中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题word版文档格式.docx
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例❷如图2-1,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P以2个单位/秒的速度从点A
出发,沿AC向点C移动,同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发,沿CB向点B移
动,当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动.在P、Q两点移动的过程中,当△PQC
为等腰三角形时,求t的值.
图2-1
【解析】在P、Q两点移动的过程中,△PQC的6个元素(3个角和3条边)中,唯一不变的就是∠PCQ的大小,夹∠PCQ的两条边CQ=t,CP=10-2t.因此△PQC符合“边角边”的解题条件,我们只需要三个∠C就可以了,在∠C的边上取点P或Q画圆.
图2-2图2-3图2-4
①如图2-2,当CP=CQ时,t=10-2t,解得t=
(秒).
②如图2-2,当QP=QC时,过点Q作QM⊥AC于M,则CM=
PC=5-t.
在Rt△QMC中cos∠QCM=
,解得t=
③如图2-4,当PQ=PC时,过点P作PN⊥BC于N,则CN.
在Rt△PNC中,cos∠PCN=
=
,解得t=
这道题中,我们从“有限”的矩形中,选择我们需要的“无限”的∠PCQ,使得画图简
洁,计算简练.
例❸如图3-1,直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P是x轴正半轴
上的一个动点,直线PQ与直线AB垂直,交y轴于点Q,如果△APQ是等腰三角形,求点
P的坐标.
【解析】我们先用代数法解这道题.
图3-1
由y=2x+2得,A(-1,0),B(0,2).所以OA=1,OB=2.
如图3-2,由于∠QPA=∠ABO,所以OP∶OQ=OB∶OA=2∶1.设点Q的坐标为(0,m),那么点P的坐标为(2m,0).
因此AP2=(2m+1)2,AQ2=m2+1,PQ2=m2+(2m)2=5m2.
①当AP=AQ时,解方程(2m+1)2=m2+1,得m=0或m
.所以符合条件的点P
不存在.
②当PA=PQ时,解方程(2m+1)2=5m2,得m=2±
.所以P(4+2
0).
③当QA=QP时,解方程m2+1=5m2,得m
.所以P(1,0).
图3-2图3-3图3-4
我们再用几何法验证代数法,并进行比较.如图3-3,在直线PQ平移的过程中,根据“两直线平行,同位角相等”,可知∠QPO的大小是不变的,因此△PQA也符合“边角边”的解题条件,我们只需要三个∠P,点P在点A的右侧,暂时不画y轴(如图3-4).
①如果AP=AQ,以A为圆心、AP为半径画圆,得到点Q(如图3-5).因为点Q在y
轴上,于是“奇迹”出现了,点A(-1,0)怎么可以在y轴的右侧呢?
图3-5图3-6
②当PA=PQ时,以P为圆心、PA为半径画圆,得到点Q,再过点Q画y轴.此时由
2m+1=
m,解得m=2+
,所以P(4+2
0)(如图3-6).请问代数法解得的点
P(4-2
0)在哪里?
看看图3-7就明白了.
③当QA=QP时,点Q在AP的垂直平分线上,由于A(-1,0),所以P(1,0)(如图3-8).我们可以体验到,几何法可以快速找到目标,而且计算比较简便.
图3-7图3-8
例❹如图4-1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,
M是BC的中点.P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.当
△APD是等腰三角形时,求m的值.
图4-1
【解析】点P(0,m)在运动的过程中,△APD的三个角都在变化,因此不符合几何法“边角边”的解题条件,我们用代数法来解.
因为PC//DB,M是BC的中点,所以BD=CP=2-m.所以D(2,4-m).于是我们可以罗列出△APD的三边长(的平方):
AD2=(4-m)2,AP2=m2+4,PD2=22+(4-2m)2.
①当AP=AD时,(4-m)2=m2+4.解得m=
(如图4-2).
②当PA=PD时,m2+4=22+(4-2m)2.
解得m=
(如图4-3)或m=4(不合题意,舍去).
③当DA=DP时,(4-m)2=22+(4-2m)2.
解得m=
(如图4-4)或m=2(不合题意,舍去).
综上所述,当△APD为等腰三角形时,m的值为
,
或
图4-2图4-3图4-4
其实①、②两种情况,可以用几何说理的方法,计算更简单:
①如图4-2,当AP=AD时,AM垂直平分PD,那么△PCM∽△MBA.
所以
因此PC=
,m=
②如图4-3,当PA=PD时,P在AD的垂直平分线上.
所以DA=2PO.因此4-m=2m.解得m=
例❺如图5-1,已知△ABC中,AB=AC=6,BC=8,点D是BC边上的一个动点,
点E在AC边上,∠ADE=∠B.设BD的长为x,如果△ADE为等腰三角形,求x的值.
图5-1
【解析】在△ADE中,∠ADE=∠B大小确定,但是夹∠ADE的两条边DA、DE用含有x的式子表示太麻烦了.
本题的已知条件∠ADE=∠B=∠C非常典型,由于∠ADC=∠ADE+∠1,∠ADC=
∠B+∠2,∠ADE=∠B,所以∠1=∠2.于是得到典型结论△DCE∽△ABD.
①如图5-2,当DA=DE时,△DCE≌△ABD.因此DC=AB,8-x=6.解得x=2.
②如图5-3,如果AD=AE,那么∠AED=∠ADE=∠C.由于∠AED是△DCE的一个外角,所以∠AED>∠C.如果∠ADE=∠C,那么E与C重合,此时D与B重合,x=0.
③如图5-4,当EA=ED时,∠DAE=∠ADE=∠B=∠C,所以△DAC∽△ABC.因此
.解得x=
.
图5-2图5-3图5-4
§
1.2因动点产生的等腰三角形问题
课前导学
我们先回顾两个画图问题:
1.已知线段AB=5厘米,以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个?
顶点C的轨迹是什么?
2.已知线段AB=6厘米,以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个?
顶点C的轨迹是什么?
已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点C.
已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外.在讨论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类.
如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三种情况.解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可以使得
分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢?
如果△ABC的∠A(的余弦值)是确定的,夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来,那么就用几何法.
①如图1,如果AB=AC,直接列方程;
②如图2,如果BA=BC,那么
AC=ABcos∠A;
③如图3,如果CA=CB,那么
AB=ACcos∠A.
代数法一般也分三步:
如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来,那么根据两点间的距离公式,三边长(的平方)就可以罗列出来.
图1图2图3
例9
如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)
和(
)两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2).
(1)求a、b、c的值;
(2)求证:
在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交;
(3)设⊙P与x轴相交于M(x1,0)、N(x2,0)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P
的纵坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14长沙26”,拖动圆心P在抛物线上运动,可以体验到,圆
与x轴总是相交的,等腰三角形AMN存在五种情况.
思路点拨
1.不算不知道,一算真奇妙,原来⊙P在x轴上截得的弦长MN=4是定值.
2.等腰三角形AMN存在五种情况,点P的纵坐标有三个值,根据对称性,MA=MN
和NA=NM时,点P的纵坐标是相等的.
图文解析
(1)已知抛物线的顶点为(0,0),所以y=ax2.所以b=0,c=0.
将(
)代入y=ax2,得
=a2.解得a=
(舍去了负值).
(2)抛物线的解析式为y=
x2,设点P的坐标为(x,
x2).
已知A(0,2),所以PA=
>
x2
而圆心P到x轴的距离为
x2,所以半径PA>圆心P到x轴的距离.
所以在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交.
(3)如图2,设MN的中点为H,那么PH垂直平分MN.
在Rt△PMH中,PM2=PA2=
x4+4,PH2=(
x)2=
x4,所以MH2=4.
所以MH=2.因此MN=4,为定值.等腰△AMN存在三种情况:
①如图3,当AM=AN时,点P为原点O重合,此时点P的纵坐标为0.
图2图3
②如图4,当MA=MN时,在Rt△AOM中,OA=2,AM=4,所以OM=2
此时x=OH=2
+2.所以点P的纵坐标为
x2=
(2
+2)2=(
+1)2=4+2
如图5,当NA=NM时,根据对称性,点P的纵坐标为也为4+2
图4图5
③如图6,当NA=NM=4时,在Rt△AON中,OA=2,AN=4,所以ON=2
此时x=OH=2
-2.所以点P的纵坐标为
x2=
-2)2=(
-1)2=4-2
.
如图7,当MN=MA=4时,根据对称性,点P的纵坐标也为4-2
考点伸展
图6图7
如果点P在抛物线y=
x2上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0,1),那么在点
P运动的过程中,⊙P始终与直线y=-1相切.这是因为:
设点P的坐标为(x,
x2).
已知B(0,1),所以PB=
x2+1.
而圆心P到直线y=-1的距离也为
x2+1,所以半径PB=圆心P到直线y=-1的距
离.所以在点P运动的过程中,⊙P始终与直线y=-1相切.
例10
如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过O、B、
C三点,B、C坐标分别为(10,0)和(
-
),以OB为直径的⊙A经过C点,直线l垂直x轴于B点.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求抛物线解析式及顶点坐标;
(3)点M是⊙A上一动点(不同于O、B),过点M作⊙A的切线,交y轴于点E,交直线l于点F,设线段ME长为m,MF长为n,请猜想mn的值,并证明你的结论;
(4)若点P从O出发,以每秒1个单位的速度向点B作直线运动,点Q同时从B出发,以相同速度向点C作直线运动,经过t(0<t≤8)秒时恰好使△BPQ为等腰三角形,请求出满足条件的t值.
图图1
请打开几何画板文件名“14张家界25”,拖动点M在圆上运动,可以体验到,△EAF
保持直角三角形的形状,AM是斜边上的高.拖动点Q在BC上运动,可以体验到,△BPQ
有三个时刻可以成为等腰三角形.
1.从直线BC的解析式可以得到∠OBC的三角比,为讨论等腰三角形BPQ作铺垫.
2.设交点式求抛物线的解析式比较简便.
3.第(3)题连结AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜边上的高.
4.第(4)题的△PBQ中,∠B是确定的,夹∠B的两条边可以用含t的式子表示.分三种情况讨论等腰三角形.
(1)直线BC的解析式为y=
x-
(2)因为抛物线与x轴交于O、B(10,0)两点,设y=ax(x-10).
代入点C(
),得
所以y=
x(x-10)=
x2-
x=
(x-5)2-
抛物线的顶点为(5,-
).
(3)如图2,因为EF切⊙A于M,所以AM⊥EF.
由AE=AE,AO=AM,可得Rt△AOE≌Rt△AME.所以∠1=∠2.
同理∠3=∠4.于是可得∠EAF=90°
所以∠5=∠1.由tan∠5=tan∠1,得MA=ME.
MFMA
所以ME·
MF=MA2,即mn=25.
图2
(4)在△BPQ中,cos∠B=
,BP=10-t,BQ=t.
分三种情况讨论等腰三角形BPQ:
①如图3,当BP=BQ时,10-t=t.解得t=5.
②如图4,当PB=PQ时,
BQ=BPcos∠B.解方程
t=
(10-t),得t=
③如图5,当QB=QP时,
BP=BQcos∠B.解方程
(10-t)=
t,得t=
图3图4图5
在第(3)题条件下,以EF为直径的⊙G与x轴相切于点A.
如图6,这是因为AG既是直角三角形EAF斜边上的中线,也是直角梯形EOBF的中位线,因此圆心G到x轴的距离等于圆的半径,所以⊙G与x轴相切于点A.
图6
例11
在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点
A位于点B的右侧),与y轴相交于点C.
(1)若m=2,n=1,求A、B两点的坐标;
(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧,C点坐标是(0,-1),求∠ACB的大小;
(3)若m=2,△ABC是等腰三角形,求n的值.
请打开几何画板文件名“14邵阳26”,点击屏幕左下方的按钮
(2),拖动点A在x轴正半轴上运动,可以体验到,△ABC保持直角三角形的形状.点击屏幕左下方的按钮(3),拖动点B在x轴上运动,观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上,可以体验到,等腰三角形ABC有4种情况.
1.抛物线的解析式可以化为交点式,用m,n表示点A、B、C的坐标.
2.第
(2)题判定直角三角形ABC,可以用勾股定理的逆定理,也可以用锐角的三角比.
3.第(3)题讨论等腰三角形ABC,先把三边长(的平方)罗列出来,再分类解方程.
(1)由y=x2-(m+n)x+mn=(x-m)(x-n),且m>n,点A位于点B的右侧,可知
A(m,0),B(n,0).
若m=2,n=1,那么A(2,0),B(1,0)..
(2)如图1,由于C(0,mn),当点C的坐标是(0,-1),mn=-1,OC=1.
若A、B两点分别位于y轴的两侧,那么OA·
OB=m(-n)=-mn=1.
所以OC2=OA·
OB.所以
所以tan∠1=tan∠2.所以∠1=∠2.又因为∠1与∠3互余,所以∠2与∠3互余.所以∠ACB=90°
(3)在△ABC中,已知A(2,0),B(n,0),C(0,2n).讨论等腰三角形ABC,用代数法解比较方便:
由两点间的距离公式,得AB2=(n-2)2,BC2=5n2,AC2=4+4n2.
①当AB=AC时,解方程(n-2)2=4+4n2,得n
(如图2).
②当CA=CB时,解方程4+4n2=5n2,得n=-2(如图3),或n=2(A、B重合,
舍去).
③当BA=BC时,解方程(n-2)2=5n2,得n=-
(如图4),或n=
(如
图5).
第
(2)题常用的方法还有勾股定理的逆定理.
由于C(0,mn),当点C的坐标是(0,-1),mn=-1.
由A(m,0),B(n,0),C(0,-1),得AB2=(m-n)2=m2-2mn+n2=m2+n2+2,
BC2=n2+1,AC2=m2+1.
所以AB2=BC2+AC2.于是得到Rt△ABC,∠ACB=90°
.第(3)题在讨论等腰三角形ABC时,对于CA=CB的情况,此时A、B两点关于y轴
对称,可以直接写出B(-2,0),n=-2.
例12
如图1,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA
方向向点A匀速运动,同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为
1cm/s.连结PQ,设运动时间为t(s)(0<t<4),解答下列问题:
(1)设△APQ的面积为S,当t为何值时,S取得最大值?
S的最大值是多少?
(2)如图2,连结PC,将△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,当四边形PQP′C
为菱形时,求t的值;
(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形?
图1图2
请打开几何画板文件名“14娄底27”,拖动点Q在AC上运动,可以体验到,当点P
运动到AB的中点时,△APQ的面积最大,等腰三角形APQ存在三种情况.还可以体验到,当QC=2HC时,四边形PQP′C是菱形.
1.在△APQ中,∠A是确定的,夹∠A的两条边可以用含t的式子表示.
2.四边形PQP′C的对角线保持垂直,当对角线互相平分时,它是菱形,.
(1)在Rt△ABC中,AC=4,BC=3所以AB=5,sinA=
,cosA=
作QD⊥AB于D,那么QD=AQsinA=
t.
所以S=S△APQ=
AP⋅QD=
(5-t)⨯
t=-
(t2-5t)=-
(t-
)2+
当t=
时,S取得最大值,最大值为
(2)设PP′与AC交于点H,那么PP′⊥QC,AH=APcosA=
(5-t).
如果四边形PQP′C为菱形,那么PQ=PC.所以QC=2HC.
解方程4-t=2⨯[4-
(5-t)],得t=
图3图4
(3)等腰三角形APQ存在三种情况:
①如图5,当AP=AQ时,5-t=t.解得t=
②如图6,当PA=PQ时,
AQ=APcosA.解方程
(5-t),得t=
③如图7,当QA=QP时,
AP=AQcosA.解方程
(5-t)=
t,得t=
图5图6图7
在本题情境下,如果点Q
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