分式运算典型例题精解.doc
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分式运算典型例题精解.doc
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分式性质及运算
【基础精讲】
一、分式的概念
1、正确理解分式的概念:
【例1】有理式
(1);
(2);(3);(4);(5);(6)中,属于整式的有:
;属于分式的有:
。
.
2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.
(1)例如,当x为时,分式有意义.
错解:
时原分式有意义.
(2)不要随意用“或”与“且”。
例如当x____时,分式有意义?
错解:
由分母,得
3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.
当时,分式有意义.当时,分式无意义.当时,分式值为0.
二、分式的基本性质:
1、分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.
(1)分式的基本性质是分式恒等变形的依据,它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础,因此,我们要正确理解分式的基本性质,并能熟练的运用它.理解分式的基本性质时,必须注意:
①分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式.
②在分式的基本性质中,M≠0.
③分子、分母必须“同时”乘以M(M≠0),不要只乘分子(或分母).
④性质中“分式的值不变”这句话的实质,是当字母取同一值(零除外)时,变形前后分式的值是相等的。
但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的.
(2)注意:
①根据分式的基本性质有:
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.
②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式
【例3】下列变形正确的是().
A.;B.C.D.
【例4】如果把分式中的都扩大3倍,那么分式的值一定().
A.扩大3倍B.扩大9倍C.扩大6倍D.不变
2、约分
约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.
【例5】
(1)化简的结果为()A. B.C. D.
(2)化简的结果()A.B.C.D.
(3)化简的结果是()A.B. C.D.
3、通分
通分的依据是分式的基本性质,通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定:
(1)最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;
(2)最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积;
三、分式的运算
1、分式运算时注意:
(1)注意运算顺序.例如,计算,应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行.错解:
原式
(2)通分时不能丢掉分母.例如,计算,出现了这样的解题错误:
原式=.分式通分是等值变形,不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆;
(3)忽视“分数线具有括号的作用”:
分式相减时,若分子是多项式,其括号不能省略.
(4)最后的运算结果应化为最简分式.
2、分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
(1)先把除法变为乘法;
(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解,当然有乘方运算要先算乘方,然后同其它分式进行约分;
(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘;
(4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式.
3、加减的加减
1)同分母分式加减法则:
分母不变,分子相加减。
2)异分母分式加减法则:
运算步骤:
①先确定最简公分母;②对每项通分,化为分母相同;③按同分母分式运算法则进行;④注意结果可否化简,化为最简.
4、分式的混合运算
注意分式的混合运算的顺序:
先进行乘方运算,其次进行乘、除运算,再进行加、减运算,遇有括号,先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式,并且能分解因式,可先分解因式,能约分的先约分,再进行运算.
【例6】计算:
(1);
(2);
(3)(4)已知,则代数式的值
【分类解析】
一、分式运算的几种技巧
1、先约分后通分技巧例1计算+
分析:
不难发现,两个分式均能约分,故先约分后再计算
解:
原式=+=+=
2、分离整数技巧例2计算--
分析:
两个分式的分子、分母不能约分,如把分子突出分母,分离整数方法可使计算化简。
解:
原式=--
=1+-1--
=--
===-
3、裂项相消技巧例3计算++
分析:
此类题可利用=(-)裂项相消计算。
解:
原式=(-)+(-)+(-)
=-=
4、分组计算技巧例4计算+--
分析:
通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4,第二项、第三项分母乘积为a2-1,采取分组计算简捷。
解:
原式=(-)+(-)
=+=
5、变形技巧例5已知x2-3x+1=0,求x2+的值。
分析:
将已知两边同除以x(x≠0)可变出x+,然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。
解:
由x2-3x+1=0,两边同除以x(x≠0),得
x-3+=0,即x+=3
所以x2+=(x+)2-2=32-2=7
二、分式求值中的整体思想
例1若分式的值为,则的值为()
A、1B、-1C、-D、
解:
由已知=得2y2+3y+7=8
2y2+3y=1,4y2+6y=2所以==1,故选A。
例2已知+=4,则=。
分析:
由已知可得到a+b与ab的关系式,所求式通过分解因式可得到用a+b与ab的表达式,然后将a+b用ab代换即可求出所求式的值。
解:
由已知得=4∴a+b=4ab
===-
点评:
本题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到
=
然后将已知式代入求值,这种方法也是常用的一种方法。
例3已知a2-3a+1=0,求的值。
解:
由已知a2-3a+1=0知a≠0,将已知等式两边同除以a得a-3+=0,∴a+=3
所以=a2+=(a+)2-2=32-2=7∴=
点评:
①所求式的倒数与已知式有联系时,先求所求式的倒数,再得所求式。
②a2±=(a±)22这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。
例4已知+=,+=,+=,求的值。
分析:
将所求式分子、分母同除以abc可得到,只要将已知式变换出++即可。
解:
因为+=①,+=②,+=③,将①、②、③左、右分别相加,得
2(++)=++
∴++= 所以==
例5有一道题:
“先化简再求值:
,其中”,小明做题时把“”错抄成了“”,但他的计算结果也是正确,请你通过计算解释这是怎么回事?
解析:
首先对原分式进行化简,再根据化简结果说理.
.
因为当和时,的值都是2009,所以小明把“”错抄成了“”,计算结果也是正确的.
例6已知x2-3x+1=0,求x2+的值。
分析:
将已知两边同除以x(x≠0)可变出x+,然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。
解:
由x2-3x+1=0,两边同除以x(x≠0),得
x-3+=0,即x+=3所以x2+=(x+)2-2=32-2=7
三、分式运算新型题
例2请利用、和这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分式的商减去第三个分式的差,并化简.
解析:
本题为开放性问题,答案不唯一.按题目的要求可得到10多个不同的算式,选取其中一个进行化简即可,但一般应选择一个计算较简便的算式,以减少运算量,提高正确率.
如,÷-=
==,等等.
温馨提示:
这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养,已成为各类考试的热点,但所考查的知识却是我们所熟悉的.
例3先化简代数式÷,然后选取一个合适的值,代入求值.
解析:
本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”,解题时必须明确“合适”在题中的含义,即选取的的值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便.
原式==.
由题意知,的值不能取2和-2,所以当=0时,原式=4.
温馨提示:
本题既检测了同学们分析问题的能力,又考查了识别隐含信息的能力,题目的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识.这类题目也是近年出现的热点题型,为我们提供了较为广阔的思考空间,但所选字母的值应保证原式有意义,以防掉入解题“陷阱”.
一、开放性问题
例1在下列三个不为零的式子中,任选两个你喜欢的式子组成一个分式是,把这个分式化简所得的结果是.
分析:
此例是答案不唯一的开放题,分式由学生自主构造,题型新颖活泼,呈现出人性化与趣味化.
解:
本题存在6种不同的结果,任选其一即可.
(1);
(2);
(3);(4);
(5);(6).
说明:
其实解决本题的关键就是分式的约分,但它又不完全等同于分式的约分,它需要我们先构造出分式后再约分,让我们在分析探索后解决问题,而不是直接把问题摆在我们面前.
二、探索运算程序
例2任意给定一个非零数,按下列程序计算,最后输出的结果是()
平方-÷+2结果
A.B.C.+1D.-1
分析:
本题设计新颖,意在创新,明确计算程序是正确解答本题的前提.
解:
计算程序可表示为:
,化简:
原式==m-1+2=m+1,故选C.
说明:
这是一道比较容易的题,但要注意其运算的顺序,否则就会出现错误的答案.
三、自选数值求解
例3化简,并选择你最喜欢的数代入求值.
分析:
这是近年来出现的一种新题型,具有一定的灵活性。
此题从难度上来说并不大,但是要注意混合运算的运算顺序,运算结果要化成最简形式.在选取x的数值时,一定要保证原式有意义,而且尽量使运算简便为好.
解:
原式,当x=2时,原式=-2.
说明:
这里的x不能取0与1,否则分母的值为0,原式就没有意义了.
四、运算说理题
例4在解题目:
“当时,求代数式的值”时,聪聪认为只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果.你认为他说的有理吗?
请说明理由.
分析:
本题是说理型试题,有很强的创新性,但将其转化为代数式的化简与求值,解决问题就很方便,同时要注意说的“理由”要充分合理.
解:
聪聪说的有理.
∴只要使原式有意义,无论取何值,原式的值都相同,为常数1.
说明:
解决此类问题,首先要化简所给的代数式,然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题.
先观察下列等式,然后用你发现的规律解答下列问题.
┅┅
(1)计算.
(2)探究.(用含有的式子表示)
(3)若的值为,求的值.
解:
(1)
(2)
(3)
=+┄+
==
由=解得
经检验是方程的根,∴
【精练】计算:
【分析】本题中有四个分式相加减,如果采用直接通分化成同分母的分式相加减,公分母比较复杂,其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加,其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.
【解】=
=
=
1.顺次相加法例1:
计算:
【分析】本题的解法与例1完全一样.
【解】=
=
=
2.整体通分法【例2】计算:
【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把(-a-1)看作一个整体,并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.
【解】==.
3.化简后通分
分析:
直接通分,极其繁琐,不过,各个分式并非最简分式,有化简的余地,显然,化简后再通分计算会方便许多.
4.巧用拆项法
例4计算:
.
分析:
本题的10个分式相加,无法通分,而式子的特点是:
每个分式的分母都是两个连续整数的积(若a是整数),联想到,这样可抵消一些项.
解:
原式=
=
==
5.分组运算法
例5:
计算:
分析:
本题项数较多,分母不相同.因此,在进行加减时,可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系,这样才能使运算简便.
解:
=
=
=
=
=
【错题警示】
一、错用分式的基本性质
例1 化简
错解:
原式
分析:
分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变”,而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式的基本性质.
正解:
原式
二、错在颠倒运算顺序
例2 计算
错解:
原式
分析:
乘除是同一级运算,除在前应先做除,上述错解颠倒了运算顺序,致使结果出现错误.
正解:
原式
三、错在约分
例1 当为何值时,分式有意义?
[错解]原式.
由得.
∴时,分式有意义.
[解析]上述解法错在约分这一步,由于约去了分子、分母的公因式,扩大了未知数的取值范围,而导致错误.
[正解]由得且.
∴当且,分式有意义.
四、错在以偏概全
例2 为何值时,分式有意义?
[错解]当,得.
∴当,原分式有意义.
[解析]上述解法中只考虑的分母,没有注意整个分母,犯了以偏概全的错误.
[正解],得,
由,得.
∴当且时,原分式有意义.
五、错在计算去分母
例3 计算.
[错解]原式
=.
[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了,分式计算是等值代换,不能去分母,.
[正解]原式
.
六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4 当为何值时,分式的值为零.
[错解]由,得.
∴当或时,原分式的值为零.
[解析]当时,分式的分母,分式无意义,谈不上有值存在,出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.
[正解]由由,得.
由,得且.
∴当时,原分式的值为零.
二、经典例题透析
类型一:
分式及其基本性质
1.当x为任意实数时,下列分式一定有意义的是()
A. B. C. D.
2.若分式的值等于零,则x=_______;
3.求分式的最简公分母。
【变式1】
(1)已知分式的值是零,那么x的值是()
A.-1 B.0 C.1 D.±1
(2)当x________时,分式没有意义.
【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是()
A. B.C. D.
类型二:
分式的运算技巧
(一)通分约分
4.化简分式:
【变式1】顺次相加法计算:
【变式2】整体通分法计算:
(二)裂项或拆项或分组运算
5.巧用裂项法
计算:
【变式1】分组通分法
计算:
【变式2】巧用拆项法计算:
类型三:
条件分式求值的常用技巧
6.参数法已知,求的值.
【变式1】整体代入法已知,求的值.
【变式2】倒数法:
在求代数式的值时,有时出现条件或所求分式不易变形,但当分式的分子、分母颠倒后,变形就非常的容易,这样的问题适合通常采用倒数法.
已知:
,求的值.
【变式3】主元法:
当已知条件为两个三元一次方程,而所求的分式的分子与分母是齐次式时,通常我们把三元看作两元,即把其中一元看作已知数来表示其它两元,代入分式求出分式的值.
已知:
,求的值.
类型四:
解分式方程的方法
解分式方程的基本思想是去分母,课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法,现再介绍几种灵活去分母的技巧.
(一)与异分母相关的分式方程
7.解方程=
【变式1】换元法解方程:
(二)与同分母相关的分式方程
8.解方程
【变式1】解方程【变式2】解方程
类型五:
分式(方程)的应用
9.甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是:
每次买1000元钱的糖;乙进货的策略是每次买1000斤糖,最近他俩同去买进了两次价格不同的糖,问两人中谁的平均价格低一些?
【变式1】甲开汽车,乙骑自行车,从相距180千米的A地同时出发到B.若汽车的速度是自行车的速度的2倍,汽车比自行车早到2小时,那么汽车及自行车的速度各是多少?
【变式2】A、B两地路程为150千米,甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,2小时后相遇,相遇后,各以原来的速度继续行驶,甲车到达B后,立即沿原路返回,返回时的速度是原来速度的2倍,结果甲、乙两车同时到达A地,求甲车原来的速度和乙车的速度.
【主要公式】1.同分母加减法则:
2.异分母加减法则:
;
3.分式的乘法与除法:
4.同底数幂的加减运算法则:
实际是合并同类项
5.同底数幂的乘法与除法;am●an=am+n;am÷an=am-n
6.积的乘方与幂的乘方:
(ab)m=ambn,(am)n=amn
7.负指数幂:
a-p=a0=1
8.乘法公式与因式分解:
平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2
(一)、分式定义及有关题型
题型一:
考查分式的定义
【例1】下列代数式中:
,是分式的有:
.
题型二:
考查分式有意义的条件
【例2】当有何值时,下列分式有意义
(1)
(2) (3) (4) (5)
题型三:
考查分式的值为0的条件
【例3】当取何值时,下列分式的值为0.
(1)
(2) (3)
题型四:
考查分式的值为正、负的条件
【例4】
(1)当为何值时,分式为正;
(2)当为何值时,分式为负;
(3)当为何值时,分式为非负数.
练习:
1.当取何值时,下列分式有意义:
(1)
(2) (3)
2.当为何值时,下列分式的值为零:
(1)
(2)
3.解下列不等式
(1)
(2)
(二)分式的基本性质及有关题型
1.分式的基本性质:
2.分式的变号法则:
题型一:
化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.
(1)
(2)
题型二:
分数的系数变号
【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
(1)
(2) (3)
题型三:
化简求值题
【例3】已知:
,求的值.
提示:
整体代入,①,②转化出.
【例4】已知:
,求的值.
【例5】若,求的值.
练习:
1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
(1)
(2)
2.已知:
,求的值.
3.已知:
,求的值.
4.若,求的值.
5.如果,试化简.
(三)分式的运算
题型一:
通分【例1】将下列各式分别通分.
(1);
(2);
(3);(4)
题型二:
约分【例2】约分:
(1);(3);(3).
题型三:
分式的混合运算
【例3】计算:
(1);
(2);
(3); (4);
(5);
(6);
(7)
题型四:
化简求值题【例4】先化简后求值
(1)已知:
,求分子的值;
(2)已知:
,求的值;
(3)已知:
,试求的值.
题型五:
求待定字母的值【例5】若,试求的值.
练习:
1.计算
(1);
(2);
(3); (4);
(5); (6);
(7).
2.先化简后求值
(1),其中满足.
(2)已知,求的值.
3.已知:
,试求、的值.
4.当为何整数时,代数式的值是整数,并求出这个整数值.
(四)、整数指数幂与科学记数法
题型一:
运用整数指数幂计算
【例1】计算:
(1)
(2)
(3) (4)
题型二:
化简求值题
【例2】已知,求
(1)的值;
(2)求的值.
题型三:
科学记数法的计算
【例3】计算:
(1);
(2).
练习:
1.计算:
(1)
(2)(3)(4)
2.已知,求
(1),
(2)的值.
(一)分式方程题型分析
题型一:
用常规方法解分式方程
【例1】解下列分式方程
(1);
(2);(3);(4)
提示易出错的几个问题:
①分子不添括号;②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.
题型二:
特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程
(1);
(2)
提示:
(1)换元法,设;
(2)裂项法,.
【例3】解下列方程组
题型三:
求待定字母的值
【例4】若关于的分式方程有增根,求的值.
【例5】若分式方程的解是正数,求的取值范围.
提示:
且,且.
题型四:
解含有字母系数的方程
【例6】解关于的方程
提示:
(1)是已知数;
(2).
题型五:
列分式方程解应用题
练习:
1.解下列方程:
(1);
(2);(3);
(4)(5) 6)
(7)
2.解关于的方程:
(1);
(2).
3.如果解关于的方程会产生增根,求的值.
4.当为何值时,关于的方程的解为非负数.
5.已知关于的分式方程无解,试求的值.
(二)分式方程的特殊解法
一、交叉相乘法例1.解方程:
二、化归法例2.解方程:
三、左边通分法例3:
解方程:
四、分子对等法例4.解方程:
五、观察比较法例5.解方程:
六、分离常数法例6.解方程:
七、分组通分法例7.解方程:
例1.若分式方程无解,求的值。
例2.若关于的方程不会产生增根,求的值。
例3.若关于分式方程有增根,求的值。
例4.若关于的方程有增根,求的值。
分式求值问题全解
1.字母代入法
例1.b=a+1,c=a+2,d=a+3,求的值.
【解析】仔细观察已知条件,虽然出现的字母很多,但都可以用一个字母代替:
a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3
所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简
=
=
=
=
=
【探讨】当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时,第一个要想到的方法就是字母带入法,因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示,所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。
2.设值代入法
例2.已知,求证:
【解析】这道题也可以用字母代入法,可以得到,,代入后分式的分子分母中有分式,化简麻烦。
我们用一种新的代入方式,考虑到、、连等,让它们都等于k则x=aky=bkz=ck
代入得=
=
=
【探讨】当遇到连等式,可以采用以下三种方式来运用这个条件
设
则
(1),
(2)设则x=aky=bkz=ck
(3)设则其中
3.整式代入法
例3.已知:
,求分式的值.
【解析】如果用字母代入法,要用b代替a本来就比较复杂,会增加我们化简的负担。
将条件化简成乘积形式,得,再将分式稍化简变为,可以发现分子分母中只有(a-b)和ab这两项,所以可以用ab代替b-a
【探讨】用整式代入法,能够很大程度地化简代数式,比字母代入法更优越,但要善于观
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