数学教案人教版 七升八5 二元一次方程组.docx
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数学教案人教版七升八5二元一次方程组
第五讲二元一次方程组及其解法
[教学内容]
暑期衔接版,七升八年级第五讲“二元一次方程组及其解法”.
[教学目标]
知识技能
1.感受消元思想,能熟练应用消元的方法来解方程组;会使用整体思想或换元思想解二元一次方程组.
2.在学生掌握相应的知识之后,能够利用这些知识解决生活当中的一些具体的问题.
数学思考
以学生为课堂的主体,让学生以自主探究、合作交流、分析讨论、概括总结等来调动其学习积极性和主动性.
问题解决
尝试从生活中发现并提出有关二元一次方程组的数学问题,并运用相关知识加以解答.
情感态度
1.培养学生发现问题,主动探索的能力.在与同伴的合作交流中,培养学生的责任心.
2.通过对知识的讲解,培养学生思维的严谨性和深刻性.
[教学重点和难点]
教学重点
熟练应用代入法和加减法;会使用整体思想或换元思想解二元一次方程组.
教学难点
换元思想的熟练使用和含字母系数的方程组的解法
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
第一课时
教学过程:
教学路径
互动说明
方案说明
同学们好,在上课之前老师先跟大家讲个关于清朝康熙皇帝的一个故事.
启动性问题
“康熙皇帝有一年微服私访江南,在扬州城的一个集市上,他看见有两位公差和几个卖马、牛的伙计们正在争执,只听伙计们苦苦地央求两位公差:
“这位大爷,按我们讲好的价钱,您买四匹马、六头牛,共四十八两银子;大爷您呢,买三匹马、五头牛,共三十八两银子.您二位呢,加起来一共是八十六两银子,可是您们只给八十两,还少六两,我们可亏不起这么多呀!
”
于是,双方争执了起来.
这时,站在一旁看热闹的康熙皇帝(身着便服)不卑不亢地走到公差面前说:
“买卖公平,这是天经地义的事,一匹马、一头牛都有一个价,要想买马牵牛,那该多少银子就付多少,怎么能仗势欺人呢?
”康熙的话音刚落,周围的百姓都鼓掌叫好.
甲公差见此人也敢当众管教他们,不禁恼羞成怒:
“你是哪里的人?
竟也敢在太岁头上动土!
你知道一匹马、一头牛是什么价吗?
识相的快快走开!
”
乙公差也气势汹汹地喝道:
“我们讲好的价钱,你怎么知道?
快快闪开,少管闲事.”
康熙冷笑一声说道:
“这有何难?
虽然我事先是不知道,但现在我已算出来了,马每匹价六两,牛每头价四两,怎么样,这个是不是你们开始谈的价格?
”
伙计们忙附和道:
“是呀,是呀,当初正是说的这个价!
”
……”
下一步
师:
同学们你们知道康熙皇帝是如何算出来的吗?
课件出示:
买四匹马、六头牛,共四十八两银子;买三匹马、五头牛,共三十八两银子,你知道一匹马、一头牛是什么价吗?
师:
看到这个题目你有什么发现?
解析:
题干“买四匹马、六头牛,共四十八两银子”下划线后出示算式:
4匹马(图片)+六头牛(图片)=四十八两银子
下一步:
题干“买三匹马、五头牛,共三十八两银子”下划线后出示算式:
三匹马(图片)+五头牛(图片)=三十八两银子
答案:
设每匹马x两银子,每头牛y两银子.(下一步)
根据题意列出方程组得:
(下一步)
解这个方程组,得
答:
每匹马的价格为6两银子,每头牛的价格为4两银子.
同学们利用二元一次方程组来解此题,是不是很简单,那么今天我们就来回顾复习一下二元一次方程组的相关知识.出示课件.
回顾
1.二元一次方程(组)的概念(点击空格出答案)
二元一次方程:
含有_两_个未知数,并且含有未知数的项的次数都是__1___的整式方程.
下一步
二元一次方程组:
一般地,把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
下一步
2.二元一次方程(组)的解
二元一次方程的解:
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解.
下一步
二元一次方程组的解:
二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
下一页
3.消元思想
二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程,可以先求出一个未知数,然后再求另一个未知数,这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想.
下一步
4.二元一次方程组的解法
常用方法:
代入消元法,加减消元法.
下一步
注意:
(1)在用代入法求解时,要能正确用含其中一个未知数的式子去表示另一个未知数.
(2)二元一次方程组的解应写成的形式.
通过复习,大家对解二元一次方程组的方法和思想都掌握的非常好,那么接下来让我们看看二元一次方程在考试中常见的一些题型吧.
初步性问题
探究类型一:
求二元一次方程的解
例1求方程2x+y=15的非负整数解.
师:
一个二元一次方程的解有多少个?
提示:
无数个.
师:
要求题中方程的非负整数解,我们应该怎么求呢?
提示:
先用含x的式子表示y,再进一步根据这个方程的解是非负整数确定x的值,然后再把x的值代入方程就可以求得y的值.
解析:
方程中y的系数是1,用含x的式子表示y,比较简便.
下一步(按钮):
根据这个方程的解是非负整数确定x的值,然后再把x的值代入方程就可以求得y的值.
师:
根据这种方法,大家独立完成解题,然后找学生说说问题的答案,老师根据学生回答的情况,做出相应的评价.(学生做题时,老师适当的指导学习有困难的学生)
答案:
解:
方程2x+y=15可以变形为y=15-2x.(下一步)
∵x,y的值为非负整数,∴15-2x≥0,∴0≤x≤7.5,
∴x的值可能为0,1,2,3,4,5,6,7.
然后把x的值分别代入y=15-2x,求出满足条件的y的值.
(下一步)
∴该方程的非负整数解为
师总结:
(1)解此类题时,往往需要用含其中一个未知数的式子表示另一个未知数.
(2)注意:
非负整数指的是正整数和0.
前面我们研究了怎么求二元一次方程的解,同学们,你们还记得怎么求一个二元一次方程组的解吗?
让我们来看看下面这道题.
探究类型二代入法或加减法消元
(分两页出示例2)
例2用适当的方法解下列方程组:
(1)
学生独立完成后汇报交流.
解析:
方程①中的y系数是1,用代入法比较简便.
答案:
解:
由①,得y=3-2x.③
将③代入②,得3x-5(3-2x)=11.
解这个方程,得x=2.
把x=2代入③,得y=-1.
所以这个方程组的解是
小结:
代入法是解方程组的基本方法,在代入消元时,要使运算简便,就应根据未知数的特点巧妙选用代入的方法.
拓展:
还有不同的解法吗?
比一比哪种方法比较简便?
另解:
①×5+②得,13x=26,解得x=2,
把x=2代入①得,4+y=3,解得y=-1,
故此方程组的解为
下一页:
(2)
师:
观察这个方程组,与第一个方程组有什么不同?
怎么办呢?
提示:
第一个方程含有分母,应先把它的分母化去.
解析:
解方程组时,应先把含分母及括号的方程化为不含分母及括号的方程,再用加减消元法或代入消元法求解.
师:
说的非常好,下面看看谁能又快又准的算出来.
老师出课件讲解.学生独立完成此题.同桌互对答案.老师出示答案.
答案:
(2)原方程组可化为
①+②得,6x=18,解得x=3.
把x=3代入①得,3×3-2y=8,解得y=.
故此方程组的解为
师总结:
解方程组时,应先化简方程组,再选择利用加减法或代入法解方程组.在选择解法时,代入法和加减法选择也是有技巧的,一般来说:
(1)未知数系数比较小的,有未知数系数是1的方程组,首选代入法求解;
(2)系数比较大,两个方程相同未知数系数互为相反数、相同、或者有成倍关系的时候,首选加减法.
探究类型之三换元法
例3:
解下列方程组:
(分两题)
(1)
师:
我们先来看第一题.这个式子含有两个等号.
你们打算怎么来解决这个题目呢?
提示:
可以把他转化为一个二元一次方程组.
师:
说的非常好,那么该怎么把它变形成方程组的形式呢?
学生分组讨论,组长汇报交流结果,老师点评、出示课件
(答案不唯一).
解析1:
动画刷出下式:
师:
两式相加就可以得到x的值.
答案1:
解:
原式可化简变形为
两式相加:
,得x=1.
把x=1代入,得,解得y=3.
故方程组的解为
师:
同学们,你们还有更简单的做法吗?
观察一下这个方程组,是以一个连比的形式给出的,我们可不可以设它们的比值为k呢?
课件出示解析2:
该方程组是以连比的形式表示的,可设其比值为k.
课件出示答案2:
解:
设
则(下一步)
由①得x=3k-2④,
由②得3y=8k+1⑤.(下一步)
把④⑤代入③得2(3k-2)+8k+1=11k,解得k=1,
∴原方程组的解为
下一页出示
(2)
(2)
师:
观察题目中的各个分式你有什么发现吗?
是否存在某种规律呢?
引导学生发现:
(1)未知数全在分母上;
(2)的分母是分母的2倍,
的分母是分母的3倍.
师:
对这些未知数全在分母上,且分母有倍数关系的方程组,我们应该怎么解决?
解析:
设,.
方程可化为
答案:
解:
,,则原方程变形为:
①-2×②可得:
,所以.
把代入②,得.
即下一步
所以,
交叉相乘化简为
从而求得
师小结:
(1)以等比的方式给出的方程,常设比值为新元,而将方程拆成方程组解.
(2)运用数学元素的等量代换原理,把某一部分看成一个整体并用一个新字母代替来解题的方法称为换元法.换元法的本质是引进一个变换,对原来给定的关系进行分解或组合,达到把题目的条件联系起来,或把隐含的条件显示出来,或把繁锁的计算推理简化的目的,从而沟通已知与未知,简化代数式的结构形式,实现化繁为简的目标.
探究类型之四二元一次方程组的解
例4已知关于x,y的方程组和的解相同,求代数式3a+7b的值.
师:
这两个方程组的解相同是什么意思?
根据解相同能找到解决问题的突破口吗?
教师引导学生:
两个方程组的解相同,深层含义就是四个方程的解相同,所以可以把四个方程任意组合,解不变.
解析:
由两个方程组的解相同,
可得和的解相同.
师:
下面怎么解决,同桌之间讨论一下.
指定一名学生说说思路.老师点评,出示课件.
答案:
由于题中两个方程组的解相同,
所以可先解方程组,解得
(下一步)
再把代入方程组得
解得
(下一步)
所以3a+7b=3-21=-18.
师小结:
对这类问题,表面是让求参数的值,实际是考同学们对方程组解相同的理解.这类问题的解题步骤是挑出两个不含参数的二元一次方程联立在一起求解出这组方程组的解,再把方程组的解代入含参方程,即可得到参数的值.
同学们,你们有没有因为做题马虎,把题中某个数看错了,而导致解方程出错,产生下面这类题呢.
探究类型之五看错系数问题
例5甲、乙两人同时解关于x,y的方程组甲看错了b,求得的解为乙看错了a,求得的解为你能求出原题中a、b的值吗?
师:
由题中的条件你能得到什么信息呢?
提示:
因为甲看错了b,但是并没有看错方程①,所以甲得到方程组的解其实满足方程①的.
乙看错了a,但是没有看错方程②,所以乙得到的方程的解其实满足方程②.
解析:
由题意得是方程①的解,是方程②的解.
师:
这位同学说得非常好.接下来怎么做呢?
动手做做吧.
老师巡视,给学习困难的学生指导,最后找学生说说思路.
老师点评,出示课件.
答案:
∵甲看错了b,求得方程组的解为
∴把代入方程①,得a-1=3,解得a=4.(下一步)
∵乙看错了a,求得方程组的解为
∴把代入方程②得,-2-3b=1,解得b=-1.
师小结:
方程组中,看错系数问题,看错方程组中哪个方程的系数,所得的解就是方程组看错系数的方程的解,也是方程组中没有看错系数的方程的解.把由看错方程得出的解代入没有看错的系数的方程中,构建新的方程组,然后解方程组.
由故事引入课堂,增强孩子的兴趣.
配合课件对题目的动画讲解
探求简单解法
师引导学生思考
第二课时
教学过程:
教学路径
互动说明
方案说明
探究类型之六含字母系数的方程组
例6m为正整数,已知关于x、y的二元一次方程组有整数解,求m2的值.
师:
观察方程组,你有什么发现?
引导学生发现:
(1)两个未知数,一个参数;
(2)方程①与方程②中y的系数相同.
师:
多了一个参数,怎么办呢?
从条件我们知道方程组有整数解,怎么利用这个条件呢?
引导学生:
把m视为已知数.
将x、y表示成含m的值.
解析:
把m视为已知数.将x、y表示成含m的式子.(下一步)
再根据m为正整数,x、y为整数确定m的值.
学生求解出:
师:
同时使x=为整数,y=为整数,m又为正整数,m可以是多少?
答案:
解:
把m看作已知的数.
由
.下一步
题干“”
要使为整数,且m为正整数,则m=2或m=7;
要使为整数,且m为正整数,则m=2或m=12.
故m=2,所以m²=4.
师总结:
含参数的方程求解,可以把参数当成已知数带着它算,再结合已知条件确定参数的值.
前面我们研究了与二元一次方程组有关的题的解法,你们掌握了吗?
让我们来检验一下吧.
类似性问题
类似性问题:
1.二元一次方程组的解是()
A.B.C.D.
师:
1.简单题型,老师让学生们独立完成,指定一名学生回答.
2.老师点评.
答案:
A.
2.若与互为相反数,则a与b的大小关系是()
A.a>bB.a=bC.a<bD.a≥b
师:
同桌之间讨论一下解法.老师找学生说说思路.
学生再独立解方程组,指定一名学生说答案.老师出示课件.
解析:
题干“若与互为相反数,”下划线,出示算式:
+=0
答案:
C.
3.在解关于x,y的方程组时,小虹正确地解得小静因把c写错而解得那么a+b+c的值的为()
A.11B.9C.7D.不能确定
1.让学生分别说一说小虹的解满足哪些方程?
小静的解满足哪些方程?
2.想一想怎样才能求出a、b、c的值?
解析:
小静把c写错,说明解满足方程
小虹的解也满足
代入联立关于a、b的方程组,解得.下一步(换颜色)
小虹的解满足,代入求得c=﹣2.
a+b+c=4+5-2=7.
答案:
C.
4.若关于x,y的方程组的解是则a+b的值是.
学生独立完成解题过程,师巡视并指导学习困难的学生.
最后指定一名完成的学生到黑板板演.其他学生指正、补充.
解析:
把代入得到关于a,b的方程组.
答案:
5.
5.解二元一次方程组:
师:
学生独立完成,提示学生先化简再解,
老师合理掌控时间,可出示课件引导完成.
答案:
原方组可化为下一步
①+②×5得27x=17550,即x=650.下一步
将x=650代入①得1300-15y=550,解得y=50,
则方程组的解为
6.已知m是整数,关于x,y的二元一次方程组
有整数解,求m的值.
学生同桌合作,参照例6完成,教师巡视指导有困难的学生.
解析:
由方程组解得,.
下一步
若y为整数,则2m+9=±1或±2或±17或±34.
下一步
经检验当2m+9=±1或±17时,m为整数,且x为整数,
下一步
∴m=4或-4或-5或-13.
拓展延伸:
解方程组:
师:
这个方程组有什么特点?
生:
两个未知数,一个参数.
师:
解方程组,就是求未知数的值,含有参数怎么办呢?
解析:
两个未知数一个参数,可以用参数表示出未知数的值.
学生同桌合作尝试解答.
答案:
解:
由①得y=4-mx,③
将③代入②,得2x+5(4-mx)=8,
整理得(2-5m)x=-12.④下一步
当2-5m=0,即m=时,④无解,则原方程组无解.
当2-5m≠0,即m≠时,④的解为x=,
将x=代入③,得y=.下一步
故当m≠时,原方程组的解是
小结:
遇到含参问题的方程组求解问题,可以先把参数看作已知数进行求解,但应该注意,分母不能为零,所以每当遇到像这样(2-5m)x=-12的式子,要用参数表示未知数的值时,一定要分类讨论.
课后小结:
1.代入法还是加减法?
(动画出示)
(1)未知数系数比较小的,有未知数系数是1的方程组,首选代入法求解;
(2)系数比较大,两个方程相同未知数系数互为相反数、相同、或者有成倍关系的时候,首选加减法.
下一页:
2.含参问题常见题型和解法(动画出示)
常见题型
解决方法
给出方程组的解,
求参数的值.
把方程组的解代入原方程组,解关于参数的方程即可求得参数值.
已知两个方程组同解,求参数的值.
挑出两个不含参数的二元一次方程联立在一起求解出这组方程组的解,再把方程组的解代入含参方程,即可得到参数的值.
已知参数方程解的特征,求求参数的值.
用参数表示出方程的解,根据原方程组解的特征确定参数的值.
本讲教材及练习册答案:
类似性问题
1.A
2.C
3.C
4.5
5.解:
原方组可化为
①+②×5得27x=17550,即x=650.
将x=650代入①得1300-15y=550,解得y=50,
则方程组的解为
6.解:
由方程组解得,.
若y为整数,则2m+9=±1或±2或±17或±34.
经检验当2m+9=±1或±17时,m为整数.
又x为整数,∴m=4或-4或-5或-13.
练习册:
1.A
2.B
3.B
4.C
5.58
6.解:
由①得x=3+2y③.把③代入②得3(3+2y)-8y=13,
化简得-2y=4,∴y=-2.
把y=-2代入③,得x=-1,
∴方程组的解为
7.解:
把和分别代入方程组中的方程②,①得
解得
再将a、b的值代入方程组得
解得
8.解:
(1)
(2);
(3)把x=10,y=-9代入x-my=16中得m=,显然16≠,故此方程组不符合
(2)中规律.
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