你们的看法,建议大家不妨动手画画看.
学生在坐标纸中尝试描点,发现:
这样的点有无数个,如果全描出来太麻烦,也不可能.我们只能描出其中一部分,然后想象出其他点的位置,用光滑曲线连接起来.
教师点评:
很好!
这样我们就得到了一幅表示S与x关系的图.图中每个点都代表x的值与S的值的一种对应关系.如点(2,4)表示x=2时S=4.
归纳总结:
一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.上图中的曲线即为函数S=x2(x>
0)的图象.
思路二
请同学们阅读教材第75页,独立完成下面的问题.
画函数S=x2(x>
第一步:
列表
…
第二步:
描点:
以x的值为 坐标,相应的函数值为 坐标,描出表格中数值对应的各点.
第三步:
连线:
按照 坐标由小到大的顺序,把所描各点从左到右用平滑的曲线连接起来.
注意:
原点要排除(为什么),从所画的图象上可以看出,曲线从左向右 ,即当x由小变大时,S随x的增大而 .
归纳:
一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 、 坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的 .
教师观察学生画图情况,参与小组讨论,引导学生归纳.一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.上图中的曲线即为函数S=x2(x>
2.用描点法画函数的图象
要做一个面积为12m2的长方形小花坛,该花坛的一边长为xm,周长为ym.
(1)变量y是变量x的函数吗?
如果是,写出自变量的取值范围;
(2)能求出这个问题的函数解析式吗?
(3)当x的值分别为1,2,3,4,5,6时,请列表表示变量之间的对应关系;
(4)能画出函数的图象吗?
师生分析,共同完成解答.
(1)由于面积一定的长方形,当一条边长为xm时,另一条边长可以用x表示出来,那么长方形的周长y随着x的变化而变化,由函数的定义可知,y是x的函数,自变量x的取值范围是x>
0.
(2)由长方形的面积公式可得,另一条边长为m,周长为y=2
x+
m.
(3)列表:
x/m
5
6
y/m
26
16
14
14.8
(4)描点,连线,如图所示.
用描点法画函数图象的一般步骤:
列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;
第二步:
描点——在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;
连线——按照横坐标由小到大的顺序,把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
[设计意图] 根据函数图象的画法,让学生充分体会图象的作法和步骤.
[过渡语] 我们一起来试一试如何画函数图象.
画y=(x>
0)的图象:
列表:
y=(x>
0)
观察:
从所画的图象上可以看出,曲线从左向右 ,即当x由小变大时,y随x的增大而 .
学生画图后,同桌交流,并与教材78页对照检查是否相同.
教师引导学生观察图象,曲线从左向右下降,即当x由小到大时,y=(x>
0)随之减小.
你能总结下用描点法画图的步骤吗?
学生总结后,阅读教材79页内容.
[知识拓展] 画实际问题的图象时,必须先考虑函数自变量的取值范围.有时为了表达的方便,建立直角坐标系时,横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致.
3.例题讲解
(教材例3)在下列式子中,对于x的每一个确定的值,y有唯一的对应值,即y是x的函数.画出这些函数的图象:
(1)y=x+0.5;
(2)y=(x>
0).
解:
(1)从式子y=x+0.5可以看出,x取任意实数时这个式子都有意义,所以x的取值范围是全体实数.
从x的取值范围中选取一些数值,算出y的对应值,列表(计算并填写表中空格).
-3
-2
-1
y
-0.5
根据表中数值描点(x,y),并用平滑曲线连接这些点.
从函数图象可以看出,直线从左向右上升,即当x由小变大时,y=x+0.5随之增大.
列表(计算并填写表中空格).
根据表中数值描点(x,y),并用平滑曲线连接这些点.
(补充)王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习,在某处按函数关系式y=-x2+x击球,球正好进洞.其中,y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离.
(1)试画出高尔夫球飞行的路线;
(2)从图象上看,高尔夫球的最大飞行高度是多少?
球的起点与洞之间的距离是多少?
〔解析〕
(1)高尔夫球飞行的路线,也就是函数y=-x2+x的图象,用描点法画出图象.在列表时要注意自变量x的取值范围,因为x是球飞出的水平距离,所以x不能取负数.在建立直角坐标系时,横轴(x轴)表示球飞出的水平距离,纵轴(y轴)表示球的飞行高度.
(2)高尔夫球的最大飞行高度就是图象上最高点对应的y值(如图点P),球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点,如图点O和点A,点O和点A横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离.
(1)列表如下:
7
8
1.4
2.4
3.2
在直角坐标系中,描点、连线,便可得到这个函数的大致图象,如图所示.
(2)高尔夫球的最大飞行高度是3.2m,球的起点与洞之间的距离是8m.
(教材例2)如图
(1)所示,小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐,接着去图书馆读报,然后回家.图
(2)反映了这个过程中,小明离家的距离y与时间x之间的对应关系.
根据图象回答下列问题:
(1)食堂离小明家多远?
小明从家到食堂用了多少时间?
(2)小明吃早餐用了多少时间?
(3)食堂离图书馆多远?
小明从食堂到图书馆用了多少时间?
(4)小明读报用了多少时间?
(5)图书馆离小明家多远?
小明从图书馆回家的平均速度是多少?
〔解析〕 小明离家的距离y是时间x的函数.由图象中有两段平行于x轴的线段可知,小明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里.
(1)由纵坐标看出,食堂离小明家0.6km;
由横坐标看出,小明从家到食堂用了8min.
(2)由横坐标看出,25-8=17,小明吃早餐用了17min.
(3)由纵坐标看出,0.8-0.6=0.2,食堂离图书馆0.2km;
由横坐标看出,28-25=3,小明从食堂到图书馆用了3min.
(4)由横坐标看出,58-28=30,小明读报用了30min.
(5)由纵坐标看出,图书馆离小明家0.8km;
由横坐标看出,68-58=10,小明从图书馆回家用了10min,由此算出平均速度是0.08km/min.
[归纳总结] 在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义.然后观察图形,分析两变量的相互关系,结合题意寻找对应的现实情境.
师生共同总结:
1.一般地,对于一个函数,若把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标,则坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
2.函数的图象
(1)用描点法画函数图象的一般步骤是:
①列表;
②描点;
③连线.
(2)当函数图象从左向右上升时,函数值随自变量的变大而变大;
当函数图象从左向右下降时,函数值随自变量的变大而变小.
1.在某次试验中,测得两个变量m与v之间的4组对应数据如下表:
m
v
0.01
2.9
8.03
15.1
则m与v之间的关系最接近于下列各关系中的 ( )
A.v=2m-2 B.v=m2-1
C.v=3m-3 D.v=m+1
解析:
将试验中的数据依次代入A,B,C,D四个关系式中检验.故选B.
2.甲、乙两人以相同路线前往距离单位10千米的培训中心参加学习.图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s(千米)与时间t(分钟)的函数关系.以下说法:
①乙比甲提前12分钟到达;
②甲的平均速度为15千米/时;
③乙走了8千米后遇到甲;
④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有 ( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
根据图象可以看出乙比甲晚出发18分钟,但比甲早到12分钟,①正确;
甲的平均速度是10÷
=15(千米/时),②正确;
乙的平均速度是10÷
=60(千米/时),设甲出发x小时后与乙相遇,则15x=60
x-
解得x=,×
60=24(分钟),故乙出发24-18=6(分钟)后追上甲,④正确;
相遇时,乙走了60×
-
=6(千米),③错误.故正确的有①②④,共3个.故选B.
3.1~6个月的婴儿生长发育得非常快,他们的体重y(克)和月龄x(月)之间的关系可以用y=a+700x表示,其中a是婴儿出生时的体重.若一个婴儿出生时的体重是4000克,请用表格表示在1~6个月内,这个婴儿的体重y与x之间的关系:
月龄/月
体重/克
解析:
由题意知函数关系式是y=4000+700x,然后把x的值分别代入即可求y的值.
答案:
4700
5400
6100
6800
7500
8200
4.已知矩形的周长是8cm,设一边长为xcm,与其相邻的一边长为ycm.
(1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)在图中作出函数的图象.
(1)∵矩形的周长是8cm,∴2x+2y=8,∴y=4-x,自变量x的取值范围是0<
x<
4.
(2)所作函数图象如图所示.
5.小明从家里出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会报后,继续散步了一段时间,然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分)之间的函数关系.请你由图具体说明小明散步的情况.
从图中可发现函数图象分成四段,因此说明小明散步的情况应分成四个阶段.线段OA:
O点的坐标是(0,0),因此O点表示小明这时从家里出发,然后随着t值的增大,s值也逐渐增大(散步所用时间越长,离家的距离越大),最后到达A点,A点的坐标是(3,250),说明小明走了约3分钟到达离家250米处的一个阅报栏.线段AB:
观察这一段图象可发现t值在增大而s值保持不变(小明这段时间离家的距离没有改变),B点横坐标是8,说明小明在阅报栏前看了5分钟报.线段BC:
观察这一段图象可发现随着t值的增大,s值又逐渐增大,最后到达C点,C点的坐标是(10,450),说明小明看了5分钟报后,又向前走了2分钟,到达离家450米处.线段CD:
观察这一段图象可发现随着t值的增大,而s值逐渐减小(10分钟后散步所用时间越长,离家的距离越小),说明小明在返回,最后到达D点,D点的纵坐标是0,表示小明已到家.这一段图象说明从离家450米处返回到家小明走了6分钟.
小明先走了约3分钟,到达离家250米处的一个阅报栏前看了5分钟报,又向前走了2分钟,到达离家450米处返回,走了6分钟到家.
第1课时
1.函数图象
2.用描点法画函数图象
一、教材作业
【必做题】
教材第79页练习第1,2,3题;
教材第81页习题19.1第2题.
【选做题】
教材第82页习题19.1第7题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·
自贡中考)小刚以400米/分的速度匀速骑车5分,在原地休息了6分,然后以500米/分的速度骑回出发地.下列函数图象能表达这一过程的是 ( )
2.某人购进一批苹果,到集贸市场零售,已知卖出的苹果质量x(kg)与收入y(元)的关系如下表:
质量x(kg)
收入y(元)
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
则收入y(元)与卖出质量x(kg)之间的函数解析式为 ( )
A.y=2x+0.1 B.y=2x
C.y=2x+0.5 D.y=2.1x
3.(2015·
河南中考)如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1,O2,O3……组成一条平滑的曲线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒个单位长度,则第2015秒时,点P的坐标是 ( )
A.(2014,0) B.(2015,-1)
C.(2015,1) D.(2016,0)
4.“龟兔首次赛跑”之后,输了比赛的兔子没有气馁,总结反思后,和乌龟约定再赛一场.图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事(x表示乌龟从起点出发所行的时间,y1表示乌龟所行的路程,y2表示兔子所行的路程).下列说法:
①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米;
②兔子和乌龟同时从起点出发;
③乌龟在途中休息了10分钟.其中正确的说法是 (把你认为正确说法的序号都填上).
【能力提升】
5.设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶,开始甲车在乙车的前面,当乙车追上甲车后,两车停下来,把乙车的货物转给甲车,然后甲车继续前行,乙车向原地返回.设x秒后两车间的距离为y米,y关于x的函数关系如图所示,则甲车的速度是 米/秒.
6.我们知道,海拔高度每上升1千米,温度下降6℃.某时刻,某地面温度为20℃,设高出地面x千米处的温度为y℃.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)已知某山峰高出地面约500米,求这时山顶的温度大约是多少摄氏度;
(3)此刻,有一架飞机飞过该地上空,若机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34℃,求飞机离地面的高度为多少千米.
【拓展探究】
7.如图所示,在一面靠墙的空地上,用长为24米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)若墙的最大可用长度为9米,求此时自变量x的取值范围.
【参考答案】
1.C(解析:
根据匀速行驶,可得离出发地的距离随时间匀速增加,根据原地休息,可得离出发地的距离不变,根据加速返回,可得离出发地距离随时间逐渐减少,可得答案.由题意得以400米/分的速度匀速骑车5分,离出发地的距离随时间匀速增加;
在原地休息了6分,离出发地的距离不变;
以500米/分的速度骑回出发地,离出发地的距离逐渐减少.故选C.)
2.D(解析:
认真观察表格中自变量与函数值之间的数量关系,由此来确定函数解析式.)
3.B(解析:
半径为1个单位长度的半圆的周长为×
2π×
1=π,∵点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒个单位长度,∴点P1秒走个半圆,当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为1秒时,点P的坐标为(1,1),当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为2秒时,点P的坐标为(2,0),当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为3秒时,点P的坐标为(3,-1),当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为4秒时,点P的坐标为(4,0),当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为5秒时,点P的坐标为(5,1),当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为6秒时,点P的坐标为(6,0),…,∵2015÷
4=503……3,∴第2015秒时,点P的坐标是(2015,-1).故选B.)
4.①③(解析:
根据图象可知龟兔再次赛跑的路程为1000米,故①正确;
兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑,故②错误;
乌龟在30~40分钟时所行的路程为0米,故这10分钟乌龟没有跑,在休息,故③正确.综上可得①③正确.)
5.20(解析:
设甲车的速度是v米/秒,乙车的速度是u米/秒,由图象可得方程组解得)
6.解:
(1)y=20-6x(x≥0).
(2)500米=0.5千米,当x=0.5时,y=20-6×
0.5=17.答:
这时山顶的温度大约是17℃. (3)当y=-34时,-34=20-6x,解得x=9.答:
飞机离地面的高度为9千米.
7.解:
(1)S=BC·
AB=(24-3x)x=-3x2+24x,由题意得解得0<
8.
(2)∵24-3x≤9,∴x≥5,结合
(1),得5≤x<
8.
根据新课标的评价理念,教师在课堂中应尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需求,培养学生探索方式、表达方式和解题方法的多样化.
在教学活动中教师没有关注学生的参与程度和表现出来的思维水平,应关注的是学生对概念的理解水平和学生的语言表达能力.
在教学过程中,注意通过对以前学过的“变量之间的关系”的回顾与思考,力求提供生动有趣的问题情境,激发学生的学习兴趣,并通过层层深入的问题设计,引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数学活动.
练习(教材第79页)
1.解:
(1)如图所示.
(2)将x=-2.5代入y=2x-1,得y=-6≠
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