课题二次函数的概念课型新授.docx
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课题二次函数的概念课型新授
课题二次函数的概念课型新授
教学目标1.使学生理解二次函数的概念.
2.使学生掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法,并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围.
3.为分散后面教学的难点,可在本节解决较简单的用待定系数法确定二次函数解析式的问题.
重点和难点重点:
对二次函数概念的理解.
难点:
由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.
教具准备投影片
师生活动过程备注
一、情景创设
1.什么叫函数?
它有几种表示方法?
2.什么叫一次函数?
(y=kx+b)自变量是什么?
函数是什么?
常量是什么?
为什么要有k≠0的条件?
k值对函数性质有什么影响?
(复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念,加深对函数定义的理解.强调k≠0的条件,以备与二次函数中的a进行比较.)
二、实践与探索
函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系,我们已学过正比例函数,反比例函数和一次函数.看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.
例1正方形的边长是x,面积y与边长x之间的函数关系如何表示?
解:
函数关系式是y=x2(x>0)(写在黑板上)
例2农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示?
解:
函数关系式是y=50(1+x)2,即y=50x2+100x+50(写在黑板上)
由以上两例,启发学生归纳出
(1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征).
(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同).
三、讲解新课
二次函数的定义:
形如y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的函数叫做二次函数.
巩固对二次函数概念的理解:
1.强调“形如”,即由形来定义函数名称.二次函数即y是关于x的二次多项式.
2.在y=ax2+bx+c中自变量是x,它的取值范围是一切实数.但在实际问题中,自变量的取值范围是使实际问题有意义的值.如例1中,x>0.
3.在y=50x2+100x+50中,a=50,b=100,c=50.
4.为什么二次函数定义中要求a≠0?
(若a=0,ax2+bx+c就不是关于x的二次多项式了)
5.b和c是否可以为零?
由例1可知,b和c均可为零.
若b=0,则y=ax2+c;若c=0,则y=ax2+bx;若b=c=0,则y=ax2.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式,而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式.
四、巩固新课
例1下列函数中哪些是二次函数?
哪些不是?
若是二次函数,指出a、b、c.
(1)y=1-3x2;
(2)y=x(x-5); (3)y=3x(2-x)+3x2; (4)y=(x+2)(2-x);
(5)y=x4+2x2+1.(可指出y是关于x2的二次函数)
例2.m取哪些值时,函数是以x为自变量的二次函数?
分析若函数是二次函数,须满足的条件是:
.
解若函数是二次函数,则.解得,且.因此,当,且时,函数是二次函数.
回顾与反思形如的函数只有在的条件下才是二次函数.
探索若函数是以x为自变量的一次函数,则m取哪些值?
延伸:
已知函数是二次函数,求m的值.
例3.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.
(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系;
(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系;
(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系;
(4)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系.
例4.篱笆墙长30m,靠墙围成一个矩形花坛,写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
例5.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=0时,y=0;x=1时,y=2;x=-1时,y=1.求a、b、c,并写出函数解析式.
五、布置作业
1.在长20cm,宽15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形,写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm)之间的函数关系,并注明自变量的取值范围.
2.已知二次函数y=4x2+5x+1,求当y=0时的x的值.
3.已知二次函数y=x2-kx-15,当x=5时,y=0,求k.
4.已知二次函数y=ax2+bx+c中,当x=0时,y=2;当x=1时,y=1;当x=2时,y=-4,试求a、b、c的值
5.当k为何值时,函数为二次函数?
上课日期月日星期总第课时
课题二次函数的图象与性质
(1)——二次函数y=ax2的图象课型新授
教学目标1.使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象.
2.使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识.
3.进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育.
重点和难点重点:
会用描点法画二次函数y=ax2的图象,掌握它的性质.
难点:
渗透数形结合思想.
教具准备投影片
师生活动过程备注
一、情境导入
我们已经知道,一次函数,反比例函数的图象分别是、,那么二次函数的图象是什么呢?
(1)描点法画函数的图象前,想一想,列表时如何合理选值?
以什么数为中心?
当x取互为相反数的值时,y的值如何?
(2)观察函数的图象,你能得出什么结论?
二、新课
例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点?
有何不同点?
(1)
(2)
共同点:
都以y轴为对称轴,顶点都在坐标原点.
不同点:
的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升.
的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降.
回顾与反思
:
在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接.
例3.已知正方形周长为Ccm,面积为Scm2.
(1)求S和C之间的函数关系式,并画出图象;
(2)根据图象,求出S=1cm2时,正方形的周长;
(3)根据图象,求出C取何值时,S≥4cm2.
分析此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C的取值应在取值范围内.
解
(1)由题意,得.
列表:
C2468…
14…
描点、连线,图象如图26.2.2.
(2)根据图象得S=1cm2时,正方形的周长是4cm.
(3)根据图象得,当C≥8cm时,S≥4cm2.
回顾与反思
(1)此图象原点处为空心点.
(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y.
(3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分.
补充例题
1.已知点M(k,2)在抛物线y=x2上,
(1)求k的值.
(2)点N(k,4)在抛物线y=x2上吗?
(3)点H(-k,2)在抛物线y=x2上吗?
2.已知点A(3,a)在抛物线y=x2上,
(1)求a的值.
(2)点B(3,-a)在抛物线y=x2上吗?
三、小结
1.抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴,顶点是原点.
2.a>0时,抛物线y=ax2的开口向上.
3.a<0时,抛物线y=ax2的开口向下.
四、作业:
1、已知函数是二次函数,求m的值.
2、已知二次函数,当x=3时,y=-5,当x=-5时,求y的值.
3、已知一个圆柱的高为27,底面半径为x,求圆柱的体积y与x的函数关系式.若圆柱的底面半径x为3,求此时的y.
4、用一根长为40
cm的铁丝围成一个半径为r的扇形,求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式.这个函数是二次函数吗?
请写出半径r的取值范围.
五、教学注意问题
1.注意渗透分类讨论思想.比如在y=ax2中a>0时,y=ax2的图象开口向上;当a<0时,y=ax2的图象开口向下,等等.
2.注意训练学生对比联想的思维方法.
上课日期月日星期总第课时
课题二次函数的图象与性质
(2)—二次函数的图象课型新授
教学目标会画出这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质.
重点和难点重点:
通过画图得出二次函数性质
难点:
识图能力的培养
教具准备投影片
师生活动过程备注
一、情境导入
同学们还记得一次函数与的图象的关系吗?
你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗?
,那么与的图象之间又有何关系?
.
二、实践与探索
例1.在同一直角坐标系中,画出函数与的图象.
解列表.
x…-3-2-10123…
…188202818…
…20104241020…
描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.3所示.
回顾与反思当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?
反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?
探索观察这两个函数,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同
的?
又有哪些不同?
你能由此说出函数与的图象之间的关系吗?
例2.在同一直角坐标系中,画出函数与的图象,并说明,通过怎样的平移,可以由抛物线得到抛物线.
回顾与反思抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的.
探索如果要得到抛物线,应将抛物线作怎样的平移?
三、小结
谈下你有哪些收获?
四、作业
1、一条抛物线的开口方向、对称轴与相同,顶点纵坐标是-2,且抛物线经过点(1,1),求这条抛物线的函数关系式.
2、
上课日期月日星期总第课时
课题二次函数的图象与性质(3)二次函数的图象课型新授
教学目标会画出这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质.
重点和难点重点:
通过画图得出二次函数性质
难点:
识图能力的培养
教具准备投影片
师生活动过程备注
一、情境导入
我们已经了解到,函数的图象,可以由函数的图象上下平移所得,那么函数的图象,是否也可以由函数
平移而得呢?
画图试一试,你能从中发现什么规律吗?
二、实践与探索
例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.
,,,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解列表.
x…-3-2-10123…
…202…
…028…
…820…
描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.5所示.
它们的开口方向都向上;对称轴分别是y轴、直线x=-2和直线x=2;顶点坐标分别是(0,0),(-2,0),(2,0).
回顾与反思对于抛物线,当x时,函数值y随x的增大而减小;当x时,函数值y随x的增大而增大;当x
时,函数取得最值,最值y=.
探索抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的.如果要得到抛物线,应将抛物线作怎样的平移?
练习:
1.画图填空:
抛物线的开口,对称轴是,顶点是,它可以看作是由抛物线向平移
个单位得到的.
2.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.
,,,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
三、小结与作业
1.不画出图象,请你说明抛物线与之间的关系.
2.将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2,且新抛物线经过点(1,3),求的值.
上课日期月日星期总第课时
课题二次函数的图象与性质(4)—函数+k的图象课型新授
教学目标1.掌握把抛物线平移至+k的规律;
2.会画出+k这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质.
重点和难点重点:
函数形如y=a(x-h)2+k图象的性质。
难点:
学生能通过图象的观察,对比分析发现规律,从而归纳性质
教具准备投影片
师生活动过程备注
一、情境导入
1、函数y=ax2+k的图象性质(开口方向,对称轴,顶点坐标,最值)
2、说出函数y=-x2,y=-x2-1的开口方向,对称轴,顶点坐标,最值以及与x轴,y轴的交点坐标。
3、由前面的知识,我们知道,函数的图象,向上平移2个单位,可以得到函数的图象;函数的图象,向右平移3个单位,可以得到函数
的图象,那么函数的图象,如何平移,才能得到函数的图象呢?
二、实践与探索
例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.
,,,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解列表.
描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.6所示.
x…-3-2-10123…
…202…
…8202…
…60-20…
它们的开口方向都向,对称轴分别为、、,顶点坐标分别为、
、.请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系.
回顾与反思二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数
+k中k的值;左右平移,只影响h的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关.
探索你能说出函数+k(a、h、k是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
小结:
y=a(x-h)2+k
(1)开口方向由a决定,
(2)对称轴是直线x=h,当h<0时,在y轴左侧,当h>0时在y轴右侧,(3)顶点坐标为(h,k
),(4)最值:
当a>0时,x=h时y最小值=k,当a<0时,x=h时y最大值=k。
形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的二次函数解析式称为顶点式,顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标。
三、例题讲解
例1、已知抛物线开口大小与y=x2的开口大小一样,但方向相反,且当x=-2时,y有最值4,求抛物线的解析式。
例2、抛物线y=(x-1)2+5是由一抛物线向左平移2个单位,再向下移2个单位得到的,求原抛物线的解析式。
例3、已知二次函数的图象对称轴为x=2,且图象上有两点(1,4)(2,1)求此二次函数的解析式。
例4、求抛物线y=-3(x-4)2+5的开口方向,对称轴,顶点坐标,最值以及与x轴,y轴的交点坐标。
四、小结
函数形如y=a(x-h)2+k图象的性质。
五、作业
a)已知二次函数图象顶点坐标为(—1,—6)并且图象过点(0,5)求函数解析式。
b)把抛物线向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线,求b、c的值.
上课日期月日星期总第课时
课题二次函数的图象与性质(5)—函数y=ax2+bx+c的图象1课型新授
教学目标1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象。
2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。
重点和难点重点:
用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。
难点:
理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x=-、(-,)是教学的难点。
教具准备投影片
师生活动过程备注
一、情景创设
由前面的知识,我们知道,函数的图象,向上平移2个单位,可以得到函数的图象;函数的图象,向右平移3个单位,可以得到函数
的图象,那么函数的图象,如何平移,才能得到函数的图象呢?
1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
(函数y=-4(x-2)2+1图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1)。
2.函数y=-4(x-2)2+1图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?
(函数y=-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y=-4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)
3.函数y=-4(x-2)2+1具有哪些性质?
(当x<2时,函数值y随x的增大而增大,当x>2时,函数值y随x的增大而减小;当x=2时,函数取得最大值,最大值y=1)
4.不画出图象,你能直接说出函数y=-x2+x-的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
[因为y=-x2+x-=-(x-1)2-2,所以这个函数的图象开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-2)]
5.你能画出函数y=-x2+x-的图象,并说明这个函数具有哪些性质吗?
二、实践与探素
例1.通过配方,确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图.
解因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,8).
由对称性列表:
回顾与反思
(1)列表时选值,应以对称轴x=1为中心,函数值可由对称性得到.
(2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点.
探索对于二次函数,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗?
请你完成填空:
对称轴,顶点坐标
.
它们的开口方向都向,对称轴分别为、、,顶点坐标分别为、
、.请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系.
回顾与反思二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数
+k中k的值;左右平移,只影响h的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关.
探索你能说出函数+k(a、h、k是常数,a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
例2.已知抛物线的顶点在坐标轴上,求的值.
分析顶点在坐标轴上有两种可能:
(1)顶点在x轴上,则顶点的纵坐标等于0;
(2)顶点在y轴上,则顶点的横坐标等于0.
四、课堂练习
1.当时,求抛物线的顶点所在的象限.
2.已知抛物线的顶点A在直线上,求抛物线的顶点坐标.
五、小结
通过本节课的学习,你学到了什么知识?
有何体会?
六、作业
1.P习题。
2.选用课时作业优化设计。
第四课时作业优化设计
1.填空:
(1)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是_______;
(2)抛物线y=2x2-2x-的开口_______,对称轴是_______;
(3)抛物线y=-2x2-4x+8的开口_______,顶点坐标是_______;
(4)抛物线y=-x2+2x+4的对称轴是_______;
(5)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=_______.
2.画出函数y=2x2-3x的图象,说明这个函数具有哪些性质。
3.通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y=3x2+2x;
(2)y=-x2-2x
(3)y=-2x2+8x-8(4)y=x2-4x+3
4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴,并说出该函数具有哪些性质。
上课日期月日星期总第课时
课题二次函数的图象与性质(6)—函数y=ax2+bx+c的图象2课型新授
教学目标1.会通过配方求出二次函数的最大或最小值;
2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值.
重点和难点重点:
会通过配方求出二次函数的最大或最小值;
难点:
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用,会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值.
教具准备投影片
师生活动过程备注
一、情景创设
在实际生活中,我们常常会碰到一些带有“最”字的问题,如
问题:
某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?
在这个问题中,设每件商品降价x元,该商品每天的利润为y元,则可得函数关系式为二次函数
.那么,此问题可归结为:
自变量x为何值时函数y取得最大值?
你能解决吗?
二、实践与探索
例1.求下列函数的最大值或最小值.
(1);
(2).
分析由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值.
解
(1)二次函数中的二次项系数2>0,
因此抛物线有最低点,即函数有最小值.
因为=,
所以当时,函数有最小值是.
(2)二次函数中的二次项系数-1<0,
因此抛物线有最高点,即函数有最大值.
因为=,
所以当时,函数有最大值是回顾与反思最大值或最小值的求法,第一步确定a的符号,a>0有最小值,
a<0有最大值;第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.
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