人教版八下数学1912函数的图像课时2 函数的表示方法教案+学案Word文档格式.docx
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伸长量(厘米)
0.5
1.5
总长度(厘米)
10.5
11
11.5
12
(1)要想使弹簧伸长5厘米,应挂重物多少克?
(2)当所挂重物为x克时,用h厘米表示总长度,请写出此时弹簧的总长度的函数表达式.
(3)当弹簧的总长度为25厘米时,求此时所挂重物的质量为多少克.
解析:
(1)根据挂重物每克伸长0.5厘米,要伸长5厘米,可得答案;
(2)根据挂重物与弹簧伸长的关系,可得函数解析式;
(3)根据函数值,可得所挂重物质量.
解:
(1)5÷
0.5×
1=10(克),
答:
要想使弹簧伸长5厘米,应挂重物10克;
(2)函数的表达式:
h=10+0.5x(0≤x≤50);
(3)当h=25时,25=10+0.5x,x=30,
当弹簧的总长度为25厘米时,此时所挂重物的质量为30克.
方法总结:
列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值,简洁明了.列表法在实际生产和生活中也有广泛应用.如成绩表、银行的利率表等.
【类型二】用图象法表示函数关系
例2如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程,汽车离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的关系,请根据图象回答下列问题:
(1)汽车共行驶的路程是多少?
(2)汽车在行驶途中停留了多长时间?
(3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少?
(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回,则返回用了多长时间?
根据图象解答即可.
(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米,往返共行驶的路程是120×
2=240(千米);
(2)由横坐标看出2-1.5=0.5(小时),故汽车在行驶途中停留了0.5小时;
(3)由纵坐标看出汽车到达B点时的路程是80千米,由横坐标看出到达B点所用的时间是1.5小时,由此算出平均速度80÷
1.5=
(千米/时);
由纵坐标看出汽车从B到C没动,此时速度为0千米/时;
由横坐标看出汽车从C到D用时3-2=1(小时),从纵坐标看出行驶了120-80=40(千米),故此时的平均速度为40÷
1=40(千米/时);
由纵坐标看出汽车返回的路程是120千米,由横坐标看出用时4.5-3=1.5(小时),由此算出平均速度120÷
1.5=80(千米/时);
(4)由横坐标看出4.5-3=1.5小时,返回用了1.5小时.
图象法的优点是直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势,有利于我们通过图象来研究函数的性质.图象法在生产和生活中有许多应用,如企业生产图,股票指数走势图等.
【类型三】用解析式法表示函数关系
例3一辆汽车油箱内有油48升,从某地出发,每行1千米,耗油0.6升,如果设剩余油量为y(升),行驶路程为x(千米).
(1)写出y与x的关系式;
(2)这辆汽车行驶35千米时,剩油多少升?
汽车剩油12升时,行驶了多千米?
(3)这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶多少千米?
(1)根据总油量减去用油量等于剩余油量,可得函数解析式;
(2)根据自变量,可得相应的函数值,根据函数值,可得相应自变量的值;
(3)令y=0,求出x即可.
(1)y=-0.6x+48;
(2)当x=35时,y=48-0.6×
35=27,∴这辆车行驶35千米时,剩油27升;
当y=12时,48-0.6x=12,解得x=60,∴汽车剩油12升时,行驶了60千米;
(3)令y=0,-0.6x+48=0,解得x=80,即这辆车在中途不加油的情况下最远能行驶80km.
解析式法有两个优点:
一是简明、精确地概括了变量间的关系;
二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.
知识点二:
函数表示方法的综合运用
【类型一】分段函数及其表示
例4为了节能减排,鼓励居民节约用电,某市将出台新的居民用电收费标准:
(1)若每户居民每月用电量不超过100度,则按0.50元/度计算;
(2)若每户居民每月用电量超过100度,则超过部分按0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算).现假设某户居民某月用电量是x(单位:
度),电费为y(单位:
元),则y与x的函数关系用图象表示正确的是( )
根据题意,当0≤x≤100时,y=0.5x;
当x>100时,y=100×
0.5+0.8(x-100)=50+0.8x-80=0.8x-30,所以,y与x的函数关系为y=
纵观各选项,只有C选项图形符合.故选C.
根据图象读取信息时,要把握住以下三个方面:
①横、纵轴的意义,以及横、纵轴分别表示的量;
②要求关于某个具体点,向横、纵轴作垂线来求得该点的坐标;
③在实际问题中,要注意图象与x轴、y轴交点坐标代表的具体意义.
【类型二】函数与图形面积的综合运用
例5如图①所示,矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,y关于x的函数图象如图②所示.
(1)求矩形ABCD的面积;
(2)求点M、点N的坐标;
(3)如果△ABP的面积为矩形ABCD面积的
,求满足条件的x的值.
(1)点P从点B运动到点C的过程中,运动路程为4时,面积发生了变化且面积达到最大,说明BC的长为4;
当点P在CD上运动时,△ABP的面积保持不变,就是矩形ABCD面积的一半,并且运动路程由4到9,说明CD的长为5.然后求出矩形的面积;
(2)利用
(1)中所求可得当点P运动到点C时,△ABP的面积为10,进而得出M点坐标,利用AD,BC,CD的长得出N点坐标;
(3)分点P在BC、CD、AD上时,分别求出点P到AB的距离,然后根据三角形的面积公式列式即可求出y关于x的函数关系式,进而求出x即可.
(1)结合图形可知,P点在BC上,△ABP的面积为y增大,当x在4~9之间,△ABP的面积不变,得出BC=4,CD=5,∴矩形ABCD的面积为4×
5=20;
(2)由
(1)得当点P运动到点C时,△ABP的面积为10,则点M的纵坐标为10,故点M坐标为(4,10).∵BC=AD=4,CD=5,∴NO=13,故点N的坐标为(13,0);
(3)当△ABP的面积为矩形ABCD面积的
,则△ABP的面积为20×
=4.
①点P在BC上时,0≤x≤4,点P到AB的距离为PB的长度x,y=
AB·
PB=
×
5x=
,令
=4,解得x=1.6;
②点P在CD上时,4≤x≤9,点P到AB的距离为BC的长度4,y=
5×
4=10(不合题意,舍去);
③点P在AD上时,9≤x≤13时,点P到AB的距离为PA的长度13-x,y=
PA=
(13-x)=
(13-x),令
(13-x)=4,解得x=11.4,
综上所述,满足条件的x的值为1.6或11.4.
函数图象与图形面积是运用数形结合思想的典型问题,图象应用信息广泛,通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力.用图象解决问题时,要理清图象的含义.
三、教学小结
师生共同回顾本节课所学的主要内容:
1.函数的三种不同的表示方法:
列表法、解析式法和图象法.
2.三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法.其优缺点如下:
表示方法
含义
优缺点
列表法
用表格形式列出自变量与因变量对应的取值,表示函数两个变量之间的关系
优点:
能明确地显示出自变量的值和与之对应的函数值
缺点:
不能反映出函数的全貌
图象法
用图象表示两个变量之间的函数关系
能直观地显示出数据的变化规律
画出的图象多为近似的、局部的,由图象确定的函数值往往不够准确
解析式法
用含自变量的各种数学算式构成的式子表示的方法
能准确、规范且简明扼要地表示函数
并非所有函数都可以用
【板书设计】
课时2函数的表示方法
1.函数的三种表示方法
(1)列表法;
(2)图象法;
(3)解析式法.
2.函数表示方法的综合运用
3.例题讲解:
【学习检测】
1.已知长方形的面积为4,一条边长为x,另一边长为y,则用x表示y的函数解析式为 .
解析:
根据长方形面积公式,得xy=4,即y=.故填y=.
2.科学家研究发现,声音在空气中传播的速度y(米/秒)与气温x(℃)有关,当气温是0℃时,音速是331米/秒;
当气温是5℃时,音速是334米/秒;
当气温是10℃时,音速是337米/秒;
当气温是15℃时,音速是340米/秒;
当气温是20℃时,音速是343米/秒;
当气温是25℃时,音速是346米/秒;
当气温是30℃时,音速是349米/秒.
(1)请你用表格表示气温与音速之间的关系;
(2)表格反映了哪两个变量之间的关系?
哪个是自变量?
哪个是因变量?
(3)当气温是35℃时,估计音速y可能是多少?
(4)能否用一个式子来表示两个变量之间的关系?
解:
(1)列表如下:
x(℃)
5
10
15
20
25
30
y(米/秒)
331
334
337
340
343
346
349
(2)两个变量是:
传播的速度和温度;
温度是自变量,传播的速度是因变量. (3)当气温是35℃时,估计音速y可能是352米/秒. (4)根据表格中数据可得出:
温度每升高5℃,传播的速度增加3米/秒,当x=0,y=331,故两个变量之间的关系式为y=331+x.
【教学反思】
在本节函数表示法的教学中,其难点在于针对不同的问题如何选择这三种方法进行表示.针对这个问题,可通过引导学生对例子比较来解决.这样学生通过对不同例子的比较就能很好的区分这三种方法的特点,并能选择合适的方法.这节课的另一个目标是让学生了解分段函数,通过两个例子的介绍,能理解分段函数并按要求进行求值.
人教版八年级下册数学第19章平行四边形
课时2函数的表示方法学案
【学习目标】
1.了解函数的三种表示方法及其优点;
2.能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系;
3.能对函数关系进行分析,对变量的变化情况进行初步讨论.
会表示简单实际问题中的变量之间的函数关系.
能对函数关系进行分析.
【自主学习】
一、知识链接
什么是函数、自变量?
画一个函数的图象一般有哪些步骤?
二、新知预习
1.购买一些铅笔,单价为1.5元/支,总价y元随铅笔支数x变化.
(1)完成下列表格;
x
6
y
(2)写出y与x之间的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)在平面直角坐标系中画出函数图象;
2.知识归纳:
函数的表示方法有、、.
三、自学自测
1.一枝蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧掉5厘米,则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h(厘米)与点燃时间t之间的函数关系的是( ).
2.据测试:
拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水,每滴水约0.05毫升.小康同学洗手后,没有把水龙头拧紧,水龙头以测试的速度滴水,当小康离开x分钟后,水龙头滴出y毫升的水,请写出y与x之间的函数关系式是.
四、我在自学过程中产生的疑惑
【新知探究】
一、新知梳理
知识点:
问题1:
下图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线,气温T是不是时间t的函数?
这里是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的?
问题2:
正方形的面积S与边长x的取值如下表,面积S是不是边长x的函数?
这里是怎样表示正方形面积S与边长x之间的函数关系的?
9
16
36
问题3:
某城市居民用的天然气,1m3收费2.88元,使用x(m3)天然气应缴纳的费用y(元)为y=____________.y是不是x的函数?
问题4:
以上三种表示函数的方法各有什么优点?
要点归纳:
1.____________法:
准确地反映了函数与自变量之间的数量关系.
2.____________法:
具体地反映了函数与自变量的数值对应关系.
3.____________法:
直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律.
【典例探究】
例1如图,要做一个面积为12m2的小花坛,该花坛的一边长为xm,周长为ym.
(1)变量y是变量x的函数吗?
如果是,写出自变量的取值范围;
(2)能求出这个问题的函数解析式吗?
(3)当x的值分别为1,2,3,4,5,6时,请列表表示变量之间的对应关系;
(4)能画出函数的图象吗?
例2:
已知火车站托运行李的费用C(元)和托运行李的重量P(千克)(P为整数)的对应关系如表:
P
...
C
2.5
3.5
(1)已知小周的所要托运的行李重12千克,请问小周托运行李的费用为多少元?
(2)写出C与P之间的函数解析式.
(3)小李托运行李花了15元钱,请问小李的行李重多少千克?
【跟踪练习】
已知等腰三角形的面积为30cm2,设它的底边长为xcm,底边上的高为ycm
(1)求底边上的高y随底边长x变化的函数解析式.并求自变量的取值范围.
(2)当底边长为10cm时,底边上的高是多少cm?
二、归纳总结
概念
通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系.
用数学式子表示函数关系.
把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,顺次连接这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
优点
对表中已有自变量的每一个值,可一目了然地得出对应的函数值
能准确地反映自变量与函数的对应关系
能直观、形象地反映函数关系变化的趋势
缺点
列出对应值是有限的,不易得出自变量和函数之间的对应规律
不是所有函数都能用函数解析式表示出来
由自变量的值往往难以找到对应函数的准确值
1.小明所在学校与家距离为2千米,某天他放学后骑自行车回家,行驶了5分钟后,因故停留10分钟,继续骑了5分钟到家.如图,能大致描述他回家过程中离家的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的关系图象是()
2.某工厂投入生产一种机器,每台成本y(万元/台)与生产数量x(台)之间是函数关系,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x(单位:
台)
y(单位:
万元/台)
60
55
50
则y与x之间的关系式是()
A.y=80-2xB.y=40+2xC.
D.
3.已知方程x-3y=12,用含x的代数式表示y是 .
y=x-4(解析:
要用含x的代数式表示y,就要将二元一次方程变形,用一个未知数表示另一个未知数.先移项,再将系数化为1即可.移项,得-3y=12-x,系数化为1,得y=x-4.)
4.日常生活中,“老人”是一个模糊概念.可用“老人系数”表示一个人的老年化程度.“老人系数”的计算方法如下表:
人的年龄x(岁)
x≤60
60<
x<
80
x≥80
“老人系数”
按照这样的规定,“老人系数”为0.6的人的年龄是 岁.
72(解析:
∵“老人系数”为0.6,∴由表得60<
80,即=0.6,解得x=72,故“老人系数”为0.6的人的年龄是72岁.)
5.王楠设计一个计算程序,输入和输出的数据如下表所示:
那么当输入数据是正整数n时,输出的数据是 .
输入数据
输出数据
(解析:
∵各个式子分子是输入的数据,分母是其3倍减1,
∴当输入数据是正整数n时,输出的数据是
.)
6.用列表法与解析式法表示n边形的内角和m(单位:
度)是边数n的函数.
7.用解析式法与图象法表示等边三角形的周长
是边长a的函数.
8.某电动车厂2014年各月份生产电动车的数量情况如下表:
时间x/月
7
8
月产量y/万辆
8.5
9.5
(1)为什么称电动车的月产量y为因变量?
它是谁的因变量?
(2)哪个月份电动车的产量最高?
哪个月份电动车的产量最低?
(3)哪两个月份之间产量相差最大?
根据这两个月的产量,电动车厂的厂长应该怎么做?
解:
(1)电动车的月产量y是随着时间x的变化而变化的,有一个时间就有唯一一个y,故月产量是时间的因变量.
(2)六月份产量最高,一月份产量最低. (3)六月份和一月份相差最大,在一月份加紧生产,实现产量的增值.
9.一条小船沿直线向码头匀速前进.在0min,2min,4min,6min时,测得小船与码头的距离分别为200m,150m,100m,50m.小船与码头的距离是时间的函数吗?
如果是,写出函数的解析式,并画出函数图象.
10.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:
分)之间有如下关系:
(其中0≤x≤20)
提出概念所用的时间(x)
13
14
17
对概念的接受能力(y)
47.8
53.5
56.3
59.0
59.8
59.9
58.3
55.0
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系?
(2)当提出概念所用的时间是5分钟时,学生的接受能力是多少?
(3)根据表格中的数据,你认为提出概念几分钟时,学生的接受能力最强?
(4)从表中可知,当时间x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?
当时间x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?
(1)提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量之间的关系.
(2)当时间是5分钟时,学生的接受能力是53.5. (3)当提出概念用13分钟时,学生的接受能力最强. (4)当2≤x≤13时,y值逐渐增大,学生的接受能力逐步增强;
当13<
x≤20时,y值逐渐减小,学生的接受能力逐步降低.
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