含参函数单调性doc.docx
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含参函数单调性doc
含参数函数单调性
•基础知识总结和逻辑关系
一、函数的单调性
求可导函数单调区间的一般步骤和方法:
1)确定函数的/(无)的定义区间;
2)求厂⑴,令/'«=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根;
3)把函数于(兀)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,
然后用这些点把函数/(兀)的定义区间分成若干个小区间;
4)确定广(兀)在各个区间内的符号,由广(Q的符号判定函数/(兀)在每个相应小区间内的单调性.
二、函数的极值
求函数的极值的三个基本步骤
1)求导数f*(x);
2)求方程f\x)=0的所有实数根;
3)检验广(对在方程fV)=0的根左右的符号,如果是左正右负(左负右正),则/(%)在这个根处取得极大(小)值.
三、求函数最值
1)求函数/CO在区间上的极值;
2)将极值与区间端点函数值/S),/@)比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值.
四利用导数证明不等式
1)利用导数得出函数单调性来证明不等式
我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时,则该函数在该区间上单调递增(或递减).因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该窗数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式:
1直接构造函数,然后用导数证明该函数的增减性;再利用函数在它的同一单调递增(减)区间,自变量越大,函数值越大(小),來证明不等式成立.
2把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性,达到证明不等式的目的.
2)利用导数求出函数的最值(或值域)后,再证明不等式.
导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数求出该函数的最值;由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立,可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.
含参函数的单调性,核心是三个步骤,四个流程:
1)第一步:
先求定义域,再求导;
2)第二步:
准确求出导数/'(兀)之后,按以下四个流程依次走:
【注意题目本身给定的参数范围】
流程①:
最高次项系数如果含参数,分“=0;〉0;三种情况依次
讨论该系数。
(不含参就直接略过)时,求出参数的值,代回f\x),写出不含参数的f\x)的最简洁、直观的形式;“〉0‘‘或“<0''时,把最高次项系数外提,化简变形(含因式分解)到最简洁、直观的形式,能直接看出根来。
流程②:
接流程①,判断方程/\x)=0是否有根。
如果方程fz(x)=0没
有任何实根,说明/'(兀)〉0或f\x)<0恒成立,/(兀)恒定单增或单减,直接写结论;如果方程=0有实根,全部求出来,写明“西=",
64=”然后进入流程③。
流程③:
判断由②得出的根是否在定义域内。
(i)定义域内没有根,写出/z(x),肯定有f\x)>0或广(无)<0,说明函数于(兀)在定义域内恒定单增或单减,直接写出结论;(ii)定义域内有且只有一个根,对这个唯一的根进行列表,判断/(X)单调递增区间和单调递减区间;(iii)定义域内有两根(包含两等根或两异根),那么就进入流程④。
流程④:
在流程③中确定二次函数型=0在定义域内有两根£,兀2的情况下,讨论两根犬小“V")。
然后列表,依据表格写出结论。
3)第三步:
(3)写综上所述。
对参数的所有可能取值都要写出,对应结论相同的时候,参数范围必须合并。
【题】讨论函数/(x)=xekx伙工0)的单调区间。
【难度】粋
【题】讨论函数/(无)=ln(l+x)-x+—%2的单调区间。
【难度】***
【点评】求单调区间的步骤
(1)确定函数的定义域,
(2)求出f\x),令广(劝=0,求出根,求出在定义域内所
有的根,,(3)把函数的间断点在横坐标上从小到大排列起来,把定义域分成若干个小区间,(4)确定厂⑴在每个区间的正负号,求出相应的单调区间。
【题】判断函数/(x)=x2+4x+<2Inx的单调性。
【难度】糾*
2
【题】求函数/(x)=x3+ax2+—x+1的单调区间。
4
【难度】和*
【题】、求函数/(%)=ev(x2-ax+l)(x>-2,ae7?
)的单调区间。
【难度]***
【题】求函数/(兀)=丄x2+a\nx(aeR)的单调区间。
【难度】彬*
【题】讨论函数/(x)=kx1+2x+ln(2x-l)的单调性。
【难度】***
【题】讨论函数-的单调性。
x-\
【难度】粋
C丄
【题】讨论函数/(X)=—_的单调性。
(无+1)
【难度】彬*
【题】求函数f(x)=ex(x2一仮+1)(兀〉一1,qw7?
)的单调区间。
【难度】和
【题】求函数/(x)=ex(x2-6lx+1)(x>-3,aeR)的单调区间。
【难度】和
3列用导数砌宪含瘙盘蚤也数的爰代向題
钊用导数确允含痞卷逻晶数晟侥的基本包路知2步靈:
遏常咼寸枪屈数的单讷傕,必•弟时屁出屆数的孑瘙囹,拔后逬钙畏価的彳寸枪。
【懸】已知屈炭f(X)=(兀一£)幺“
(1)束/(兀)的单倜呂向;
(2)束/⑴层互向[0,1]e的晟j侥.
【解朽】:
(1)(_°°裁_1)癥(£_1,+8)
(2)①k J\丿min ②£〉2J(叽=(1—幻幺 ③15kW2,f(x).=_严 J\丿min [难虐】** 【懸】己知屈数/(x)=er+1(°>0),g(x)二x+bx 2 老a=4/? 时,求屈数/(x)+g(无)的单讷互向,并束典总呂向(一OO,一]]£的晟尢仍・ 【雄廈]*** 【懸】已知晶数/(x)=——+3x+1,诒立呂向 [a,2a],(Q〉0),弑求/(x)石此互向£的蟲尢他。 [堆廈]和* 【懸】己知°>0,色数f(x)= a\nx (1)讨枪于(兀)的单诫傕; (2) 束£的晟他 ***【彩辨] [捋歹】 ***【多班】 小=9)/=吓)/ 希("F 0 -=(^)/=XBLUM/,他0>—乙⑧ 召十)八F 【题】己知屈数: f(x)=x-(^+1)Inx-—(6/gR),老兀w[1,e]时,求/(兀) 【答參】老1VOV0时,/(Mnin=G—(d+l)lnd—l a>e^y/(x)min=£_(d+l)_? [姙廈】*** [懸】已知也数/(兀)=3x2+1(°>O),g(x)=x3-9x,若/(%)+g(x)£的晟尢価筠28•求宓数“的取仓范⑥ [耀】已知屆礙于(兀)=ax3+x2+bx(典中常^a.beR),g(x)=/(x)+/(x)筠奇也藪. (1)^/(%)^表住式; ⑵钳怡g(x)的单诫傕,并求g(x)层互⑥[1,2]£的晟尢仍与晟j仍. 【答塚】/(x)=--x3+x2g(兀)[1,2]e禺尢侥筠 4a/24 【难廈】*** 2 (1)若/(%)^(—,+oo)£存石单诫递側呂向,束Q的取催纭⑥; ]6 (2)*0<°<2时,/(x)^[1,4]£的晟j僵沟/\兀)右该呂⑹£的最尢侥。 【答篠】。 的取侥-M(D昱(,+°°) 9 化、10 /(兀)右谚.呂向£的蟲尢位筠——・【"】**** 2 【耀】已知屈礙/(x)=lnjr—x (1)求晶数/(兀)的单泗递饨£向; [- (2)求色数f(X)总(0卫社(Q>0)£的眾尢他 (呼 nV2 【答資】^00)£的最 2 尢侥为In。 一q; V2 ^a>吋,/(兀)右(0,q],(q>0)e的最尢仍 —In心 *** 23 【懸】谡品数于(兀)=1+(1+q)jt-x—X,典中Q〉0: (1)诃怡/(X)右典立乂纖£的单讷傑; (2)XG[0」]时,束/(无)取霍最尢仍如朵J催时X的念・ [孫廈】*** 32 【遐】己知也嶷广(无)=兀+ax+bx+c(实数⑦厲c筠常 (1)束也羅jf(x)的翎朽弍; (2)若加〉0,求品数/(X)急呂^[-m.m]£辭尢他 *** 22 【耀】谡晶篆/(兀)=兀+ax-3alnx (1)钳総/(x)的单讷傕; (2)若。 筠N常数,求/(无)层呂向(。 力°>°)£的蟲J亿. [难虐]***
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