1、34分式性质及运算【基础精讲】 一、分式的概念1、正确理解分式的概念：【例1】有理式（1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6）中，属于整式的有： ；属于分式的有： 。.2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.(1) 例如，当x为 时，分式有意义错解：时原分式有意义(2) 不要随意用“或”与“且”。例如 当x_时，分式有意义？错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制当 时，分式有意义当 时，分式无意义当 时，分式值为0二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.(1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、
2、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它理解分式的基本性质时，必须注意：分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式在分式的基本性质中，M0分子、分母必须“同时”乘以M(M0)，不要只乘分子（或分母）性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的(2)注意：根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式【例3】下
3、列变形正确的是（ ）A; B C D【例4】 如果把分式中的都扩大3倍,那么分式的值一定( ) A.扩大3倍 B.扩大9倍 C. 扩大6倍 D.不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】（1）化简的结果为（ ）A B C D（2）化简的结果（）A B C D（3）化简的结果是（）A BC D3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;三、分式的运算
4、1、分式运算时注意：（1）注意运算顺序例如，计算，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行错解：原式（2）通分时不能丢掉分母例如，计算，出现了这样的解题错误：原式=分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略 （4）最后的运算结果应化为最简分式2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.(1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4)最后还应检查相乘后的分式
5、是否为最简分式 3、加减的加减 1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。 2)异分母分式加减法则：运算步骤：先确定最简公分母；对每项通分,化为分母相同； 按同分母分式运算法则进行；注意结果可否化简，化为最简4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算. 【例6】计算：（1）； （2）；（3） （4）已知，则代数式的值【分类解析】 一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分技巧例1 计算+分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约
6、分后再计算解：原式=+=+=2、分离整数技巧例2 计算-分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。解：原式=-=1+-1-=-=-3、裂项相消技巧例3 计算+分析：此类题可利用=（-）裂项相消计算。解：原式=（-）+（-）+（-）=-=4、分组计算技巧例4 计算+-分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采取分组计算简捷。解：原式=（-）+（-）=+=5、变形技巧例5 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。分析：将已知两边同除以x（x0）可变出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。解：由x2-3x
7、+1=0，两边同除以x（x0），得x-3+=0，即x+=3所以x2+=（x+）2-2=32-2=7 二、分式求值中的整体思想例1 若分式的值为，则的值为（ ）A、1 B、-1 C、- D、解：由已知=得2y2+3y+7=82y2+3y=1，4y2+6y=2所以=1，故选A。例2 已知+=4，则= 。分析：由已知可得到a+b与ab的关系式，所求式通过分解因式可得到用a+b与ab的表达式，然后将a+b用ab代换即可求出所求式的值。解：由已知得=4 a+b=4ab=-点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到=然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。例3 已知a2-3a+1=0，求的
8、值。解：由已知a2-3a+1=0知a0，将已知等式两边同除以a得a-3+=0，a+=3所以=a2+=（a+）2-2=32-2=7=点评：所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。a2=（a）22这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。例4 已知+=，+=，+=，求的值。分析：将所求式分子、分母同除以abc可得到，只要将已知式变换出+即可。解：因为+=，+=，+=，将、左、右分别相加，得2（+）=+ +=所以=例5 有一道题：“先化简再求值：，其中”，小明做题时把“”错抄成了“”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？解析:首先对原分式进行化简,再根据化简结果说理
9、.因为当和时, 的值都是2009,所以小明把“”错抄成了“”,计算结果也是正确的.例6 已知x2-3x+1=0，求x2+的值。分析：将已知两边同除以x（x0）可变出x+，然后利用完全平方公式的逆用可求出x2+的值。解：由x2-3x+1=0，两边同除以x（x0），得x-3+=0，即x+=3所以x2+=（x+）2-2=32-2=7三、分式运算新型题例2 请利用、 和这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分式的商减去第三个分式的差,并化简.解析:本题为开放性问题,答案不唯一.按题目的要求可得到10多个不同的算式,选取其中一个进行化简即可,但一般应选择一个计算较简便的算式,以减少运算量,提高正确率.如
10、, -=,等等.温馨提示:这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养,已成为各类考试的热点,但所考查的知识却是我们所熟悉的.例3 先化简代数式,然后选取一个合适的值,代入求值.解析:本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”,解题时必须明确“合适”在题中的含义,即选取的的值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便.原式=.由题意知,的值不能取2和-2,所以当=0时,原式=4.温馨提示:本题既检测了同学们分析问题的能力,又考查了识别隐含信息的能力,题目的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识.这类题目也是近年出现的热点题型,为我们提供了较为广阔的思考空间,但所选字母的值应保证原式有意义,以防掉入解题
11、“陷阱”.一、开放性问题例1在下列三个不为零的式子 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 .分析：此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人性化与趣味化.解：本题存在6种不同的结果，任选其一即可.（1）；（2）;（3）； （4）;（5）;(6) .说明：其实解决本题的关键就是分式的约分，但它又不完全等同于分式的约分，它需要我们先构造出分式后再约分，让我们在分析探索后解决问题，而不是直接把问题摆在我们面前.二、探索运算程序例2任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ） 平方 - +2 结果 A B C+1 D-1 分析：本
12、题设计新颖，意在创新，明确计算程序是正确解答本题的前提.解：计算程序可表示为：，化简：原式= =m-1+2=m+1，故选C.说明：这是一道比较容易的题，但要注意其运算的顺序，否则就会出现错误的答案.三、自选数值求解例3化简，并选择你最喜欢的数代入求值分析：这是近年来出现的一种新题型，具有一定的灵活性。此题从难度上来说并不大，但是要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式.在选取x的数值时，一定要保证原式有意义，而且尽量使运算简便为好.解：原式，当x=2时，原式=-2.说明：这里的x不能取0与1，否则分母的值为0，原式就没有意义了.四、运算说理题例4在解题目：“当时，求代数式的值”时，聪聪
13、认为只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果你认为他说的有理吗？请说明理由分析：本题是说理型试题，有很强的创新性，但将其转化为代数式的化简与求值，解决问题就很方便，同时要注意说的“理由”要充分合理.解：聪聪说的有理 只要使原式有意义，无论取何值，原式的值都相同，为常数1说明：解决此类问题，首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题.先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题 (1) 计算 （2）探究 （用含有的式子表示）（3）若 的值为，求的值 解：（1） （2） （3）=+ += 由= 解得 经检验是方程的根，【精练】计算：【分析】本题中有四个分式相加减，如果采
14、用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.【解】= = =1顺次相加法例1：计算：【分析】本题的解法与例1完全一样.【解】= = =2整体通分法【例2】计算：【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.【解】=.3化简后通分分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多4巧用拆项法例4计算：.分析：本题的10个分式相加，无法通分，而
15、式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），联想到，这样可抵消一些项.解：原式= = =5分组运算法例5：计算：分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.解： = = = = =【错题警示】一、 错用分式的基本性质例1 化简错解：原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.正解：原式二、 错在颠倒运算顺序例2 计算错解：原式分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上
16、述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.正解：原式三、错在约分例1 当为何值时，分式有意义？错解原式.由得.时，分式有意义.解析上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.正解由得且.当且，分式有意义.四、错在以偏概全例2 为何值时，分式有意义？错解当，得.当，原分式有意义.解析上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.正解 ，得，由，得.当且时，原分式有意义.五、错在计算去分母例3 计算.错解原式=.解析上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.正解原式.六、错在只考虑分子没有顾及分母例4 当为何值时
17、，分式的值为零.错解由，得.当或时，原分式的值为零.解析当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.正解由由，得.由，得且.当时，原分式的值为零.二、经典例题透析类型一：分式及其基本性质1当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）A. B. C. D. 2若分式的值等于零，则x_； 3求分式的最简公分母。【变式1】（1）已知分式的值是零，那么x的值是（ ）A1B0C1D （2）当x_时，分式没有意义【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）A B CD类型二：分式的运算技巧(一) 通分约分4化简分式:【变式1】顺次相加法 计算：【变式2】整体通分
18、法 计算：（二）裂项或拆项或分组运算5巧用裂项法计算：【变式1】分组通分法计算：【变式2】巧用拆项法计算： 类型三：条件分式求值的常用技巧6参数法 已知，求的值【变式1】整体代入法 已知，求的值.【变式2】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法已知：，求的值【变式3】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值已知：，求的值类型四:解分式方程的方法解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方
19、程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧（一）与异分母相关的分式方程7解方程=【变式1】换元法 解方程：（二）与同分母相关的分式方程8解方程【变式1】解方程 【变式2】解方程类型五：分式（方程）的应用9甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？【变式1】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180千米的A地同时出发到B若汽车的速度是自行车的速度的2倍，汽车比自行车早到2小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？【变式2】 A、B两地路程为1
20、50千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车原来的速度和乙车的速度【主要公式】1.同分母加减法则:2.异分母加减法则:;3.分式的乘法与除法:,4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am an =am+n; am an =amn6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= am bn , (am)n= amn7.负指数幂: a-p= a0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2
21、;(ab)2= a22ab+b2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件【例2】当有何值时，下列分式有意义（1）（2）（3）（4）（5）题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当取何值时，下列分式的值为0. （1）（2）（3）题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当为何值时，分式为正；（2）当为何值时，分式为负；（3）当为何值时，分式为非负数.练习：1当取何值时，下列分式有意义：（1）（2）（3）2当为何值时，下列分式的值为零：（1）（2）3解下列不等式（1）（2）（二）分式的基本性质及有关题型1分式的基本性质：
22、2分式的变号法则：题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）（2）题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）（2）（3）题型三：化简求值题【例3】已知：，求的值.提示：整体代入，转化出.【例4】已知：，求的值.【例5】若，求的值.练习：1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）（2）2已知：，求的值.3已知：，求的值.4若，求的值.5如果，试化简.（三）分式的运算题型一：通分【例1】将下列各式分别通分.（1）； （2）；（3）； （4）题型二：约分【例2】约分：（1）
23、；（3）；（3）.题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：，求分子的值；（2）已知：，求的值；（3）已知：，试求的值.题型五：求待定字母的值【例5】若，试求的值.练习：1计算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.2先化简后求值（1），其中满足.（2）已知，求的值.3已知：，试求、的值.4当为何整数时，代数式的值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）（2）（3）（4）题型二：化简求值题【例2】已知，求（1）的值；（2
24、）求的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）；（2）.练习：1计算：（1）（2）（3）（4）2已知，求（1），（2）的值.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）；（2）；（3）；（4）提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）； （2）提示：（1）换元法，设；（2）裂项法，.【例3】解下列方程组题型三：求待定字母的值【例4】若关于的分式方程有增根，求的值.【例5】若分式方程的解是正数，求的取值范围.提示：且，且.题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于的方
25、程提示：（1）是已知数；（2）.题型五：列分式方程解应用题练习：1解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）（5）6）（7）2解关于的方程：（1）；（2）.3如果解关于的方程会产生增根，求的值.4当为何值时，关于的方程的解为非负数.5已知关于的分式方程无解，试求的值.（二）分式方程的特殊解法一、交叉相乘法例1解方程：二、化归法例2解方程：三、左边通分法例3：解方程：四、分子对等法例4解方程：五、观察比较法例5解方程：六、分离常数法例6解方程：七、分组通分法例7解方程：例1若分式方程无解，求的值。例2若关于的方程不会产生增根，求的值。例3若关于分式方程有增根，求的值。例4若关于的方程有增根，求的
26、值。分式求值问题全解1. 字母代入法例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求的值.【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替： a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简= = = = =【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。2. 设值代入法 例2. 已知，求证：【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到，代入后分式的分子分母中有分式，化简麻烦。我们用一种新的代入方式，考虑到、连等，让它们都等于k 则 x=ak y=bk z=ck 代入得 = = =【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件 设 则（1）， （2）设 则x=ak y=bk z=ck （3）设 则 其中3. 整式代入法例3. 已知：，求分式的值.【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。将条件化简成乘积形式，得 ，再将分式稍化简变为，可以发现分子分母中只有(a-b)和ab这两项，所以可以用ab代替b-a 【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观
