数学教案人教版 七升八8 一元一次不等式组的解法Word文档下载推荐.docx
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本题很简单,学生独立完成后再汇报交流.
解析:
分别算出两种方案各需多少钱,再比较大小.
答案:
买30张票需付费:
30×
(5-1)=120(元)
买27张票需付费:
27×
5=135(元)
120<135,所以买30张票合算,李敏的提议对.
师:
不等式是描述现实世界中的不等关系的数学模型,反映了事物在量上的区别,在涉及量的范围和最值的内容中几乎都会用到它.我们这节课要复习一元一次不等式和一元一次不等式组的相关概念,同学们,现在让我们大家一起来回忆一下有关一元一次不等式的知识吧!
课件出示回顾
1.不等式的概念
不等式:
用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.
举例:
a≤100,x≥2.9,y+1≠3,100-x-y≥8.1,a²
<2,…
下一步:
常见不等式的基本语言有:
(点击空格出答案,可点击的空格是红色)
①x是正数,则x>0;
②x是负数,则x<0;
③x是非负数,则x≥0;
④x大于y,则x-y>0;
⑤x是非正数,则x≤0;
⑥x小于y,则x-y<0;
⑦x不小于y,则x≥y;
⑧x不大于y,则x≤y.
下一页:
不等式的解:
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
(讲解知识点的补充题)
判断:
下面数中哪些是不等式x+3>6的解?
-4,-2.5,0,1,2.5,3,3.2,4.8,8,12.
你能找到这个不等式的其它解吗?
它到底有多少个解?
你发现了什么规律?
3.2,4.8,8,12是不等式x+3>6的解.
x>3表示能使x+3>6成立的“x”的取值范围.
(这个下一步在答案按钮里)
不等式的解集:
一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.
2.不等式的基本性质(点击横线出答案)
(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变;
(2)不等式两边同乘(或除以)一个正数,不等号的方向不变;
(3)不等式两边同乘(或除以)一个负数,不等号的方向改变.
tips:
(1)一定要注意应用不等式的基本性质(3)时,要改变不等号的方向;
(2)当不等式两边都乘(或除以)的式子中含有字母时,一定要对字母分类讨论.
3.一元一次不等式:
只含有一个未知数,且未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式,其一般形式为ax+b>0或ax+b<0(a≠0).
x-7>26,3x<2x+1,>50,-4x>3.
4.解一元一次不等式的一般步骤:
(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项;
(4)合并同类项;
(5)系数化为1.
下一步:
5.一元一次不等式组:
把几个一元一次不等式合起来,组成一个一元一次不等式组.
6.不等式组的解集:
一般地,几个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集,可划分为以下四种情形:
(以下假设a<b)
下面让我们来看看具体的怎么利用这些知识来解题.
初步性问题
探究类型之一不等式的概念及性质
例1某商贩去菜摊买黄瓜,他上午买了30斤,价格为每斤x元;
下午,他又买了20斤,价格为每斤y元.后来他以每斤元的价格卖完后,结果发现自己赔了钱,其原因是()
A.x<yB.x>yC.x≤yD.x≥y
商贩发现自己赔了钱,同学们能从中找到什么不等式的关系呢?
提示:
买黄瓜所花的钱大于卖黄瓜所得收入.
对,也就是说,买东西花的钱,比卖出去赚的钱多.
那就请大家列出不等式.指定学生说说思路,老师点评、出示解析.
由题意可知买黄瓜所花的钱>
卖黄瓜所得的收入,(下一步)
解:
根据题意可列不等式:
>,(下一步)
即30x+20y>25x+25y,
解得x>y.
课件出示答案:
B
师总结:
这类不等式应用题的解题步骤可以分3步:
(1)通过题中的条件找到两个可以比较大小的量.
(2)然后选取未知数(或者利用已设未知数)表达这两个量.
(3)列出不等式,求解.
例2如果关于x的不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a的取值范围是()
A.a>0B.a<0C.a>-1D.a<-1
1.观察不等式(a+1)x>a+1,它x的系数有什么特点?
、
如果让你来求这个不等式的解集,应该注意什么?
题干“(a+1)x>a+1”下划线后,出示文字:
Tips:
注意:
当不等式两边都乘(或除以)的式子中含有字母时,一定要对字母分类讨论.
2.学生独立解不等式后,汇报交流.
当a+1>0,即a>-1,不等式的解集是x>1.
当a+1<0,即a<-1,不等式的解集是x<1.
∵(a+1)x>a+1的解集为x<1,
∴a<-1.
通过我们刚才的分析我们就能求出a的取值范围.
D
运用不等式的基本性质时,特别注意当不等式的两边同乘(或除以)一个负数时,不等号的方向改变.
下面我们来看看怎么利用不等式的基本性质解一元一次不等式.
探究类型二一元一次不等式的解法
例题3解不等式,并把它的解集在数轴上表示
出来.
1.这是一道计算题,我们先来复习解类不等式的一般的步骤:
解一元一次不等式的一般步骤:
(4)合并同类项;
2.学生独立解答,教师巡视指导有困难的学生.
3.老师找学生说说思路,其他学生指正、点评.
去分母,得2(2x-1)-3(5x+1)≤6.下一步
去括号,得4x-2-15x-3≤6.下一步
移项,合并同类项,得-11x≤11.下一步
系数化为1,得x≥-1.下一步
这个不等式的解集在数轴上表示如下:
动画在图上作出.
去分母应注意,给不等式的左右两边都要乘公分母;
去括号时应注意,给括号里的每一项都要乘括号外的数.
探究类型之三一元一次不等式组
例4解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来.
不等式组的解题步骤是什么呢?
先分别求出每个不等式的解集,然后找到它们的公共部分.
学生独立完成解题,然后找学生说说答案.老师出示课件.
课件出示解析:
分别求出两个不等式的解集,然后求出它们公共的部分.
由不等式①,解得.下一步
由不等式②,解得.下一步
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来动画在数轴上出示
∴原不等式组的解集为-2≤x<1.下一步
再求不等式组的解集时,应先求出每个不等式的解集,然后求它们的公共部分.还要注意:
在数轴表示解集要注意实心点与空心圆圈的区别.
学生在教师的引导下通过“赔钱”列出不等式.
教师重点指导学生求解带有未知数的方程,要注意分类讨论
通分求解不等式,教师适当指导,以学生回答为主.
教师强调分开求每个不等式的解,然后再找他们公共部分.具体解答,以学生自主为主.
第二课时
互动说明
上节课我们复习了有关不等式以及不等式组的解法,这节课我们继续研究跟不等式有关的题.
探究类型之四求一元一次不等式(组)中的字母系数
例5若不等式的解集是-1<x<2,则a=.
这是一道求不等式字母参数问题,为了找到解决问题的思路,我们先来看下面几道题:
(1)若x>a的解集是x>1,那么a=.
(2)若x-1>a的解集是x>1,那么a=.
(3)若的解集是1<x<5,那么a=.
这些题目中除了未知数x之外还有一个未知数,对于这样的题我们应该怎么做呢?
把a看作已知的常数,先求不等式组的解集;
下一步
再与给出的解集进行比较,求出a的值.
根据题意可知:
把a看作已知的常数,
得不等式组的解集为a<x<2.下一步
又因为不等式组的解集是-1<x<2,
(在数轴画一个-1<x<2)
所以a=-1.
当不等式组的解集上、下限都含有字母时,而它的解集又是确定的,则含字母的上、下限分别与已知不等式的解集的上、下限相等,从而求出字母的值.
例6若关于x的不等式组有3个整数解,则a的值可以是()
A.-2B.-1C.0D.1
1.又是一道求不等式字母参数问题,解决这类问题的基本步骤是什么呢?
第一步:
把参数作已知的常数,先求不等式组的解集;
第二步:
再与给出的解集进行比较,求出参数值.
2.学生尝试独立解答.
a≤x<3
不等式组有3个整数解,那谁能说说这3个整数解分别是多少?
生:
2,1,0.
说得非常对,那现在你们知道a是多少了吗?
解不等式组得a≤x<3,下一步
原不等式组的3个整数解分别为2、1、0,下一步
画图
所以-1<a≤0.
C.
解决此类问题的基本方法是:
先求出已知不等式组的解集,再结合给定的解集,得出等量关系或者不等关系.
类似性问题
1.关于x的方程mx-1=2x的解为正数,则m的取值范围是()
A.m≥2B.m≤2C.m>2D.m<2
1.简单题型,学生独立完成,
2.指定一名基础弱的学生说说解题思路;
老师可引导完成解答.鼓励学生,给学生自信.
先把m看作已知数,当m≠2时,解得x=.
又因为关于x的方程的解为正数,所以>
0.
2.下列不等式变形正确的是()
A.由a>b,得a-2<b-2
B.由a>b,得-2a<-2b
C.由a>b,得|a|>|b|
D.由a>b,得a²
>b²
1.学生独立完成,指定一个好学生讲解思路.其他学生指正、补充.
2.老师出示课件总结.
A选项“-2”“-2”闪一闪变色,
根据不等式的性质1,不等式两边同时减2,不等号方向不变.
A选项后面打“×
”.
B选项“-2”“-2”闪一闪变色,
根据不等式的性质3,不等式两边同时乘负数,不等号方向改变.
B选项后面打“√”.
C选项下面出示文字:
反例:
1>-100,|1|<|-100|.
C选项后面打“×
1>-100,1²
<(-100)²
.
D选项后面打“×
B.
3.不等式组的解集是()
A.-1<x≤2B.-2≤x<1
C.x<-1或x≥2D.-2≤x<-1
1.老师先安排学生独立完成,解答完成后,同桌之间对答案.
2.指定答案不同的一组说出各自的思路,其他学生点评.
3.老师出示课件答案.
基础题,直接计算.
A
4.如果关于x的不等式组无解,则a的取值范围是()
A.a>2B.a≥-2C.a<2D.a≥2
1.让学生尝试解答后,再组织交流;
2.老师巡视,给予适当的提示和引导;
3.找个好学生来说说自己的想法;
其他学生点评.
4.老师出示答案.
解不等式组得a<x<2,下一步
因为不等式组无解,所以a≥2.
D.
5.若关于x的不等式3m-2x<5的解集是x>2,则实数m的值为.
解不等式3m-2x<5得,下一步
因为解集是x>2,下一步
所以,下一步
解得.
3.
6.解不等式组并把解集在数轴上表示出来.
∵解不等式①得x≤1,解不等式②得x>-2,下一步
∴不等式组的解集为-2<x≤1,下一步
在数轴上表示不等式组的解集为:
动画展示.
(1)在解有关不等式应用的题时,学会寻找其中的不等关系.
(2)在求含字母系数的一元一次不等式(组)有关的题时,先用字母表示出一元一次不等式(组)的解集.
拓展延伸
1.当2(k-3)<时,求关于x的不等式>x-k的解集.
1.分析已知条件,第一个是关于k的不等式,你能求出它的解集吗?
(学生独立完成,找解题能力弱的学生上黑板解答)
用方框框出题干中的“2(k-3)<”出示文字:
由2(k-3)<,
得k<4.
2.根据第一个不等式解得“k<4”,这有什么作用呢?
接下来看第二个不等式,是求含参不等式的解集,处理含参不等式解集我们是怎么处理的呢?
把当作已知数,求不等式的解集.(学生计算)
用方框框出题干中的“>x-k”出示文字:
>x-k
k(x-5)>4(x-k)
(k-4)x>k下一步:
解到这一步,我们需要判断(k-4)的正负情况,这就要用到我们求解第一个不等式的结果.
∵k<4,
∴k-4<0.下一步:
∴>x-k的解集为x<.
3.小结.
(1)求含字母系数的一元一次不等式(组)有关的题时,先用字母表示出一元一次不等式(组)的解集.
(2)注意:
当不等式两边都乘(或除以)的式子中含有字母时,一定要确定该式的正负情况.
2.已知关于x,y的方程组的解满足x+y<0,求m的取值范围.
1.刚解决了一个含字母的不等式,又来一个含字母的方程组,怎么办呢?
先用字母表示出方程组的解.
然后怎么办呢?
”如果用m表示出方程组的解那么带入“x+y<0”中就得到一个关于m的不等式,进而我们就可以求出m的取值范围.
(点解析1)大家的思路很清晰,我们这样做的话肯定能求出m的取值范围,先让学生独立完成.
解析1:
动画刷出:
第一步(红色)第二步(绿色)第三步(蓝色)
由,得(下一步)
代入“x+y<0”,
得()+()<0(下一步)
解得m<-1.
2.让学生仔细观察方程组和已知条件“x+y<0”,你还有什么发现?
题干方程组中、、不等式中的x+y同时闪一闪变色.
①+②,得3(x+y)=2+2m,
x+y=+m,(下一步)
∵x+y<0,
∴+m<0.(下一步)
3.小结:
(1)比一比,你更喜欢哪种方法?
为什么?
(2)在解决问题时,需要仔细观察题目的特征,看看题目有没有特殊之处,有没有简单的方法;
(3)观察之后没有特殊之处,还得用一般方法.
课堂小结:
(动画出示)
1.当不等式两边都乘(或除以)的式子中含有字母时,一定要对字母分类讨论.
2.不等式含参问题常见题型和解法
常见题型
解决方法
给出不等式(组)的解集或取值情况,求参数的值.
用参数表示出不等式(组)的解集,再与给出的解集进行比较,求出参数的值.
求解带未知数的不等式.
教师强调:
此不等式组“有几个整数解,和这些整数解是什么”是一一对应的.即有3个整数解,就是2,1,0.两个整数解就是2,1.
学生独立完成类似性问题
特殊值法
师总结
本讲教材及练习册答案
1.C
2.B
3.A
4.D
5.3
6.解:
∵解不等式①得x≤1,解不等式②得:
x>-2,
∴不等式组的解集为-2<x≤1,在数轴上表示不等式组的解集为
练习册
1.A
2.A
3.D
4.a<ab2<ab
5.x≤1
6.-5≤a<-3
7.15
8.a≥3
9.解:
由①得:
x>-4,由②得:
x≥-1,
∴不等式组的解集是x≥-1.在数轴上表示不等式组的解集是:
10.解:
不等式+a≥2的解集为x≥4-2a,
不等式2x-b<3的解集为x<,
∴不等式组的解集为4-2a≤x<.
又∵不等式组的解集为0≤x<1.
∴4-2a=0,=1,解得a=2,b=-1.
∴a+b=2+(-1)=1.
11.解:
(3a-2b)x+5a-b>0,移项,得(3a-2b)x>-5a+b.
∵(3a-2bx)+5a-b>0的解集为x>-,
∴3a-2b>0且=-,
∴b=-9a,a>×
(-9a),
∴a>-6a,∴a>0.
∵(2a+3b)x>-a+5b,
∴[2a+3×
(-9a)]x>-a+5×
∴-25ax>-46a,∴x<.
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