中考专题复习--平行四边形辅助线(培优训练).docx
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平行四边形辅助线(培优训练)
知识点:
1、平行四边形
(1)平行四边形的概念:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
(2)平行四边形的性质:
平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
(3)平行四边形的判定:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.特殊的四边形
(5)矩形:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
性质:
具有平行四边形的一切性质,四个角都是直角;对角线相等。
判定:
有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形;有三个角是直角的四边形是矩形。
(6)直角三角形:
斜边的中线等于斜边的一半。
(7)菱形:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
性质:
具有平行四边形的一切性质;四条边都相等;两条对角线互相垂直;并且每一条对角线平分一组对角。
判定:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形。
(8)正方形:
四条边都相等,四个角都是直角,即是菱形又是矩形,即具有菱形的性质又具有矩形的性质。
平行四边形相关的辅助线
(一)
一、本节概述
本节重点讲解与平行四边形相关的辅助线,即通过构造平行四边形改变线段和角的位置,从而使条件结合更紧密,达到解题的目的,同时构造平行四边形也是线段平移的过程,因此平行四边形与平移变换紧密相关。
二、典例精析
知识点一:
平行四边形相关辅助线
【例1】如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AB+AD=BC+CD,求证:
四边形ABCD是平行四边形。
思路分析:
由AB+AD=BC+CD知,可构造和为AB+AD与BC+CD的线段。
构造AB+AD。
证明:
延长DA至M,使AM=AB
构造BC+CD。
延长BC至点N,使CN=CD.
方法总结:
利用平行四边形改变线段和角的位置,达到解题的目的,此方法可以理解为图形变换中的“平移变换”
【例2】如图,在中,
思路分析:
题目中线段的位置无法比较大小,需要构造辅助线,可通过平移改变线段的位置。
证明:
由平行四边形的定义。
构造全等三角形转化边的关系
作角平分线构造出全等三角形。
知识点2:
平行四边形面积相关性质
【例3】如图:
点E是平行四边形ABCD内一点,求证:
思路分析:
求面积关系,可根据面积公式表示出三角形和四边形的面积,因为已经有底了,故需作出它们的高。
方法总结:
本题是与平行四边形面积相关的一个典型题目,注意利用面积公式和平行四边形性质即可。
三、成果检测:
1.已知:
如图,在平行四边形ABCD中,点E,F在AC上,且AE=CF.
求证:
四边形BEDF是平行四边形。
2.如图,在▱ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是___.(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①∠DCF=∠BCD;②EF=CF;③;④∠DFE=3∠AEF.
3.如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60,M、N分别是AD、BC的中点,BC=2CD.
(1)求证:
四边形MNCD是平行四边形;
(2)求证:
BD=MN.
平行四边形相关的辅助线
(二)
一、本节概述
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,因为它们比平行四边形有更多的限制条件,因此在解题的时候,充分利用这些特殊的关系是解题的关键。
二、典例精析
知识点1:
矩形
能力目标:
1.了解矩形的特征:
2.灵活运用矩形的特性解决相关问题
【例1】如图,点E是矩形ABCD内点,求证:
.
思路分析:
求线段的平方关系,优先考虑勾股定理,需要构造直角三角形表示出所求线段的平方。
过点E向矩形各边作垂线。
证明:
方法总结:
本题是利用矩形的四个角都是直角这一特性结合勾股定理证明。
【例2】如图,在矩形ABCD中,已知AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,
思路分析:
因为要求PE+PF的值,可知它是定值,P在不同位置这个值不变,取P与A重合这个特殊位置。
作
方法总结:
与矩形相关的题目,注意利用矩形相对于平行四边形特有的性质,如对角线相等的四个角都是直角。
知识点2:
菱形
能力目标:
1.理解菱形的性质:
2.灵活运用菱形的特性解决相关问题
【例3】如图:
在菱形ABCD中,,E是AB边的中点,P是AC边上动点,PB+PE的最小值是,求AB的值。
利用菱形的轴对称性构造全等三角形
解:
连接DP,
【例4】如图,四边形ABCD是平行四边形,
解题过程:
延长AB、FG交于点H,连接DH。
补全图形后,观察图形猜测四边形AHFD是菱形。
且这个菱形是由两个等边三角形组成的。
再证明
知识点3:
正方形
能力目标:
1.理解正方形的特性
2.灵活运用正方形的特性解决相关问题
【例5】如图,在正方形ABCD中,E、F、G、H分别是四条边上的点,且
通过平移构造辅助线:
所以
【例6】如图:
E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,
连接BE交AG于点H。
若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是多少?
三、成果检测
1.如图所示,正方形ABCD的边长为3,E为CD边上一点,∠DAE=30,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ=AE,则AP长为
2.请阅读下列材料
(1)问题:
如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60,探究PG与PC的位置关系及PG/PC的值。
(2)实验与探究:
延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决。
写出上面问题中线段PG与PC的位置关系___; 及PG/PC=___.
(3)归纳与发现:
将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在
(1)中得到的两个结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明。
运用与拓广:
若图1中∠ABC=∠BEF=2(0<α<90),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出PG/PC的值(用含α的式子表示).
3.在▱ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数。
4.已知:
如图,平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的边长为4,它的顶点A在x轴的正半轴上运动,顶点D在y轴的正半轴上运动(点A,D都不与原点重合),顶点B,C都在第一象限,且对角线AC,BD相交于点P,连接OP.
(1)当OA=OD时,点D的坐标为___,∠POA=___;
(2)当OA OP平分∠DOA; (3)设点P到y轴的距离为d,则在点A,D运动的过程中,d的取值范围是什么? 5.已知,如图①,∠MON=60,点A,B为射线OM,ON上的动点(点A,B不与点O重合),且AB=,在∠MON的内部,△AOB的外部有一点P,且AP=BP,∠APB=120. (1)求AP的长; (2)求证: 点P在∠MON的平分线上。 (3)如图②,点C,D,E,F分别是四边形AOBP的边AO,OB,BP,PA的中点,连接CD,DE,EF,FC,OP. ①当AB⊥OP时,请直接写出四边形CDEF的周长的值; ②若四边形CDEF的周长用t表示,请直接写出t的取值范围。 6.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,且AB>CE. (1)如图1,连接BG、DE.求证: BG=DE; (2)如图2,如果正方形ABCD的边长为,将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD,BG=BD. ①求∠BDE的度数; ②请直接写出正方形CEFG的边长的值。 7.如图,P是正方形ABCD对角线AC上一点,点E在BC上,且PE=PB. (1)求证: PE=PD; (2)连接DE,试判断∠PED的度数,并证明你的结论。 8.如图,正方形ABCD的边长为6,点E是BC上的一点,连接AE并延长,交射线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折,点B落在点N处,AN的延长线交DC于点M,当AB=2CF时,则NM的长. 9. (1)如图1,在矩形ABCD中,AB=2BC,M是AB的中点。 直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系; (2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,AB=2BC,M是AB的中点,过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E. ①若∠A为锐角,则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系,并证明你的结论; ②当0<∠A<___时,上述结论成立;当___⩽∠A<180时,上述结论不成立。
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- 中考 专题 复习 平行四边形 辅助线 训练