第6讲 学生2份专题6一元二次方程及其应用.docx
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第6讲学生2份专题6一元二次方程及其应用
第6讲专题6一元二次方程及其应用
一、选择题
1.方程
的解是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
2.用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时,配方后得的方程为( )
A.(x+1)2=0B.(x﹣1)2=0C.(x+1)2=2D.(x﹣1)2=2
3.下列一元二次方程有两个相等实数根的是()
A.x2+3=0B.x2+2x=0
C.(x+1)2=0D.(x+3)(x-1)=0
4.若关于
的一元二次方程
有两个不相等的实数根,则实数
的取值范围是( )
A.
B.
且
C.
且
D.
且
5.对于任意实数k,关于x的方程程x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0的根的情况为
A.有两个相等的实数根B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根D.无法确定
6.关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
A.m<3B.m≤3C.m>3D.m≥3
7.已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3,则实数k的值为( )
A.1B.﹣1C.2D.﹣2
8.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,则参赛球队的个数是()
A.5个B.6个C.7个D.8个
9.已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<﹣2B.k<2C.k>2D.k<2且k≠1
10.已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,则a的值是( )
A.4B.-4C.1D.-1
二、填空题
1.一元二次方程2x2-3x+1=0的解为____________.
2.一元二次方程
的根是.
3.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△ABC=3,请写出一个符合题意的一元二次方程.
4.现定义运算“★”,对于任意实数a、b,都有a★b=a2﹣3a+b,如:
3★5=32﹣3×3+5,若x★2=6,则实数x的值是 .
5.已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根,则b的值是 .
6.已知如图所示的图形的面积为24,根据图中的条件,可列出
方程:
。
三、解答题
1.(8分)解方程:
x2﹣3x﹣1=0.
2.解方程:
.
3.(6分)已知,关于x的方程
的两个实数根
、
满足
,求实数
的值.
4.对分式方程验根的归纳如下:
“解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0,因此应如下检验:
将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.”
请你根据对这段话的理解,解决下面问题:
已知关于x的方程
-
=0无解,方程x2+kx+6=0的一个根是m.
(1)求m和k的值;
(2)求方程x2+kx+6=0的另一个根.
5.当x满足条件
时,求出方程x2﹣2x﹣4=0的根.
四、应用题
1.如图所示,在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形.
(1)用a,b,x表示纸片剩余部分的面积;
(2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.
2.“4·20”雅安地震后,某商家为支援灾区人民,计划捐赠帐篷16800顶,该商家备有2辆大货车、8辆小车运送,计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶,大、小货车每天均运送一次,两天恰好运完.
(1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶?
(2)因地震导致路基受损,实际运送过程中,每辆大货车每次比原计划少运200
顶,每辆小货车每次比原计划少运300顶.为了尽快将帐篷运送到灾区,大货车每天比原计划多跑
次,小货车每天比原计划多跑
次,一天刚好运送了帐篷14400顶,求
的值.
3.随着铁路客运量的不断增长,重庆火车站越来越拥挤,为了满足铁路交通的快速发展,该火车站从去年开始启动了扩建工程.其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?
(2)若甲队每月的施工费100万元,乙队每月的施工费比甲队多50万元.在保证工程质量的前提下,为了缩短工期,拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程.在完成这项工程中,甲队施工时间是乙队施工时间的2倍,那么,甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元?
(甲、乙两队的施工时间按月取整数)
4.雅安地震牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10000元,第三天收到捐款12100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率;
(2)按照
(1)中收到捐款的增长速度,第四天该单位能收到多少捐款?
5.某渔船出海捕鱼,2016年平均每次捕鱼量为10吨,2018年平均每次捕鱼量为8.1吨,求2016年﹣2018年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率.
6.某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.
【方法指导】
1.解一元二次方程的解法:
直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法
(1)直接开平方法解一元二次方程,根据法则:
要把方程化为“左平方,右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解”来求解.
直接开平方法适用于解形如
的一元二次方程。
(2)配方法解一元二次方程的一般步骤:
①把常数项移到等号的右边;
②把二次项的系数化为1;
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.配方法的理论根据是完全平方公式
(3)公式法解一元二次方程.利于公式x=
来解方程时,需要弄清楚公式中的字母a、b、c所表示的含义.
解题时,注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零.
用公式法解关于x的一元二次方程
的步骤:
①把一元二次方程化为一般形式;
②确定a、b、c的值(要注意符号);
③求出
的值;
④若
,则利用公式
求出原方程的解;
若
,则原方程无实根.
(4).用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0;
②将方程左边分解为两个一次式的积;
③令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;
④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
常用的因式分解法
提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式),十字相乘法等.
要点诠释:
(1)能用分解因式法来解的特点:
方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积;
(2)用分解因式法解的论依据:
两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0;
(3)用分解因式法解注意:
①必须将方程的右边化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式:
△=b2-4ac,
①当
时,原方程有两个不等的实数根
;
②当
时,原方程有两个相等的实数根
;
③当
时,原方程没有实数根.
其中①、②两条可合并为:
△≥0
一元二次方程有两个实数根;
对于一元一次方程在一次项系数不为0时有唯一解,而一元二次方程根的情况由根的判别式确定
一元二次方程根的判别式的问题主要有三种形式:
(1)不解方程,判别方程根的情况;
(2)根据方程根的情况求方程中待定系数的范围;(3)证明方程一定有两个不相等的实数根等方程根的情况。
解决这三类问题,有一个通法,就是先算出判别式,然后根据题中的条件分别得出结论或者变形推理.
3.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理):
对于一元二次方程
,当b2-4ac≥0时方程有解,此时设方程的解为x1,x2,那么
说明:
(1)定理成立的条件
(2)注意公式重
的负号与b的符号的区别
如果x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.
4.一元二次方程的应用,从题中提取有效信息,合理设置未知数,找到恰当的数量关系建立方程.
一元二次方程解应用题步骤:
(1)审题:
读题,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系;
(2)设元:
就是设未知数,根据题意,选择适当的未知量,并用字母表示出来,设元又分直接设元和间接设元;
(3)列方程:
根据题目中给出的等量关系,列出符合题意的方程;
(4)解方程:
求出所列方程的解;
(5)检验:
检验未知数的值是否符合题意;
(6)写出答案.特别地,在检验时,对一元二次的两个根一方面要结合生活实际检验,另一方面要结合具体的问题检验.写出正确的解.
常见类型
(1)平均增长率问题
一般形式为a(1+x)2=b,若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b(当增长时中间的“±”号选“+”,当降低时中间的“±”号选“﹣”).
(2)商品销售问题
常用关系式:
售价—进价=利润一件商品的利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额)
(3)面积问题
(4)银行问题
说明:
要理解“本金”“利息”“利率”“本息和”等有关的概念,再找清问题之间的相等关系.本金+利息=本息和或本金+利息-利息税=取出的钱
(5)动态几何
作业
一、选择题
1.一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是()
(A)有两个不相等的实数根(B)有两个相等的实数根
(C)只有一个实数根(D)没有实数根
2、一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定
3.下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知
是一元二次方程
的一个解,则m的值是 ( )
A.-3 B.3 C. 0 D.0或3
5.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则另一根为()
A.2B.3C.4D.8
6.某超市一月份的营业额为36万元,三月份的营业额为48万元,设每月的平均增长率为x,则可列方程为( )
A.48(1﹣x)2=36B.48(1+x)2=36C.36(1﹣x)2=48D.36(1+x)2=48
2、填空题
1.方程
的解是_________________.
2.若x1=-1是关于x的方程x2+mx-5=0的一个根,则方程的另一个根x2=.
3.如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根,那么k的取值范围是
4.一元二次方程
的根是.
5.某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为.
三、解答题
1. 解方程:
(1)解方程:
x2-2x=1;
(2)
(3)(2x-1)2=x(3x+2)-7
3.某电脑公司2018年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为600万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2020年经营总收入要达到2160万元,且计划从2018年到2020年,每年经营总收入的年增长率相同,问2019年预计经营总收入为多少万元?
4.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.
(1)设每天盈利w元,求出w关于x的函数关系式,并说明每天盈利是否可以达到8000元?
(2)若该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
5.如图1,在宽20米,长32米的矩形耕地上,修筑同样宽的三条路(两条纵向,一条横向,并且横向与纵向互相垂直),把这块耕地分成大小相等的六块试验田,要使试验田的面积是570平方米,问道路应该多宽?
6.王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的50元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半,这样到期后可得本金利息共63元,求第一次存款时的年利率.
7.如图,在△ABC中,∠B=90o,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A,B同时出发,经过几秒,△PBQ的面积等于8cm2?
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- 第6讲 学生2份专题6一元二次方程及其应用 学生 专题 一元 二次方程 及其 应用