精编版华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固提高巩固练习.docx
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精编版华东师大初中数学八年级上册《全等三角形》全章复习与巩固提高巩固练习
【巩固练习】
一.选择题
1.如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D、E分别是边AB、AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=75°,则∠1+∠2=( ).
A.150°B.210°C.105°D.75°
2.(2016•济南校级一模)如图,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的一组条件是( )
A.∠B=∠E,BC=EFB.BC=EF,AC=DF
C.∠A=∠D,∠B=∠ED.∠A=∠D,BC=EF
3.下列四个命题中,属于真命题的是().
A.互补的两角必有一条公共边B.同旁内角互补
C.同位角不相等,两直线不平行D.一个角的补角大于这个角
4.已知如图,AD∥BC,AB⊥BC,CD⊥DE,CD=ED,AD=2,BC=3,则△ADE的面积为( ).
A.1B.2C.5D.无法确定
5.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于的
AB的长为半径画孤,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为( ).
A.7B.14C.17D.20
6.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=5,BC=3,则BD的长为().
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
7.如图,在△ABC中,∠B=36°,∠C=72°,AD平分∠BAC交BC于点D.下列结论中错误的是( )
A.图中共有三个等腰三角形B.点D在AB的垂直平分线上
C.AC+CD=ABD.BD=2CD
8.用尺规作图“已知底边和底边上的高线,作等腰三角形”,有下列作法:
①作线段BC=a;
②作线段BC的垂直平分线m,交BC于点D;
③在直线m上截取DA=h,连接AB、AC.
这样作法的根据是( ).
A.等腰三角形三线合一B.等腰三角形两底角相等
C.等腰三角形两腰相等D.等腰三角形的轴对称性
二.填空题
9.如图,△ABC中,AM平分∠CAB,CM=20
,那么M到AB的距离是_________
.
10.如图,△ABC中,H是高AD、BE的交点,且BH=AC,则∠ABC=________.
11.如图,已知△ABC是等边三角形,点O是BC上任意一点,OE、OF分别与两边垂直,等边三角形的高为1,则OE+OF的值为.
12.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点O在△ABC内,且∠OBC=∠OCA,∠BOC=110°,则∠A的度数为________.
13.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,若点O到三角形三边的距离相等,则∠AOC=_________.
14.一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角的度数是.
15.如图,六边形ABCDEF的六个内角都相等.若AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于_________.
16.(2016•抚顺)如图,点B的坐标为(4,4),作BA⊥x轴,BC⊥y轴,垂足分别为A,C,点D为线段OA的中点,点P从点A出发,在线段AB、BC上沿A→B→C运动,当OP=CD时,点P的坐标为 .
三.解答题
17.如图所示,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O,
求证:
AE+CD=AC.
18.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°.点D为△ABC内一点,且DB=DC,∠DCB=30°.点E为BD延长线上一点,且AE=AB.
(1)求∠ADE的度数;
(2)若点M在DE上,且DM=DA,求证:
ME=DC.
19.阅读下面材料:
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
小聪将命题用符号语言表示为:
在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E.
小聪想:
要想解决问题,应该对∠B进行分类研究.
∠B可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
第一种情况:
当∠B是直角时,如图1,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据“HL”定理,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况:
当∠B是锐角时,如图2,BC=EF,∠B=∠E<90°,在射线EM上有点D,使DF=AC,画出符合条件的点D,则△ABC和△DEF的关系是 ;
A.全等B.不全等C.不一定全等
第三种情况:
当∠B是钝角时,如图3,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E>90°,求证:
△ABC≌△DEF.
20.已知:
△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,且∠ADC=60°.
问题1:
如图1,若∠ACB=90°,AC=
AB,BD=
DC,
则
的值为_________,
的值为__________.
问题2:
如图2,若∠ACB为钝角,且AB>AC,BD>DC.
(1)求证:
BD-DC<AB-AC;
(2)若点E在AD上,且DE=DB,延长CE交AB于点F,求∠BFC的度数.
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】A;
【解析】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成,∴∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,∠A=∠A′=75°,∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°,∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°.
2.【答案】D;
【解析】
(1)△ABC≌△DEF(SAS);故A正确;
(2)△ABC≌△DEF(SSS);故B正确;(3)△ABC≌△DEF(ASA);故C正确;(4)无法证明△ABC≌△DEF,故D错误.
3.【答案】C;
【解析】答案A是假命题,因为互补的两角不一定有一条公共边;答案B是假命题,同旁内角不一定互补,在两直线平行的前提下,同旁内角互补;答案C是真命题;答案B是假命题,一个角的补角不一定大于这个角,也可能小于或等于这个角.
4.【答案】A;
【解析】因为知道AD的长,所以只要求出AD边上的高,就可以求出△ADE的面积.过D作BC的垂线交BC于G,过E作AD的垂线交AD的延长线于F,构造出Rt△EDF≌Rt△CDG,求出GC的长,即为EF的长,然后利用三角形的面积公式解答即可.
5.【答案】C;
【解析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线,即可得AD=BD,又由△ADC的周长为10,求得AC+BC的长,则可求得△ABC的周长.
6.【答案】A;
【解析】延长BD交AC于E,由题意,BC=CE=3,AE=BE=5-3=2,且BD=DE=
BE=1.
7.【答案】D;
【解析】解:
A、在△ABC中,∠B=36°,∠C=72°,
∴∠BAC=180°﹣36°﹣72°=72°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAC=∠DAB=36°,
即∠DAB=∠B,∠BAC=∠C,∠ADC=36°+36°=72°=∠C,
∴△ADB、△ADC、△ABC都是等腰三角形,故本选项错误;
B、∵∠DAB=∠B,
∴AD=BD,
∴D在AB的垂直平分线上,故本选项错误;
C、在AB上截取AE=AC,连接DE,
在△EAD和△CAD中
∴△EAD≌△CAD,
∴DE=DC,∠C=∠AED=72°,
∵∠B=36°,
∴∠EDB=72°﹣36°=36°=∠B,
∴DE=BE,
即AB=AE+BE=AC+CD,故本选项错误;
D、∵CD=DE=BE,DE+BE>BD,
∴BD<2DC,故本选项正确;
故选D.
8.【答案】A;
解析】易证∴△EFA≌△ABG得AF=BG,AG=EF.同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH,CH=BG.故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,故S=
(6+4)×16-3×4-6×3=50.
二.填空题
9.【答案】20;
【解析】过M作MD⊥AB于D,可证△ACM≌△ADM,所以DM=CM=20
.
10.【答案】45°;
【解析】Rt△BDH≌Rt△ADC,BD=AD.
11.【答案】1;
【解析】连接AO,△ABO的面积+△ACO的面积=△ABC的面积,所以OE+OF=等边三角形的高.
12.【答案】40°;
【解析】∵AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,又∵∠OBC=∠OCA,
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB),∵∠BOC=110°,
∴∠OBC+∠OCB=70°,∴∠ABC+∠ACB=140°,
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=40°.
13.【答案】135°;
【解析】点O为角平分线的交点,∠AOC=180°-
(∠BAC+∠BCA)=135°.
14.【答案】30°或75°或15°;
【解析】根据不同边的高分类讨论.
15.【答案】15;
【解析】因为六边形ABCDEF的六个内角都相等为120°,每个外角都为60°,向外作三个三角形,进而得到四个等边三角形,如图,设AF=
,EF=
,则有
+1+3=
+
+2=3+3+2=8所以
=4,
=2,六边形ABCDEF的周长=1+3+3+2+2+4=15.
16.【答案】(2,4)或(4,2);
【解析】①当点P在正方形的边AB上时,Rt△OCD≌Rt△OAP,∴OD=AP,∵点D是OA中点,∴OD=AD=
OA,∴AP=
AB=2,∴P(4,2),②当点P在正方形的边BC上时,同①的方法,得出CP=
BC=2,∴P(2,4).
三.解答题
17.【解析】
证明:
如图所示,在AC上取点F,使AF=AE,连接OF,
在△AEO和△AFO中,
∴△AEO≌△AFO(SAS).
∴∠EOA=∠FOA.
∵∠B=60°,
∴∠AOC=180°-(∠OAC+∠OCA)
=180°-
(∠BAC+∠BCA)
=180°-
(180°-60°)
=120°.
∴∠AOE=∠AOF=∠COF=∠DOC=60°.
在△COD和△COF中,
∴△COD≌△COF(ASA).
∴CD=CF.
∴AE+CD=AF+CF=AC.
18.【解析】
解:
(1)如图.
∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=
=75°.
∵DB=DC,∠DCB=30°,
∴∠DBC=∠DCB=30°.
∴∠1=∠ABC-∠DBC=75°-30°=45°.
∵AB=AC,DB=DC,
∴AD所在直线垂直平分BC.
∴AD平分∠BAC.
∴∠2=
∠BAC=
=15°.
∴∠ADE=∠1+∠2=45°+15°=60°.
(2)证明:
连接AM,取BE的中点N,连接AN.
∵△ADM中,DM=DA,∠ADE=60°,
∴△ADM为等边三角形.
∵△ABE中,AB=AE,N为BE的中点,
∴BN=NE,且AN⊥BE.
∴DN=NM.
∴BN-DN=NE-NM,
即BD=ME.
∵DB=DC,
∴ME=DC.
19.【解析】
解:
第二种情况:
如图1所示:
以F为圆心,AC长为半径画弧,交射线EM于D、D′;
则DF=D′F=AC,△DEF≌△ABC,△D′EF和△ABC不全等;
故选:
C;
第三种情况:
证明:
如图2所示:
过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G,
过点F作DH⊥DE交DE的延长线于点H,
∵∠B=∠E,
∴180°﹣∠B=180°﹣∠E,
即∠CBG=∠FEH,
在△CBG和△FEH中,
,
∴△CBG≌△FEH(AAS),
∴CG=FH,
在Rt△ACG和Rt△DFH中,
,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),
∴∠A=∠D,
在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
20.【解析】
证明:
问题1:
,2;
问题2:
(1)在AB上截取AG,使AG=AC,连接GD.(如图)
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
在△AGD和△ACD中,
∴△AGD≌△ACD.
∴DG=DC.
∵△BGD中,BD-DG<BG,
∴BD-DC<BG.
∵BG=AB-AG=AB-AC,
∴BD-DC<AB-AC.
(2)∵由
(1)知△AGD≌△ACD,
∴GD=CD,∠4=∠3=60°.
∴∠5=180°-∠3-∠4=180°-60°-60°=60°.
∴∠5=∠3.
在△BGD和△ECD中,
,
∴△BGD≌△ECD.
∴∠B=∠6.
∵△BFC中,∠BFC=180°-∠B-∠7=180°-∠6-∠7=∠3,
∴∠BFC=60°.
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