1、二次函数综合题含答案解析拓展题型 二次函数综合题拓展一 二次函数与线段和差问题针对演练1.如图，矩形 OABC 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为(10，8)，沿直线 OD 折叠矩形，使点 A 正好落在 BC 上的 E 处，E 点坐标为(6，8)，抛物线 yax2bxc 经过 O，A，E 三点(1)求此抛物线的解析式； (2) 求 AD 的 长 ； (3)点 P 是抛物线对称轴上的一动点，当PAD 的周长最小时，求点 P 的坐标第 1 题图2.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线4yx21与 y 轴相交于点 A，点 B 与点 O 关于点 A 对称(1)填空
2、，点 B 的坐标是 ；(2)过点 B 的直线 ykxb(其中 k0)与 x 轴相交于点 C，过点 C作直线 l 平行于 y 轴，P 是直线 l 上一点，且 PBPC.求线段 PB 的长(用含 k 的式子表示)，并判断点 P 是否在抛物线上，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点 C 关于直线 BP 的对称点 C恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点 P 的坐标第 2 题图3.如图，抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF2，EF3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接
3、CB 交 EF 于点 M，再连接 AM 交 OC 于点 R，连接 AC， 求ACR 的周长；(3)设 G(4，5)在该抛物线上，P 是 y 轴上一动点，过点 P 作PHEF 于点 H，连接 AP，GH，问 APPHHG 是否有最小值？ 如果有，求出点 P 的坐标；如果没有，请说明理由第 3 题图 备用图【答案】1解：(1)四边形 OABC 是矩形，B(10，8)，A(10，0). (1 分)又抛物线 yax2bxc 经过点 A(10，0)、E(6，8)和 O(0，0)，a = - 1102 a + 10b + c = 0 10 62 a + 6b + c = 8 b =，解得 3 ，c = 0
4、c = 0抛物线的解析式为y1x2 10 ； (3 分)3 3 x(2)由题意可知：ADED，BE1064，AB8，(4 分)设 AD 为 x，则 EDx，BDABAD8x， 在 RtBDE 中，ED2EB2BD2，即 x242(8x)2， (5 分)解得 x5，即 AD5；(6 分)(3)由(2)可知，D 点的坐标是(10，5)，PAD 的周长 lPAPDADPAPD5，(7 分)抛物线的对称轴是线段 OA 的垂直平分线，点 P 是抛物线对称轴上的一动点，POPA，lPAPD5POPD5，当 POPD 最小时，PAD 的周长 l 最小，即当点 P 移动到直线 OD 与抛物线对称轴的交点处时
5、POPD最小， (8 分)设直线 OD 的解析式为 ykx， 将 D 点坐标(10，5)代入得：510k，解得 k 12，2直线 OD 的解析式为 y1x，(9 分)当 x5 时，y52，2P 点的坐标是(5，5)(10 分)2解：(1)(01，2)； (2 分)4【解法提示】由 yx21得：A(01，4)，点 B、O 关于点 A 对称，B(01，2)2(2)直线 BC 过点 B(0，1)，2直线 BC 解析式为 ykx1，(3 分)2kC( - 1 ，0)，又P 是直线 l 上一点，2k可设 P( - 1 ，a)如解图，过点 P 作 PNy 轴，垂足为 N，连接 PB，第 2 题解图则在 R
6、tPNB 中，由勾股定理得：PB2PN2NB2，PBPCa，- 1 a2( 2k )2(a1 22) ，(5 分)1 1解得 a 2 ，PB4k 41 12 ，4k 4P 点坐标为( - 1 ，1 12 )，(6 分)2k当 x - 1 时，y4k 41 12 ，2k 4k 4点 P 在抛物线上；(7 分)(3)如解图，由 C在 y 轴上，可知CBPCBP，第 2 题解图PBPC，CBPPCB，PCCB，PCBABC，CB PCBPABC60，PBC 为等边三角形，OB12，BC1，OC 3PC1，P( 3 1)(12 分)2 ，3解：(1)四边形 OCEF 为矩形，且 OF2，EF3，C(0
7、，3)，E(2，3)，将 C(0，3)，E(2，3)代入抛物线解析式 yx2bxc 得，c = 3 b = 2-4 + 2b + c = 3 ，解得c = 3 ， 抛物线的解析式为 yx22x3；(2)由(1)得 yx22x3， 令 y0，得x22x30， 解得 x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，AO1，BO3， 又C(0，3)，OC3，在 RtAOC 中，由勾股定理，得 AC = ，COBO3，OF2，OBCOCB45，AF3，BF1，MFBF1，ROMF，AROAMF， RO= AO ，MF AF ，RO = 11 3解得 RO13，CR3 1 833，在 RtAOR 中，AR=
8、 103 ，ACR 的周长为 10 8 1084 103 3 3 ；(3)存在点 P，使得 APPHHG 的值最小如解图，取 OF 中点 A，连接 AG 交直线 EF 的延长线于点 H， 过点 H 作 HPy 轴于点 P，连接 AP，此时，APPHHG 的值最小，第 3 题解图设直线 AG 的解析式为 ykxa， 将 A(1，0)，G(4，5)代入得，k + a = 04k + a = -5 ，k =- 5 3解得a = 5 ， 3直线 AG 的解析式为 y5x 53 3，令 x2，得 y10 5 53 33，3点 H 的坐标为(2，5)，3符合题意的点 P 的坐标为(0，5)拓展二 二次函数
9、与三角形面积问题针对演练1.已知抛物线 yax2bx3 经过(1，0)，(3，0)两点，与 y 轴交于点 C，直线 ykx 与抛物线交于 A，B 两点(1)写出点 C 的坐标并求出此抛物线的解析式； (2)当原点 O 为线段 AB 的中点时，求 k 的值及 A，B 两点的坐标；(3)是否存在实数 k 使得ABC的面积为2 ？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由第 1 题图2.如图，已知抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴与抛物线交于点 P、与直线 BC 相交于点 M，连接 PB.(1)求该抛物线的解析式；(2) 在(1
10、) 中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D ，使得BCD 的面积最大？若存在，求出 D 点坐标及BCD 面积的最大值； 若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点 Q，使得QMB 与PMB 的面积相等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图3.2如图，已知抛物线 y1x2bxc 与坐标轴分别交于点 A(0，8)、B(8，0)和点 E，动点 C 从原点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 D 从点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 C、D 同时出发，当动点 D 到达原点 O 时，点 C、D 停止运动(1)直接写出抛
11、物线的解析式： ；(2)求CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式；当 t 为何值时，CED 的面积最大？最大面积是多少？(3)当CED 的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E 除外)， 使PCD 的面积等于CED 的最大面积，若存在，求出 P 点的坐标； 若不存在，请说明理由第 3 题图4.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 yx 与二次函数yx2bx 的图象相交于 O、A 两点，点 A(3，3)，点 M 为抛物线的顶点(1)求二次函数的表达式； (2)长度为 2 2的线段 PQ 在线段 OA(不包括端点)上滑动，分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线交抛物线于点
12、P1、Q1，求四边形 PQQ1P1 面积的最大值；(3)直线 OA 上是否存在点 E，使得点 E 关于直线 MA 的对称点 F 满足 SAOFSAOM？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由第 4 题图【答案】1解：(1)令 x0，得 y3，C(0，3)，把(1，0)和(3，0)代入 yax2bx3 中，得a - b - 3 = 09a + 3b - 3 = 0a = 1b = -2 ，抛物线的解析式为yx22x3；(3 分) y = x2 - 2x - 3(2)联立方程组 y = kxx1 =，x2 =解得 12 2， ，2 2 2O 是 AB 的中点，x1x20，即解得 k2，+
13、 = 02 2x1 = x2 = - 3 y= -2 3或 y= 2 3 ， 1 2A( 3，2 3)，B( 3，2 3)；(7 分)； (3)不存在实数 k 使得ABC 的面积为3 10 理由如下： 假设存在实数 k 使得ABC 的面积为3 10 y = x2 - 2x - 3联立方程组 y = kxx1 =，解得x2 = 2 1 2则 A( 2 2， ， 2 22 )，B( 2 , 2 )，S 1ABC2OC(xBxA) 2 ，1 3 1023 2 ，k24k1610，即 k24k60，b24ac16240，此方程无解，不存在实数 k 使得ABC 的面积为3 10 (12 分)2解：(1)
14、把点 A(1，0)，B(3，0)代入 yx2bxc，得-1 - b + c = 0 b = 2-9 + 3b + c = 0 ，解得c = 3 ， yx22x3；【一题多解】由题意可知点 A(1，0)，点 B(3，0)是抛物线与 x轴的两个交点，抛物线解析式为 y(x1)(x3)x22x3.(2)存在点 D，使得BCD 的面积最大设 D(t，t22t3)，如解图，作 DHx 轴于点 H，C 点坐标为(0，3)，第 2 题解图则 S SS S1t(t22t33)1(3BCD四边形 DCOHBDHBOC2 2t)(t22t3) 1333t2 9t，232 220，即抛物线开口向下，在对称轴处取得最
15、大值，9当 t 2 3时，S3 3 2 9 3 2723 2（2）BCD2(2) 22 8 ，即点 D 的坐标为(3，15)时，S 有最大值，且最大面积为272 4 BCD 8 ；(3)存在点 Q，使得QMB 与PMB 的面积相等如解图，P(1，4)，过点 P 且与 BC 平行的直线与抛物线的交点即为所求 Q 点之一，第 2 题解图直线 BC 为 yx3，过点 P 作 BC 的平行直线 l1，设 l1 为 yxb，将 P(1，4)代入即可得到直线 l1 的解析式为 yx5， y = -x + 5联立方程组 y = -x2 + 2x + 3 ，x1 = 2 x2 = 1解得 y= 3 ， y=
16、4 ， 1 2Q1(2，3)；直线 PM 为 x1，直线 BC 为 yx3，M(1，2)，设 PM 与 x 轴交于点 E，PMEM2，过点 E 作 BC 的平行直线 l2，则过点 E 且与 BC 平行的直线 l2 与抛物线的交点也为所求 Q 点之一，即将直线 BC 向下平移 2 个单位得到直线 l2，解析式为 yx1， y = -x +1联立方程组 y = -x2 + 2x + 3 ，x = 3 + 17 x = 3 - 17 1 2 2 2解得 y= - 1 +17 ， y = - 1 -17 ， 12 2 2Q2(, - )，Q3(, - )，满足条件的 Q 点为 Q1(2 ， 3) ，
17、Q2(, - ) ，Q3(, - )23解：(1)y1x23x8；2【解法提示】把点 A(0，8)、B(8，0)代入 y1x2bxc 可得，c = 8 b = 3-32 + 8b + c = 0 ，解得c = 8 ， 抛物线解析式为 y 1x23x8.2(2)在 y1x23x8 中，当 y0 时，1x23x80，2 2解得 x12，x28，E(2，0)，BE10，1SCED2DEOC，S 1 1 22t(10t)2t 5t，2S 与 t 的函数关系式为：S1t25t，S1t25t 1(t5)2 252 2 2 ，2 ；当 t5 时，CED 的面积最大，最大面积为25(3)存在，当CED 的面积
18、最大时，t5，即 BDDE5，此时， 要使 SPCDSCED，CD 为公共边，故只需求出过点 B、E 且平行于CD 的直线即可，如解图第 3 题解图设直线 CD 的解析式为 ykxb， 由(2)可知 OC5，OD3，C(0，5)，D(3，0)，b = 53k + b = 0把 C(0，5)、D(3，0)代入 ykxb，得 ，k =- 5解得 3b = 5 ，直线 CD 的解析式为 y 5x5，3DEDB5，3过点 B 且平行于 CD 的直线解析式为 y5(x5)5，3过点 E 且平行于 CD 的直线解析式为 y5(x5)5， 分别与抛物线解析式联立得：1 2 5方程：2x 3x83(x5)5，
19、解得 x 8，x 41 23，1 2 5方程：2x 3x83(x5)5，解得 x 34 x 2(舍去)，3 3 ， 4分别将 x 值代入抛物线解析式，得 y 0，y 100 y2001 2 9 ，3 9 ，又P 点不与 E 点重合，满足题意的 P 点坐标有 3 个，分别是 P (8，0)，P (4100 ，P (34 2001 2 3， 9 )3 3 ， 9 )4解：(1)由题意知，A(3，3)在二次函数 yx2bx 的图象上， 将 x3，y3 代入得 93b3，解得 b2，二次函数表达式为 yx22x；(2 分)(2)如解图所示，过点 P 作 PBQQ1 于点 B，第 4 题解图PQ2 2，
20、且在直线 yx 上，PBQB2 ，(3 分) 设 P(a，a)， 则 Q(a2，a2)， P1(a，a22a)，Q1(a2，(a2)22(a2)，即 Q1(a2，a22a)，四边形 PQQ1P1 的面积为：S = 2 (a - a2 + 2a) + (a + 2 - a2 - 2a) 22a22a22(a1)2 5(4 分)2 2，当 Q 运动到点 A 时，OPOQPQ 2，a1，a 的取值范围为 0a1，当 a12时，四边形PQQ1P51 的面积最大，最大值为2；(5 分)(3)存在，点 E 的坐标为 E (4 4)，E (1414 ，1 3，32 3 ， 3 )如解图所示，连接 OM，第
21、4 题解图点 M 为抛物线顶点，M(1，1)，又OA 所在直线为 yx，OMOA，即AOM90，在AOF 和AOM 中，以 OA 为底，当面积相等时，则两三角形 OA 边上的高相等，又OMOA，且 OM 2，可作两条与 OA 互相平行且距离为 2的直线，(6 分)如解图所示，在直线 HD、MC 上的点 F 均满足 SAOFSAOM，只需满足 E 点的对称点 F 在这两条直线上即可如解图，过点 A 作 ACMC 于点 C，易得四边形 OACM 为矩形，AM 为该矩形的一条对角线，取 AM 中点 O，过 O作 AM 垂线， 交 OA 于点 E1，交 MC 于点 F1，OA3 2， AM = = =
22、 2 ，AO 5，AOE1AOM，(7 分)AO = AE1 = AO - OE1 AO AM AM ，=3 2 - OE1 ，解得 OE4 21 3 ，点 E1 在 yx 上，E (4 4)，(8 分)1 3，3同理可得 HF GE 4 2又OG2OA6 2，OE 6 2 4 214 214 142 3 3 ，E2( 3 ， 3 )综上所述，符合条件的 E 点的坐标为：E (4 4) 、 E (1414 1 3，3(10 分)2 3 ， 3 )拓展三 二次函数与特殊四边形判定问题针对演练1. 如图，抛物线 yx2bxc 经过 A(1，0)，B(3，0)两点， 且与 y 轴交于点 C，点 D
23、是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD.(1)求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式； (2) 点 P 是线段 BD 上一点，当 PEPC 时，求点 P 的坐标； (3)在(2)的条件下，过点 P 作 PFx 轴于点 F，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标第 1 题图 备用图2. 如图，抛物线经过 A(1，0)，B(5，0)，2C(0，5)三点(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PAPC 的值最小，求点 P的坐标；(3)点
24、M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A、C、M、N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标； 若不存在，请说明理由第 2 题图3.如图，抛物线与 x 轴交于点 A(5，0)和点 B(3，0)，与 y 轴交于点 C(0，5)有一宽度为 1，长度足够的矩形(阴影部分)沿 x 轴方向平移，与 y 轴平行的一组对边交抛物线于点 P 和 Q，交直线 AC 于点 M 和 N，交 x 轴于点 E 和 F.(1)求抛物线解析式；(2)当点 M 和 N 都在线段 AC 上时，连接 MF，如果 sinAMF10 ，求点 Q 的坐标；(3)在矩形的平移过程中，当以点 P，Q，M
25、，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M 的坐标第 3 题图4.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线3ya(x1)23 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C(0，8)，顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H，过点 H 的直线l 交抛物线于 P、Q 两点，点 Q 在 y 轴的右侧(1)求 a 的值及点 A、B 的坐标；(2)当直线 l 将四边形 ABCD 分为面积比为 37 的两部分时，求直线 l 的函数表达式；(3)当点 P 位于第二象限时，设 PQ 的中点为 M，点 N 在抛物线上，则以 DP 为对角线的四边形 DMPN 能否成为菱形？若能，求出点 N 的坐标；若不能，请说明理由 第 4 题图 备用图【答案】1解：(1)抛物线 yx2bxc 经过 A(1，0)，B(3，0)两点，-1 - b + c = 0b = 2 -9 + 3b + c = 0 ，解得c = 3 ， 经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式为 yx22x3；
