二次函数综合题含答案解析.docx
- 文档编号:2197153
- 上传时间:2023-05-02
- 格式:DOCX
- 页数:50
- 大小:140.90KB
二次函数综合题含答案解析.docx
《二次函数综合题含答案解析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《二次函数综合题含答案解析.docx(50页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
二次函数综合题含答案解析
拓展题型二次函数综合题
拓展一二次函数与线段和差问题
针对演练
1.如图,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求AD的长;(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当△PAD的周长最小时,
求点P的坐标.
第1题图
2.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线
4
y=x2+1与y轴相交于点A,点B与点O关于点A对称.
(1)填空,点B的坐标是;
(2)过点B的直线y=kx+b(其中k<0)与x轴相交于点C,过点C
作直线l平行于y轴,P是直线l上一点,且PB=PC.求线段PB的长
(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上,说明理由;
(3)在
(2)的条件下,若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P的坐标.
第2题图
3.如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接CB交EF于点M,再连接AM交OC于点R,连接AC,求△ACR的周长;
(3)设G(4,-5)在该抛物线上,P是y轴上一动点,过点P作PH⊥EF于点H,连接AP,GH,问AP+PH+HG是否有最小值?
如果有,求出点P的坐标;如果没有,请说明理由.
第3题图备用图
【答案】
1.解:
(1)∵四边形OABC是矩形,B(10,8),
∴A(10,0).……………………………………………………(1分)
又∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(10,0)、E(6,8)和O(0,0),
⎧a=-1
⎪
⎧102a+10b+c=0⎪10
⎪⎪
⎨62a+6b+c=8
∴⎪
⎨b=
,解得⎪3,
⎩c=0
⎪c=0
⎪⎩
∴抛物线的解析式为y=-1x210;………………………(3分)
3+3x
(2)由题意可知:
AD=ED,BE=10-6=4,AB=8,………(4分)
设AD为x,则ED=x,BD=AB-AD=8-x,在Rt△BDE中,ED2=EB2+BD2,
即x2=42+(8-x)2,…………………………………………(5分)
解得x=5,
即AD=5;……………………………………………………(6分)
(3)由
(2)可知,D点的坐标是(10,5),
∴△PAD的周长l=PA+PD+AD=PA+PD+5,…………(7分)
∵抛物线的对称轴是线段OA的垂直平分线,点P是抛物线对称轴上的一动点,
∴PO=PA,
∵l=PA+PD+5=PO+PD+5,
∴当PO+PD最小时,△PAD的周长l最小,
即当点P移动到直线OD与抛物线对称轴的交点处时PO+PD
最小,………………………………………………………………(8分)
设直线OD的解析式为y=kx,将D点坐标(10,5)代入得:
5=10k,解得k1
=2,
2
∴直线OD的解析式为y=1x,………………………………(9分)
当x=5时,y
5
=2,
2
∴P点的坐标是(5,5).……………………………………(10分)
2.解:
(1)(0
1
,2);……………………………………………(2分)
4
【解法提示】由y=x2+1得:
A(0
1
,4),
∵点B、O关于点A对称,
∴B(0
1
,2).
2
(2)∵直线BC过点B(0,1),
2
∴直线BC解析式为y=kx+1,………………………………(3分)
2k
∴C(-1,0),
又∵P是直线l上一点,
2k
∴可设P(-1,a).
如解图①,过点P作PN⊥y轴,垂足为N,连接PB,
第2题解图①
则在Rt△PNB中,由勾股定理得:
PB2=PN2+NB2,
∵PB=PC=a,
-
1
∴a2=(2k)2+(a
12
-2),……………………………………(5分)
11
解得a=2,
∴PB=
4k4
11
2,
4k4
∴P点坐标为(-1,
11
2),……………………………(6分)
2k
当x=-1时,y=
4k4
11
2,
2k4k4
∴点P在抛物线上;…………………………………………(7分)
(3)如解图②,由C′在y轴上,可知∠CBP=∠C′BP,
第2题解图②
∵PB=PC,
∴∠CBP=∠PCB,
∵PC∥C′B,
∴∠PCB=∠ABC,
∴∠C′BP=∠CBP=∠ABC=60°,
∴△PBC为等边三角形,
∵OB
1
=2,
∴BC=1,OC=3
∴PC=1,
∴P(31).…………………………………………………(12分)
2,
3.解:
(1)∵四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,
∴C(0,3),E(2,3),
将C(0,3),E(2,3)代入抛物线解析式y=-x2+bx+c得,
⎧c=3⎧b=2
⎨-4+2b+c=3,解得⎨c=3,
⎩⎩
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;
(2)由
(1)得y=-x2+2x+3,令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AO=1,BO=3,又∵C(0,3),
∴OC=3,
在Rt△AOC中,由勾股定理,得AC==,
∵CO=BO=3,OF=2,
∴∠OBC=∠OCB=45°,AF=3,BF=1,
∴MF=BF=1,
∵RO∥MF,
∴△ARO∽△AMF,
RO
∴
=AO,
MFAF
∴,
RO=1
13
解得RO
1
=3,
∴CR=318
-3=3,
在Rt△AOR中,AR=
=10
3,
∴△ACR的周长为108
10
8+410
+3+3=3;
(3)存在点P,使得AP+PH+HG的值最小.
如解图,取OF中点A′,连接A′G交直线EF的延长线于点H,过点H作HP′⊥y轴于点P,连接AP,
此时,AP+PH+HG的值最小,
第3题解图设直线A′G的解析式为y=kx+a,将A′(1,0),G(4,-5)代入得,
⎧k+a=0
⎩
⎨4k+a=-5,
⎧k=-5
⎪3
⎨
⎪
解得⎪a=5,
⎩3
∴直线A′G的解析式为y
5x5
=-3+3,
令x=2,得y=-1055
3+3=-3,
3
∴点H的坐标为(2,-5),
3
∴符合题意的点P的坐标为(0,-5).
拓展二二次函数与三角形面积问题
针对演练
1.已知抛物线y=ax2+bx-3经过(-1,0),
(3,0)两点,与y轴交于点C,直线y=kx与抛物线交于A,B两点.
(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式;
(2)当原点O为线段AB的中点时,求k的值及A,B两点的坐标;
(3)是否存在实数k使得△ABC
的面积为
2?
若存在,求出k
的值;若不存在,请说明理由.
第1题图
2.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,
0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在
(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得
△BCD的面积最大?
若存在,求出D点坐标及△BCD面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)在
(1)中的抛物线上是否存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
第2题图
3.
2
如图,已知抛物线y=-1x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,
8)、B(8,0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C、D同时出发,当动点D到达原点O时,点C、D停止运动.
(1)直接写出抛物线的解析式:
;
(2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大?
最大面积是多少?
(3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
第3题图
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x与二次函数
y=x2+bx的图象相交于O、A两点,点A(3,3),点M为抛物线的顶点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)长度为22的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动,分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1,求四边形PQQ1P1面积的最大值;
(3)直线OA上是否存在点E,使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM?
若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
第4题图
【答案】
1.解:
(1)令x=0,得y=-3,
∴C(0,-3),
把(-1,0)和(3,0)代入y=ax2+bx-3中,得
⎧a-b-3=0
⎩9a+3b-3=0
⎧a=1
⎩b=-2,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3;…………………………(3分)
⎧⎪y=x2-2x-3
⎩
(2)联立方程组⎨⎪y=kx
⎧
⎪x1=
,
⎧
⎪x2=
⎪
⎨
解得⎪
⎪⎩1
2⎪2
⎨
,⎪,
2⎪⎩22
∵O是AB的中点,
∴x1+x2=0,即解得k=-2,
+=0
22
⎧⎪x1=⎧⎪x2=-3
∴⎨y
=-23
或⎨y
=23,
⎩⎪1⎩⎪2
∴A(-3,23),B(3,-23);…………………………(7分);
(3)不存在实数k使得△ABC的面积为310理由如下:
假设存在实数k使得△ABC的面积为310
⎧⎪y=x2-2x-3
⎩
联立方程组⎨⎪y=kx
⎧
⎪x1=
,解得
⎧
⎪x2=
⎪2
⎨
⎪
⎪⎩12
则A(2
⎪2
⎨
,⎪,
⎪⎩22
2),
B(2,2),
∴S1
△ABC=2OC(xB-xA)=2,
1310
∴2×3×=2,
∴k2+4k+16=10,即k2+4k+6=0,
∵b2-4ac=16-24<0,
∴此方程无解,
∴不存在实数k使得△ABC的面积为310………………(12分)
2.解:
(1)把点A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c,得
⎧-1-b+c=0⎧b=2
⎨-9+3b+c=0,解得⎨c=3,
⎩⎩
∴y=-x2+2x+3;
【一题多解】由题意可知点A(-1,0),点B(3,0)是抛物线与x
轴的两个交点,∴抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
(2)存在点D,使得△BCD的面积最大.
设D(t,-t2+2t+3),如解图①,作DH⊥x轴于点H,C点坐标为(0,3),
第2题解图①
则S=S
+S-S
1t(-t2+2t+3+3)
1(3-
△BCD
四边形DCOH
△BDH
△BOC=2+2
t)(-t2+2t+3)1
3×3=-3t29t,
-2×
3
2+2
∵-2<0,即抛物线开口向下,在对称轴处取得最大值,
9
∴当t=-2=3时,S
3329327
2
32
×(-2)
△BCD=-2×
(2)+2×2=8,
即点D的坐标为(3,15)时,S有最大值,且最大面积为27
24△BCD8;
(3)存在点Q,使得△QMB与△PMB的面积相等.
如解图②,∵P(1,4),过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一,
第2题解图②
∵直线BC为y=-x+3,
∴过点P作BC的平行直线l1,设l1为y=-x+b,将P(1,4)
代入即可得到直线l1的解析式为y=-x+5,
⎧⎪y=-x+5
⎩
联立方程组⎨⎪y=-x2+2x+3,
⎧x1=2⎧x2=1
解得⎨y
=3,⎨y
=4,
⎩1⎩2
∴Q1(2,3);
∵直线PM为x=1,直线BC为y=-x+3,
∴M(1,2),
设PM与x轴交于点E,
∵PM=EM=2,
∴过点E作BC的平行直线l2,则过点E且与BC平行的直线l2与抛物线的交点也为所求Q点之一,即将直线BC向下平移2个单位得到直线l2,解析式为y=-x+1,
⎧⎪y=-x+1
⎩
联立方程组⎨⎪y=-x2+2x+3,
⎧x=3+17⎧x=3-17
⎪12
⎨
⎪22
⎨
解得⎪y
=-1+
17,⎪y=-1-
17,
⎩⎪1
2⎪⎩22
∴Q2(
-),Q3(
-),
∴满足条件的Q点为Q1(2,3),Q2(
-),
Q3(
-).
2
3.解:
(1)y=-1x2+3x+8;
2
【解法提示】把点A(0,8)、B(8,0)代入y=-1x2+bx+c可得,
⎧c=8⎧b=3
⎨-32+8b+c=0,解得⎨c=8,
⎩⎩
∴抛物线解析式为y1x2+3x+8.
=-2
(2)在y=-1x2+3x+8中,当y=0时,-1x2+3x+8=0,
22
解得x1=-2,x2=8,
∴E(-2,0),
∴BE=10,
1
∵S△CED=2DE·OC,
∴S112
=2t(10-t)=-2t+5t,
2
∴S与t的函数关系式为:
S=-1t2+5t,
∵S=-1t2+5t1(t-5)225
2=-2+2,
2;
∴当t=5时,△CED的面积最大,最大面积为25
(3)存在,当△CED的面积最大时,t=5,即BD=DE=5,此时,要使S△PCD=S△CED,CD为公共边,故只需求出过点B、E且平行于CD的直线即可,如解图.
第3题解图设直线CD的解析式为y=kx+b,由
(2)可知OC=5,OD=3,
∴C(0,5),D(3,0),
⎧b=5
⎩3k+b=0
把C(0,5)、D(3,0)代入y=kx+b,得⎨,
⎧k=-5
⎪
解得⎪
⎨3
⎩b=5,
∴直线CD的解析式为y5x+5,
=-3
∵DE=DB=5,
3
∴过点B且平行于CD的直线解析式为y=-5(x-5)+5,
3
过点E且平行于CD的直线解析式为y=-5(x+5)+5,分别与抛物线解析式联立得:
125
方程①:
-2x+3x+8=-3(x-5)+5,
解得x=8,x4
12=3,
125
方程②:
-2x+3x+8=-3(x+5)+5,
解得x=34x=-2(舍去),
33,4
分别将x值代入抛物线解析式,得y=0,y=100y
200
129,
3=-9,
又∵P点不与E点重合,
∴满足题意的P点坐标有3个,分别是P(8,0),P(4
100,
P(34200
123,9)
33,-9).
4.解:
(1)由题意知,A(3,3)在二次函数y=x2+bx的图象上,将x=3,y=3代入得9+3b=3,
解得b=-2,
∴二次函数表达式为y=x2-2x;……………………………(2分)
(2)如解图①所示,过点P作PB⊥QQ1于点B,
第4题解图①
∵PQ=22,且在直线y=x上,
∴PB=QB=2,………………………………………………(3分)设P(a,a),则Q(a+2,a+2),P1(a,a2-2a),Q1(a+2,(a+2)2-2(a+2)),
即Q1(a+2,a2+2a),
∴四边形PQQ1P1的面积为:
S=2⨯
(a-a2+2a)+(a+2-a2-2a)2
=-2a2+2a+2=-2(a
1)25
(4分)
-2+2,…………………………
当Q运动到点A时,OP=OQ-PQ=2,a=1,
∴a的取值范围为0<a<1,
∴当a
1
=2时,四边形
PQQ1P
5
1的面积最大,最大值为2;…
(5分)
(3)存在,点E的坐标为E(44),E(14
14,
13,3
23,3)
如解图②所示,连接OM,
第4题解图②
∵点M为抛物线顶点,
∴M(1,-1),
又∵OA所在直线为y=x,
∴OM⊥OA,即∠AOM=90°,
在△AOF和△AOM中,以OA为底,当面积相等时,则两三角形OA边上的高相等,
又∵OM⊥OA,且OM=2,
∴可作两条与OA互相平行且距离为2的直线,…………(6分)
如解图②所示,在直线HD、MC上的点F均满足S△AOF=S△AOM,
∴只需满足E点的对称点F在这两条直线上即可.
如解图②,过点A作AC⊥MC于点C,易得四边形OACM为矩形,AM为该矩形的一条对角线,取AM中点O′,过O′作AM垂线,交OA于点E1,交MC于点F1,OA=32,
∴AM===2,
∴AO′=5,
∵△AO′E1∽△AOM,…………………………………………(7分)
AO'=AE1=AO-OE1
∴AOAMAM,
=
32-OE1
∴,
解得OE
42
1=3,
∵点E1在y=x上,
∴E(44),……………………………………………………(8分)
13,3
同理可得HF=GE42
又∵OG=2OA=62,
∴OE=6242
142
1414
2-3=3,∴E2(3,3).
综上所述,符合条件的E点的坐标为:
E(44)、E(14
14.
13,3
………………………………………………………………(10分)
23,3)
拓展三二次函数与特殊四边形判定问题
针对演练
1.如图,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;
(2)点P是线段BD上一点,当PE=PC时,求点P的坐标;(3)在
(2)的条件下,过点P作PF⊥x轴于点F,G为抛物线上一
动点,M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时,请求出点M的坐标.
第1题图备用图
2.如图,抛物线经过A(-1,0),B(5,0),
2
C(0,-5)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P
的坐标;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A、
C、M、N四点构成的四边形为平行四边形?
若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
第2题图
3.如图,抛物线与x轴交于点A(-5,0)和点B(3,0),与y轴交于点C(0,5).有一宽度为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移,与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q,交直线AC于点M和N,交x轴于点E和F.
(1)求抛物线解析式;
(2)当点M和N都在线段AC上时,连接MF,如果sin∠AMF=
10,求点Q的坐标;
(3)在矩形的平移过程中,当以点P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求点M的坐标.
第3题图
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线
3
y=a(x+1)2-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-8),顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线
l交抛物线于P、Q两点,点Q在y轴的右侧.
(1)求a的值及点A、B的坐标;
(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为3∶7的两部分时,求直线l的函数表达式;
(3)当点P位于第二象限时,设PQ的中点为M,点N在抛物线上,则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形?
若能,求出点N的坐标;若不能,请说明理由.
第4题图备用图
【答案】
1.解:
(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两
点,
⎧-1-b+c=0
⎧b=2
∴⎨-9+3b+c=0,解得⎨c=3,
⎩⎩
∴经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3;
………………………………
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 二次 函数 综合 答案 解析